２０１８年第１－－２期 （总第 ８１—１８２期） 中国数学教育 ＺＨＯＮＧＧＵＯ ｓＨＵＸＵＥ ＪｔＡＯＹＵ №１—２．２０１８ ＧｅｎｅｒａＩ。Ｎｏ１８１—１８２ 如何教同类项概念 “合并同类项＂课例研究 董涛，黄智灵 （福建师范大学数学与信息学院；福建省福州江南水都中学） 摘要：同类项概念是由数到式的关键教学点．课例分析表明，学生不具备同化同类项概念的心 向与图式．进一步的课例研究发现，在数位概念的启发下，采用概念形成的方式，利用概览、诱导尝 试、回顾等方法教同类项概念，效果较好． 关键词：同类项；关键教学点；代数思维 数与式的运算是初中代数的主要内容之一．合并 项”一课．第一次课由授课教师自己备课、上课．经过 同类项是整式运算的起点，将整式的加、减运算利用 课后与笔者及省、市教研员的简要讨论，授课教师简 同类项转化为有理数的运算．理解同类项概念是构建 单修改教学设计，第二天在另一个班继续上课．第二 式的运算的关键，对进一步学习代数式的相关概念， 次课主要是检验讨论时给出的教学建议的有效性与针 如同分母分式、根式等概念具有启发作用．作为数位 对性．概念的推广与同类二次根式的生长点，同类项概念体 般化特征，具有典型性与丰富性，是讲授代数思维的 一第一次授课中，同类项概念的教学主要分为三项 现了代数概念的符号化、结构化特征与代数思维的一 学习活动：尝试探索，概念定义及要点，概念辨析． 尝试探索：某花店的康乃馨、百合花每支进价均 元，购进康乃馨１００支，百合花２５２支，花店共花费 个很好切入点．大部分教师讲授同类项概念时，是 为ｔ 举例归纳出概念，该教法存在的问题是学生没有经历 多少元的成本购花？概念的数学化过程，不能白发同化新概念，使学习流 于表面化．学生只是记住教师给的定义，缺少主动思 维，时间久就容易忘记．学生的问题具体表现在以下 针对该问题，学生得到算式１００ｔ＋２５２ｔ＝ｆ１００＋ｅｓｅ）ｔ＝ ３５２ｔ． 教师要求学生通过类比这一算式，尝试化简下列 几方面：（１）不明白为什么要给单项式分类，怎样给 式子：（１）１００ｔ一２５２ｔ；（２）３ｘ ＋２ｘ ；（３）３ａｂ 一４ａｂ ． 单项式分类；（２）不明白为什么一ｌＯ与仃是同类项； 学生很快做出来了．教学片断１记录了关于同类项概念的 （３）学生自发的思路会认为５ａ ｂ与一２ａｂ 是同类项，因 探索对话． 为学生受到了单项式的次数这一关键特征的影响．教 师只是告诉学生根据定义它们不是同类项，导致学生 的关键问题是如何给单项式分类．笔者与多位教师通 过课例研究对这一问题展开探索． 教学片断１ 师：我们发现上面这些式子能化简，它们的项有 生：它们都含有相同的字母． 师：还有吗？如果是３ｘ— 能继续吗？ 生：不能． 没有理解定义的合理性．同类项概念的教学，要解决 没有什么共同特点呢？ 一、第一次授课的教学过程与问题探讨 师：那么它除了字母相同还具备什么特点呢？大 家发现３ａｂ。一４ａｂ 中前后两项口的指数都是几次的？ 授课教师先后在不同班级两次执教“合并同类 收稿日期：２０１７—１ｏ＿＿２５ 生：一次的． 作者简介：董涛（１９７２一），男，副教授，主要从事数学教师教育、数学教学设计研究． · ３ · 中国数学教育２０１８年第１—２期（总第１８１—１８２期） 师：６呢？ ＠１００× ＋１４５× １＋２００× 一４５× ； 生：６都是二次的． 师：我们发现，它们除了字母相同， 指数相同吗？ 生：相同． 字母对应的＠ｌｏｏ× ＋１４５× １＋２００× 一４５×吉． 以上几道题大部分学生都做对了．第（１）小题学生 交换４和２００的位置来简化计算；第（２）／Ｊ￣题第①问学生 叶 ．） 师：它们除了字母相同，字母对应的指数也相 交换１４５× １和２００×百１的位置，再逆用分配律进行计 同，我们发现在上面３道小题的式子里都具备了这样的 算；第（２）小题第②问的解题方法与第①问类似． 特点，所以它们能进行化简． 接下来，授课教师在上述探索的基础上，归纳出 同类项概念，强调概念要点为“两同”，即字母要相 同，相同字母的指数也要相同．在学生判断（１）２ｘ Ｙ 与一３ｘ Ｙ，（２）３ｘｙ与一懈是同类项的基础上，授课教 师指出，同类项与系数无关，与字母的顺序无关． 在概念辨析环节，有学生认为一１Ｏ与竹不是同类 项．授课教师强调订是常数，所有常数都是同类项．对 于２ 与３ 是否为同类项，一半学生认为不是，因为２ 与 ３ 的指数不同；另一半学生认为是同类项，因为２ 与３ 都是常数．授课教师肯定了后者的想法，结束了同类 项概念的教学． 第一次课存在的问题是缺少了同类项概念的生长 点．学生只是在教师的引导下，形式化地得出同类项 概念．然后在定义指引下做出判断．由于没有经历将单 项式分类的过程，对于一１０与耵，２ 与３ 是否为同类 项，有些学生判断错误．同类项概念是单项式分类的 结果，学生没有经历分类的过程，就不理解同类项的 定义．为什么要给单项式分类，如何给单项式分类， 这是教师第二次授课要解决的问题．激活相关算术知 识，引导学生确定单项式分类的标准，是解决问题的 关键．若学生不能自发激活知识的生长点，教师就要 设计先行组织者，来激活学生的思维． 二、第二次授课的描述与分析 第二次授课中，同类项概念部分分为四个环节： 铺垫，尝试探索，归纳同类项概念及要点，概念辨 析．在铺垫定向环节，教师安排学生做３道算术计算题． （１）计算３００＋４＋２００＋５（写出计算过程）． （２）用简便方法计算以下式子． ·４ · 在尝试探索环节，授课教师把第（２）／ｂ题中的分数 用字母表示，变成ｌＯＯａ＋１４５ｂ＋２００ａ一４５ｂ，让学生计 算，学生基本都算对了．授课教师据此提出课时目 标，即从数的运算可以扩展到式的运算，今天就来学 习整式的加、减运算． 在尝试基础上，教师要求学生以小组为单位，给 以下单项式分类，并说明分类的依据． （１）ｌＯＯｔ；（２）１０；（３）３ａｂ；（４）３ａｂ ；（５）一２５２ｔ； （６）５ａｂ；（７）一５；（８）５ａｂ ；（９）２５２ｔ；（１Ｏ）１Ｔ； （１１）一ｂａ；（１２）一４ａｂ ． 学生出现两种分类结果．第一种依据形式上的单 项式符号来分类．在教师的提问启发下，学生发现单 项式的符号没办法确定．第二种按照字母数量来分 类，将不含字母的１０，一５， 分为一类，含有字母的 ｌＯＯｔ，３ａｂ，３ａｂ ，一２５２ｔ，５ａｂ，５ａｂ。，２５２ｔ，－ｂａ，－４ａｂ 分为另一类．学生基本认可这一分类方法．教师启发学 生把第二类细分为两个小类，字母指数为１的为一类， 即ｌＯＯｔ，３ａｂ，一２５２ｔ，５ａｂ，２５２ｔ，一ｂａ，字母指数为２的 为另一类，￣［１３ａｂ ，５ａｂ ，一４ａｂ ． 在上述探讨启发下，有学生提出按照单项式次数 来分类，把１２个单项式分为以下四类：（１）１０，一５，叮Ｔ； （２）ｌＯＯｔ，一２５２ｔ，２５２ｔ；（３）３ａｂ，５ａｂ，－ｂａ；（４）３ａｂ。， ５ａｂ。，－４ａｂ ． 教师以此为跳板，转化看问题的角度，从教材中 同类项概念定义的视角指导学生归纳同类项概念．教 学片断２描述了授课教师的指导过程． 教学片断２ 师：大家现在观察一下，这样分类之后，每一类 的特点是不是更明确了？ 生：是． 师：大家再看一下，第（２）类的单项式为什么会归 中国数学教育２０１８年第１—２期（总第１８１—１８２期） 为一类？ ｂ＝１０，ａ２ｂ是十万位数，０６２ｆ又是万位数，不是同一数位 生：因为这些式子字母的次数都为１． 师：也就是他们含有相同的字母，且这个字母的 对代数概念教学的启示 指数是什么？ 生：都含有字母ｔ，且ｔ的指数为１． 梳理上述课例研究，我们可以发现，代数思维的 师：同样的，第（３）（４）类是不是也具有同样的 关键特征是抽象化、一般化．初中代数思维的关键节 特点？ 点是由数到式的抽象，关键教学策略就是由数到式的 纵向数学化．为了帮助学生由数抽象出式，初步学会 生：是． 代数思维，需要采用三种教学方法． 师：那么我们就把所含字母相同，并且相同字母的 首先是概览．在学习式的运算前，教师应做一概 指数也相同的项，称为同类项．例如，３ａｂ ，５ａｂ ，－４ａｂ ． 览，介绍式及其运算知识的来龙去脉，说明其生长 第三个环节是归纳同类项概念及要点．授课教师 点，即数及其运算，介绍由数及其运算怎样想到研究 在给出同类项概念时，着重指出几个常数也是同类 式及其运算，要研究式及其运算的哪些方面，这些知 项，强调概念要点为“两同”，即所含字母要相同，相 识分布在哪些章节，这节课、这一章要学什么，怎样 同字母的指数也要相同． 逐步抽象出这些知识，铺垫出式及其运算知识的延伸 第四个环节是概念辨析，题目同第一次课，没有 点，指引学生的学习思路． 出现２ 与３ 不是同类项的结果． 其次是回顾．在课堂小结时，指导学生梳理这节 第二次课确立了同类项概念的生长点，学生体会 课知识的来龙去脉，要求学生说出这节课的知识与以 到了同类项概念是单项式分类的结果，初步解决了第 前的哪些知识是一类的，今后这类知识还想学什么， 一次课中出现的问题．学生在整数加减运算启发下， 帮助学生将知识结构化．指导学生回顾这节课知识的 通过字母代替数，把整数加减变为整式加减运算，经 学习过程，说出这节课是怎样学习的，已学的哪些知 历了一般化、符号化、结构化过程，为代数式的其他 识是这样学习的，将来还可以这样学习什么知识，从 运算奠定了延伸点，在教师指导下，学生尝试给单项 而处理好知识的延伸点． 式分类，理解了同类项概念． 最后是诱导尝试．诱导立足于知识的生长点，作 第二次课的遗憾是学生不理解单项式分类的标 用是启发思路．例如，第二次课铺垫环节中的计算问 准，表现在按照单项式次数进行分类．学生想不到的 题．尝试的作用是积累数学活动经验，如第二次课中 地方需要教师指导，教师在分类前需要明确分类标 的单项式分类问题．诱导尝试助力学生自主完成由数 到式的纵向数学化，再创造知识，体验新知识的启发 准．分类标准可以在总结多项式ｌＯＯａ＋１４５ｂ＋２００ａ一 性、可理解性与合理性． ４５ｂ的计算算理时启发学生，明确指出该题分类的标 参考文献： 准是能进行加减运算，这样就能指导学生进一步的单 ［１］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学 项式分类活动．概念得出后教师再针对学生的一些误 课程标准（２０１ １年版）［Ｍ］．北京：北京师范 解举例说明． 大学出版社．２０１２． 例如，长、宽、高分别为Ⅱ，口，６与３ａ，３ａ，４ｂ的 ［２］教育部基础教育课程教材专家工作委员会．《义 长方体的体积和是多少？长、宽、高分别为０， ，６与 务教育数学课程标准（２０１ １年版）》解读［Ｍ］． ３ｎ，４０，４６的长方体的体积和是多少？长、宽、高分 北京：北京师范大学出版社，２０１２． 别为 ，口，６与长、宽、高分别为Ⅱ，ｂ，６的长方体的 ［３］鲍建生，周起数学学习的心理基础与过程［Ｍ］＿ 体积和是多少？ａ２ｂ与ａｂ２是同类项吗？例如，ｏ：１００， 上海：上海教育出版社，２００９． · ·
