反常积分的敛散性判定方法

反常积分敛散性的判定方法

作 者 陈志强 学 院 统计与数学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2012级 学 号 122094102 指导教师 魏运 导师职称 教授 最终成绩 75分

目 录

摘要 ………………………………………………..……。….……………..1 关键词………………………………………………。.……。….…………。.1 引

言

-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2

一、预备知识…………………………..……。…。……………. 2

1.无穷限反常积分…………………………。.…….…。…………….。2 2.瑕积分……………………。。…….…。…………3

3。反常积分的性质……………………。.…….…。…………3

二、反常积分的收敛判别法……………………………….。…….….………4 1无穷积分的收敛判别……………………..…….….……………4

（1)。定义判别法………………….。……。….……………。。……4

（2）。比较判别法…………………。.…….….…………….。……4

（3）。柯西判别法…………………。.…….….……………..……5

(4)阿贝尔判别法。…………………..……。…。……………。 6

（5)。狄利克雷判别法…………………..……。….……………7 2瑕积分的收敛判别………………….。…….….……………. …。…8

（1）.定义判别法…………………。。……。….……………。.……8

（2）。定理判别法……………………………。。…….…。……………..9 （3).比较判别法…………………………………。.…….….…………9

(4）。柯西判别法…………………………….。…….….……………9

(5).阿贝尔判别法…………………………….。……。….……….10

（6）。狄利克雷判别法……………………。。…….…。……………。

10

参考文献………………………………………………。。……。….……… 11

摘要

在很多实际问题中,要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此

得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结,并给出了相关定理的证明,举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。

关键词:反常积分 瑕积分 极限 敛散性

1

引言

近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展.如华东师范大学数学系编，数学分析（上册)，对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法.华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解,还用图形的方法说明其意义.引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用.

众多学者研究的内容全而广,实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献,对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。

一 、 预备知识

1.无穷限反常积分

定义1。1设函数f(x)在［ａ,＋∞）有定义，若f(x)在［ａ，A］上可积（A>a)且当A→＋∞时，lim称反常积分 对反常积分

AaAf(x)dx 存在，称反常积分 f(x)dx收敛，否则

aaaf(x)dx与f(x)dx发散.

f(x)dx与f(x)dx可类似的给出敛散性定义。

f(x)dx和f(x)dx都收敛时，才认为

注意:只有当

af(x)dx是收敛的.

2．.瑕积分

定义1：设f（x）在a的任何邻域内均无界，则称a为f(x)的一个瑕点 定义2：设f（x）在

a,b内有定义,且b为唯一瑕点，若

δ0limbδaf(x)dx存

在,称瑕积分

baf(x)dx收敛

c定义3:设Ca,b且为f(x)的一个瑕点，若af(x)dx和f(x)dx均

cd收敛，则称瑕积分

baf(x)dx

3。反常积分的性质

2

(1)Cauchy收敛原理：

af(x)dx收敛对ε〉0,A0〉a，当A1>A2>A0时，有

A2A1f(x)dx〈ε

(2)线性性质:若

af(x)dx与g(x)dx都收敛，则对任意常数k1,k2，

aka1f(x)k2g(x)dxf(x)k2g(x)dx=k1也收敛

,且有

ka1af(x)dxk2g(x)dx

a(3)积分区间可加性,若

af(x)dx收敛，则

b

a,，



af(x)dx=f(x)dxabbf(x)dx。

≤

(4）若

af(x)dx收敛,则

af(x)dxaf(x)dx.

二、反常积分的敛散性判别法

1。无穷积分的敛散性判别

（1)定义判别法

设函数f定义在无穷区间[a,)上，且在任何有限区间[a,u]上可积.如果存在极限 limuaf(x)dxJ，

u则称敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不af(x)dx收存在广义积分发散

例1.1计算无穷积分 0xe解：

pxdx (p是常数，且p0)

1px10edx2epxpp1 2px0xepxdxepxp式中 limxexpx00x1limpxlimpx0 xexpe 3

（2）.比较判别法的普通形式：

f(x),g(x)在a,有定义，且

0f(x)g(x)(xa)

(a）

ag(x)dx〈af(x)dx<

（b）

af(x)dx=+g(x)dx=+

a例1。2 讨论

0sinxdx的收敛性 21x ， x 解:由于

sinx11x21x20,

因为收敛。

0sinxdxπdx为绝对为收敛，所以根据比较判别法0221x1x2(3).比较判别法的极限形式:

f(x),g(x)在a,有定义，且非负，且

f(x)liml则： xg(x) （a）当l （b）l0时，ag(x)dx<af(x)dx〈

+时，ag(x)dx=af(x)dx=

 （c)0ag(x)dx，f(x)dx具有相同点敛散性。

af(x)l，由极限的性质，存在常数A(A〉a） 证：（1）若xlimg(x)使得当xA时成立

l1

f(x)

g(x) 即

f(x)(l1)g(x) 于是由比较判别法，当ag(x)dx收敛时

4

af(x)dx也收敛

f(x)g(x)l0，由极限的性质，存在常数A（Aa），

（2）若xlim使得当xA时成立

l' 其中0

l'lf(x)f(x)

g(x)于是由比较判别法,当

l'g(x)

ag(x)dx发散时

1af(x)dx也发散

dx的敛散性

例 1。3 讨论

13x3x5x2x13432 解：limxx43x43x35x22x11321,而

31x41dx收敛，

所以

341x3x5x2x1dx收敛

总结:使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函数作为比较对象,在上面的例子中我们都是取能满足这俩个条件 (4)。柯西判别法: 设

1xp为比较对象的,因为它们正好

f(x)在a,有定义,在任何有限区间a,u上可积，且

limxpfxλ则有:

x当p1,0λ时，

af(x)dx收敛

当

p1,时，

af(x)dx发散

 (5)。阿贝尔判别法: （a）

af(x)g(x)dx满足：

f(x)单调有界

5

（b）

ag(x)dx收敛

则

af(x)g(x)dx收敛

证：由于存在M>0，使f(x)M

(xa)再由（2）可知，

f(x)g(x)dx<

对ε>0,A0a,当A2>A1又

A2A1A0时，有

ζA2A1ε

Mf(x)g(x)dx=

f(A1)g(x)dxf(A2)A1A2ζg(x)dx（ε+ε）=2M例1.4 证

ε 再次由柯西准则知Abel定理成立.

1sinxarctanxdx（0<λ1）收敛 λx利用阿贝尔判别法，因为

1sinxdx收敛，又arctanx在1,上λx单调有界，故

1sinxarctanxdx是收敛的 λx（6）. Dirichlet判别法：

af(x)g(x)dx满足

（1）f（x）单调且趋于0（x0） (2）

Aag(x)dx有界(a>A)

则

af(x)g(x)dx收敛。

证:由于存在M〉0，

Aag(x)dx有界，所以有

Aag(x)dxM又由于

A0时,有

f(x)0（x)故对对ε〉0，

A0a,当A2>A1f(A2)f(A1)ε即

f(A2)Aaε，

f(A1)2Mε同

，所以理

有

ζA2f(x)dxζag(x)dxg(x)dx 6

A1ζg(x)dx2M,故当

A2,A1A0时，有

A2A1f(x)g(x)dxf(A2)ζag(x)dxf(A1)A1ζg(x)dx

4Mε

例1。5 证积分

1sinxdx收敛,但不绝对收敛 x证：A11sinxdxcosAcos12，而单调且当x时趋于0，

xDirichlet

判

别

法

知

故由

1sinxdxx12x收敛；但

sinxsinxsinx2sinx1xxx=

cos2x2x 而

A111cos2xdxsin2Asin11，单调趋于0，故

2x21cos2xdx收敛，而dx发散，故

12x2x1A1sinxdx发散

例1。6 积分

10xpdx的敛散性

0时,它是不可积的，因为这时被积函

1时收敛；当p1时发

当p0时是可积的;当p数在0,1上无界。但作为反常积分，当p散；因为当

p1时有limδ0δ111δp1xdxlimδ0p1p1/p1,若p1 ,若p<-1 而当

p11时有limδxdxlimln1lnδ

δ0δ0例1。7 积分时

它

发

0xpdx作为反常积分，当p。

这

是

因

为

1时它收敛；当p1当

散

p1时有

7

1p11/p1,若p1δ1pxdxlim,若p>-1 δ0p1limδ0δ1limx而当p=-1时有dxlimlnδln1

δ0δδ01

2. 瑕积分的收敛判别 （1）定义判别法

设函数f定义在无穷区间(a,b]上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间

[u,b](a,b]上有界且可积.如果存在极限

bf(x)dxJ， limuua则称反常积分敛.，否则发散 af(x)dx收例2.1计算瑕积分0解：被积函数f(x)1x1xx1x2dx的值

在[0,1)上连续,从而在任何[0,u][0,1)上可积，

2x0为其瑕点.依定义求得

10

x1x2dxlimu0u1x1x2dxlim(11u2)1

x1

（2)定理判别法(柯西收敛原理) 瑕积分在

baf(x)dx（瑕点为

，

ba）收敛的充要条件是：任给ε0,存

有

δbu10u2只要

u2u1u2a,aδ总

f(x)dxf(x)dxu1f(x)dx=0<ε

（3）。比较法则 设f（x）定义于如果

a,b,a为其瑕点,且在任何

u,ba,b上可积，

x0limxapf(x)λ

8

当

p1,0λ时，af(x)dx收敛 p1，0λ时，af(x)dx发散

 当

（4）。柯西判别法

设x=a是f（x）的瑕点，如果 f(x)cxapc0,p1那么

babf(x)dx绝对收敛；如果f(x)f(x)dx发散

1cxapc0,p1那么

a 例2.2 讨论

e0dx的敛散性(pR） pxlnx 解：x=0是其唯一奇点. 当

0p1时，取

q1pp,12,则

1xqdxelim0，由柯西判别法知,0收敛 px0xlnxxplnx 类似的， 当

p1时,取q11p1,p,则2dxxqelimp由柯西判别法知，发散 0xplnxx0xlnx 当

1p1 时,可以直接用Newton-leibniz公式得到

e01dxelimlnlnx xplnxη011因此，当0p1时，反常积分e0dx收当敛；当p1时，反常积

xplnx 9

1分

e0dx发散

xplnx

(5)。阿贝尔判别法

设f（x）在x=a有奇点,

baf(x)dx收敛，g（x）单调有界,那么积

分

baf(x)g(x)dx收敛

b (6).狄利克雷判别法 设f(x）在x=a有奇点，

aηf(x)dx是η的有界函数，

g(x)单调且当xa时趋于零，那么积分

baf(x)g(x)dx

例2。3 讨论积分

sin1xr01xdx0r2sin的收敛情形

当

0r1时，

1x1，积分绝对收敛，又 xrxr1sin111xdx1x2r1sin1dx110x2x ηx2sinxdxcos1cosη2 0xr 当2推时,

r知

0即r积

2时，由狄利克雷判别法，从x2r单调趋向于零（x0）

分

收

敛

。

当

r2xr10111sindxcoscos1,当η0时无极限，所以积分2xxηsin101xdx0r2发散

参考文献

10

【1】欧阳光中,《 数学分析 》第三版下册，高等教育出版社 【2】陈纪修，《 数学分析 》第二版下册，高等教育出版社 【3】陈天权,《 数学分析讲义 》第一册，北京大学出版社 【4】中国科学院，《 数学分析习题详解 》第二版上册,吉林大学出版社 【5】华东师范大学数学系,《 数学分析 》第四版下册，高等教育出版社

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