安徽省合肥市庐江县2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

安徽省合肥市庐江县2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

一、选择题（每小题5分，共50分）（一）必做题

22

1．已知全集U={x|x＞1}，集合 A={x|x﹣4x+3＜0}，则∁UA=（） A． （1，3） B． （﹣∞，1）∪[3，+∞） C． （﹣∞，﹣1）∪[3，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

2．△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（） A．

B．

C． 1

D．

3．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（） A． a＞b

3

3

B． C． a＞1

b

D．lg（b﹣a）＜0

4．下列各数中，可能是六进制数的是（） A． 66 B． 108 A． ﹣5

B．

C． 732 D．2015

5．在等差数列{an}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）

C．

D．

6．样本中共有五个个体，其值分别为﹣1，0，2，3，a，若该样本的平均值为1，则样本方差为（） A．

B．

C．

D．2

7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）

A． ﹣ B． ﹣11 C． ﹣ D．3

8．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）

A． an=2

n﹣1

B． an=2

n

C． an=2（n﹣1） D．an=2n

9．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）

A． 16 B． 8 C． D．4

(二)、选做题（考生在10、11两题中任选一题作答）

10．在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（） A．

2

B． 1﹣ C． D．1﹣

11．已知关于x的二次函数f（x）=ax﹣4bx+1，设（a，b）是区域，内的随

机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（） A．

B．

C．

D．

二、填空题（每小题5分，共25分）（一）必做题

12．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样抽取样本，将全体会员随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第3组抽出的号码是．

13．运行如图所示的程序后，输出的结果为．

14．用辗转相除法求得15与2015的最大公约数是．

15．如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为米．

(二)、选做题（考生在16、17两题中任选一题作答） 16．已知数列{an}满足a3=﹣，an+1=

17．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．己知数列{an}满足a1=m（m＞0），an+1 =

，则下

（n∈N），则a2的值为．

*

列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）． ①若a3=4．则m可以取3个不同的值：

②若m=，则数列{an}是周期为3的数列： ③存在m＞1，数列{an}是周期数列；

④对于任意的m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．

三、解答题（本题共5小题，共75分）（一）必做题

18．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知C=（1）若acosA=bcosB，求角A的大小； （2）若b=2，c=，求边a的大小．

．

19．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．

（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；

（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．

20．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：

xi（月） 1 2 3 4 5 yi（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8

（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程

．

（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）

（参考公式：=，=﹣）

21．为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为

2

40000m的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．

22．为调查甲、乙两校2015届高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名2015届高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校2015届高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校2015届高三年级学生总人数，并估计甲校2015届高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （Ⅱ）设甲、乙两校2015届高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为﹣

的值．

、

，估计

(二)、选做题（考生在23、24两题中任选一题作答）

2

23．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，方程ax﹣3x+2=0的解为1和b． （1）求数列{an}的通项公式；

n

（2）若数列{bn}满足bn=an•2，求数列{bn}的前n项和Tn．

24．已知Sn是数列{an}的前n項和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N）． （1）求a2，a3，a4的值； （2）求数列{an}的通项an； （3）设数列{bn}满足bn=

．求数列{bn}的前n项和Tn．

*

安徽省合肥市庐江县2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

一、选择题（每小题5分，共50分）（一）必做题

22

1．已知全集U={x|x＞1}，集合 A={x|x﹣4x+3＜0}，则∁UA=（） A． （1，3） B． （﹣∞，1）∪[3，+∞） C． （﹣∞，﹣1）∪[3，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．

分析： 根据不等式的解法求出集合A，U的集合，结合集合的基本运算进行计算即可．

解答： 解：U={x|x＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，集合 A={x|x﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}， ∁UA={x|x≥3或x＜﹣1}， 故选：C

点评： 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．

2．△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（） A．

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．

22

B． C． 1 D．

分析： 利用正弦定理知，S△ABC=acsinB，从而可得答案． 解答： 解：△ABC中，∵a=1，c=2，B=30°， ∴S△ABC=acsinB=×1×2×=．

故选：A．

点评： 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，属于基础题．

3．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）

A． a＞b

33

B． C． a＞1

b

D．lg（b﹣a）＜0

考点： 不等关系与不等式． 专题： 计算题．

分析： 直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；

解答： 解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a＜b，故A不正确；

b

33

，

所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确； 故选D．

点评： 本题考查不等式的基本性质，指数函数与对数函数的基本性质的应用，考查基本知识的掌握情况．

4．下列各数中，可能是六进制数的是（） A． 66 B． 108 C． 732 D．2015

考点： 进位制． 专题： 阅读型．

分析： 由进制的表示方法我们可得六进制数只能用数字0，1，2，3，4，5表示，由此逐一对四个答案进行分析即可得到结论．

解答： 解：根据六进制数的特点，知六进制数只含有数字0，1，2，3，4，5， A中含有6， B中含有8， C中含有7，

所以只有D中的数有可能是六进制的数． 故选：D．

点评： 本题考查的知识点是进制，熟练掌握进制的定义及对应数的表示方法是解答本题的关键，属于基础题．

5．在等差数列{an}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（） A． ﹣5

B．

C．

D．

考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．

解答： 解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a2=1，a8=2a6+a4，

∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d 联立解得a1=，d=﹣，

∴a5=a1+4d=+4（﹣）=

故选：B

点评： 本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．

6．样本中共有五个个体，其值分别为﹣1，0，2，3，a，若该样本的平均值为1，则样本方差为（） A．

B．

C．

D．2

考点： 极差、方差与标准差． 专题： 概率与统计．

分析： 由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．

解答： 解：由题意知（﹣1+0+2+3+a）=1，解得a=1，

∴样本方差为S=[（﹣1﹣1）+（0﹣1）+（2﹣1）+（3﹣1）+（1﹣1）]=2， 故选：D

点评： 本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键

2

2

2

2

2

2

7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）

A． ﹣ B． ﹣11 C． ﹣ D．3

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 解答： 解：由z=y﹣2x，得y=2x+z， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y=2x+z，

由平移可知当直线y=2x+z经过点A时， 直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，

由，解得，

即A（4，﹣3）

将（4，﹣3）代入z=y﹣2x，得z=﹣3﹣2×4=﹣11， 即z=y﹣2x的最小值为﹣11．

故选：B

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

8．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）

A． an=2 B． an=2 C． an=2（n﹣1） D．an=2n

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式． 解答： 解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，

n

∴数列为公比为2的等边数列，∴an=2． 故选：B．

点评： 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键，属于基础题．

n﹣1n

9．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为 A． 16 B． 8 C．

考点： 等比数列的通项公式．

，则2a7+a11的最小值为（）

D．4

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 由各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，知a4•a14=（2故a7•a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．

解答： 解：∵各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，

2

∴a4•a14=（2）=8， ∴a7•a11=8，

∵a7＞0，a11＞0， ∴2a7+a11≥2

=2

=8．

）=8，

2

故选B．

点评： 本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．

(二)、选做题（考生在10、11两题中任选一题作答）

10．在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（） A．

B． 1﹣

C．

D．1﹣

考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．

分析： 画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．

解答： 解：如图正方形的边长为4： 图中白色区域是以AB为直径的半圆 当P落在半圆内时，∠APB＞90°； 当P落在半圆上时，∠APB=90°； 当P落在半圆外时，∠APB＜90°；

故使∠AMB＞90°的概率P=故选：A．

==．

点评： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

求解．

11．已知关于x的二次函数f（x）=ax﹣4bx+1，设（a，b）是区域

2

，内的随

机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（） A．

B．

C．

D．

考点： 几何概型；二次函数的性质． 专题： 概率与统计．

分析： 由题意求出使二次函数在区间[1，+∞）上是增函数的满足条件，求出区域面积，利用几何概型解答．

解答： 解：关于x的二次函数f（x）=ax﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则

2

，

即，满足条件的如图阴影部分，直线x+y﹣8=0与x+2y=0的交点为（），

已知区域面积为=32，阴影部分面积为，

所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是故选C．

；

点评： 本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出区域面积，由公式解答．

二、填空题（每小题5分，共25分）（一）必做题

12．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样抽取样本，将全体会员随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第3组抽出的号码是12．

考点： 系统抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： 求出系统抽样抽取的间隔，再根据在不同的号码段上抽取的号码相差间隔的整数倍求解．

解答： 解：系统抽样抽取的间隔为=5，

∵在第5组抽取的号码为22，

∴在第3组抽取的号码为22﹣10=12， 故答案为：12．

点评： 本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统采用方法的定义是关键．

13．运行如图所示的程序后，输出的结果为42．

考点： 伪代码．

专题： 算法和程序框图．

分析： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=10时，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42． 解答： 解：模拟执行程序，有 i=1，s=0，

满足条件i＜8，i=4，s=8， 满足条件i＜8，i=7，s=22， 满足条件i＜8，i=10，s=42，

不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42． 故答案为：42．

点评： 本题考查循环结构框图的应用，注意退出循环的条件，考查计算能力，属于基础题．

14．用辗转相除法求得15与2015的最大公约数是5．

考点： 辗转相除法． 专题： 算法和程序框图．

分析： 根据辗转相除法的步骤，求出2015与15的最大公约数． 解答： 解：∵2015=15×134+5 15=5×3

故2015与15的最大公约数是5， 故答案为：5．

点评： 本题考查了辗转相除法求两个数的最大公约数，属于基础题．

15．如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为1000米．

考点： 正弦定理． 专题： 计算题．

分析： 作出图形，过点S作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，依题意可求得SE在△BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC．

解答： 解：依题意，过S点作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，

∵∠SAE=30°，AS=1000米， ∴CD=SE=AS•sin30°=500米，

依题意，在Rt△HAS中，∠HAS=45°﹣30°=15°， ∴HS=AS•sin15°，

在Rt△BHS中，∠HBS=30°， ∴BS=2HS=2000sin15°，

在Rt△BSD中，BD=BS•sin75° =2000sin15°•sin75° =2000sin15°•cos15° =1000×sin30° =500米．

∴BC=BD+CD=1000米． 故答案为：1000．

点评： 本题考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．

(二)、选做题（考生在16、17两题中任选一题作答） 16．已知数列{an}满足a3=﹣，an+1=

（n∈N），则a2的值为﹣3．

*

考点： 数列递推式．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 利用递推关系直接代入计算即可．

解答： 解：∵a3=﹣，an+1=

（n∈N），

*

∴，即=，

解得：a2=﹣3，

故答案为：﹣3．

点评： 本题考查求数列的某项，利用递推关系式直接计算即可，属于基础题．

17．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．己知数列{an}满足a1=m（m＞0），an+1 =

，则下

列命题正确的是①②③（写出所有正确命题的编号）． ①若a3=4．则m可以取3个不同的值：

②若m=，则数列{an}是周期为3的数列： ③存在m＞1，数列{an}是周期数列；

④对于任意的m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： ①若a3=4，利用an+1=，分别对a2，a1讨论即可得出；

②若m=，可得a2，a3，a4，…，可得an+3=an．即可判断出数列{an}是否为周期数列． ③由②可知正确．

④可用反证法证明不正确．

解答： 解：①∵，

∴，

∵a3=4，∴a2=5或

，

又∵

，a1=m，

∴m=6或m=或m=，所以①正确； ②∵∴

＞1，∴

，∴

；

，

∴数列{an}是周期为3的数列，∴②正确； ③由②可知当＞1时，数列{an}是周期为3的周期数列，∴③正确．

④假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．则当m=2时，a2=a1﹣1=1，∴

=…=an（n≥2），此时数列{an}不是周期数列．

＞1．若ak+2=ai，1≤i≤k+1，

当m＞2时，当0＜m﹣k≤1时，ak+1=a1﹣k=m﹣k．∴ak+2=则

2

=m﹣（i﹣1），

2

化为m﹣m（k+i﹣1）+ki﹣k﹣1=0，则△=（k+i﹣1）﹣4（ki﹣k﹣1）不为平方数，因此

假设不正确．可知④不正确． 综上可知：只有①②③正确． 故答案为：①②③．

点评： 本题考查了数列的周期性、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

三、解答题（本题共5小题，共75分）（一）必做题 18．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知C=（1）若acosA=bcosB，求角A的大小； （2）若b=2，c=，求边a的大小．

考点： 余弦定理的应用．

专题： 三角函数的求值；解三角形．

．

分析： （1）运用正弦定理和二倍角公式，可得A=B或A+B=（2）运用余弦定理，结合条件，解方程即可得到a的值． 解答： 解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得 2sinAcosA=2sinBcosB， 即sin2A=sin2B， 又A∈（0，π），B∈（0，π）， 所以有A=B或A+B=

．

，再用条件即可得到A；

又因为C=因此A=

，所以A=B，

．

（2）由于b=2，c=，

222

由余弦定理c=a+b﹣2abcosC， 即为（

）=a+2﹣4acos

2

2

2

，

所以a=1．

点评： 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，二倍角公式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

19．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．

（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；

（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．

分析： （1）直方图中，频率=组距×纵坐标及频率和为1，列出方程组；

（2）利用列举法将所有的抽取情况及得代金卷总和为200元的情况列出，利用古典概型概率公式求出； 解答： 解：（1）由已知可得：

，

解得：a=0.035，b=0.025．

（2）利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人．

令高消费的人为A，B，C，潜在消费的人为a，b，从中取出三人，

总共有：ABC，ABa，ABb，ACa，ACb，BCa，BCb，Aab，Bab，Cab，10种情况， 其中ABa，ABb，ACa，ACb，BCa，BCb为获得代金卷总和为200元的情况， 因此，三人获得代金券总和为200元的概率为．

点评： 本小题主要考查统计与概率的相关知识．本题主要考查数据处理能力，难度不大，属于基础题． 20．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表： xi（月） 1 2 3 4 5 yi（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8

（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程

．

（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）

（参考公式：=，=﹣）

考点： 线性回归方程．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： （1）利用所给数据，可得散点图；

（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程； （3）x=12代入回归方程，即可得到结论． 解答： 解：（1）散点图如图所示…

（2）由题设=3，=1.6，…

∴===0.58，

a=﹣=﹣0.14…

故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…

（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…

饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…

点评： 本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为

2

40000m的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．

考点： 不等式的实际应用．

专题： 应用题；不等式的解法及应用．

2

分析： 设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=40000m，由所选农田的长为（a+6）m，

2

宽为（b+6）m，农田面积（a+6）•（b+6）=40036+6（a+b）（m），由此利用均值不等式能求出农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小．

解答： 解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=40000m， 由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，

农田面积（a+6）•（b+6）=40036+6（a+b）（m）， 由不等式a+b≥2，知当且仅当a=b时，a+b最小，即农田面积最小， ∵ab=40000 所以a=b=200m．

所以农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小．

点评： 本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

2

2

22．为调查甲、乙两校2015届高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名2015届高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校2015届高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校2015届高三年级学生总人数，并估计甲校2015届高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （Ⅱ）设甲、乙两校2015届高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为﹣

的值．

、

，估计

考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数． 专题： 概率与统计．

分析： （I）先设甲校2015届高三年级总人数为n，利用甲校2015届高三年级每位学生

被抽取的概率为0.05得=0.05求出n，又样本中甲校2015届高三年级这次联考数学成绩

的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校2015届高三年级这次联考数学成绩的及格率；

（II）设样本中甲、乙两校2015届高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1﹣a2 ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，从而求出a1﹣a2 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可． 解答： 解：（I）设甲校2015届高三年级总人数为n，则

=0.05，∴n=600，

又样本中甲校2015届高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5， ∴估计甲校2015届高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣

=；

（II）设样本中甲、乙两校2015届高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2， 由茎叶图可知，

30（a1﹣a2 ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15， ∴a1﹣a2=

=0.5．

∴利用样本估计总体，故估计x1﹣x2 的值为0.5．

点评： 此题考查了学生的识图及计算能力，茎叶图，及格率的定义及平均数的定义．

(二)、选做题（考生在23、24两题中任选一题作答）

2

23．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，方程ax﹣3x+2=0的解为1和b． （1）求数列{an}的通项公式；

n

（2）若数列{bn}满足bn=an•2，求数列{bn}的前n项和Tn．

考点： 数列的求和；等差数列的性质． 专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： （1）由方程ax﹣3x+2=0的两根为x1=1，x2=b，利用韦达定理，得1+b=，1×b=，由此能求出an．

n

（2）由（1）得bn=（2n﹣1）•2，由此利用错位相减法能够求出数列{bn}的前n项和Tn．

2

解答： 解：（1）∵方程ax﹣3x+2=0的两根为x1=1，x2=b， ∴1+b=，1×b=，

解得a=1，b=2． 所以an=2n﹣1．

n

（2）由（1）得bn=（2n﹣1）•2，

2n

所以Tn=b1+b2+…+bn=1•2+3•2+…+（2n﹣1）•2，①

23nn+1

2Tn=1•2+3•2+…+（2n﹣3）•2+（2n﹣1）•2，② ②﹣①得

2nn+1

Tn=﹣2（2+2+…+2）+（2n﹣1）•2+2

n+1

=（2n﹣3）•2+6．

点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的应用，解题时要认真审题，注意韦达定理和错位相减法的合理运用．

24．已知Sn是数列{an}的前n項和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N）． （1）求a2，a3，a4的值； （2）求数列{an}的通项an； （3）设数列{bn}满足bn=

*

2

．求数列{bn}的前n项和Tn．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

*

分析： （1）通过a1=1、nan+1=2Sn（n∈N）直接代入计算即可；

（2）当n＞1时利用nan+1﹣（n﹣1）an=2Sn﹣2Sn﹣1可知nan+1=（n+1）an，进而利用累乘法计算并验证当n=1时亦成立即可； （3）通过an=n、bn=相减法计算即得结论．

解答： 解：（1）∵a1=1，nan+1=2Sn（n∈N）， ∴a2=2a1=2， ∴2a3=2（a1+a2）， ∴a3=a1+a2=1+2=3， ∴3a4=2（a1+a2+a3）， ∴a4=（1+2+3）=4；

（2）当n＞1时，由nan+1=2Sn得（n﹣1）an=2Sn﹣1， ∴nan+1﹣（n﹣1）an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an， 化简得：nan+1=（n+1）an， ∴

=

，

*

=，

可知当n≥2时bn=（2n﹣1）•2，利用错位

n

∵a2=2， ∴

=，

=， …

=

，

以上（n﹣1）个式子相乘得：an=又a1=1满足上式， ∴an=n； （3）∵an=n，bn=

n

…×=n，

，

∴当n≥2时，bn=（2n﹣1）•2，

234n﹣1n

∴Tn=1+3×2+5×2+7×2+…+（2n﹣3）×2+（2n﹣1）×2，

∴2Tn=2+3×2+5×2+…+（2n﹣3）×2+（2n﹣1）×2，

234nn+1

两式相减得：﹣Tn=11+2（2+2+2+…+2）﹣（2n﹣1）×2 =11+2×

n+1

34nn+1

﹣（2n﹣1）×2

n+1

=﹣5﹣（2n﹣3）×2，

n+1

∴Tn=5+（2n﹣3）×2．

点评： 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．