人教版直线的倾斜角和斜率教案

直线的倾斜角与斜率

一、教学内容

人教版《直线的倾斜角与斜率》。 二、教学目标

1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学准备 多媒体课件。 四、教学过程

（一）形成倾斜角的定义

问题1：请你在平面直角坐标系中画出两条直线，说出他们的不同之处。

生：图(1)中的两条直线都经过点P , 但“倾斜程度”不同。 图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同，但没有公共点。 师：直线的倾斜程度是以什么为参照的？

教师引导形成统一的认识:以x轴或y轴为基准都可以，习惯上以x轴为基准。 辅助问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？ 生：（1）两点确定一条直线；

（2）一点及直线相对于x轴的“倾斜程度”。

师：两直线相交可以形成4个角，你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢？ 教师引导形成统一的认识:用图中的∠1。这个角就叫做直线的倾斜角。 [设计意图]：从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法。

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问题２：在平面直角坐标系中，过一点的任意直线相对x轴的位置有哪些情形？请画出这些直线的倾斜角，并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。

(１) (2 (3) (4) [设计意图]：在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过给各种类型的直线标注倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。 学生活动：标出各条直线的倾斜角，并用自己的语言描述倾斜角的特征。 （1）标出各条直线的倾斜角（略）； （2）形成倾斜角的定义：

倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与向上方向之间所成的角的倾斜角为0。

问题3：根据定义，倾斜角α的取值范围是什么呢? 答案：0

180。

轴相交时，轴正向与直线

，叫做直线的倾斜角。规定：当直线与轴平行或重合时，它

（二）形成斜率的定义

问题4：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你还知道表示倾斜程度的量吗？请举例。 [设计意图]：利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。 生：可以用坡角与坡度来表示。坡度的定义是：

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教师引导：我们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。 斜率的定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即

。

问题5：（1）完成下面的表格1，并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。 表1 30 o45 o60 o120 o135 o150 ok=tan（2）根据三角函数的相关知识，思考当倾斜角化？并填写表2。 表2 的取值范围 K的取值范围 k关于的单调性 在[0，180）内变化时，斜率k如何变

0活动方式：学生完成，并交流认识斜率的意义，及倾斜角与斜率的关系。

预设的结论：倾斜角α是90 的直线没有斜率；倾斜角α不是90 的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

（三）探究斜率公式，初步体会坐标法

问题6：已知直线将过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），试用点P1 、P2的坐标表示直线的斜率k？

[设计意图]：将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。

学生活动：学生在刚才所画的直线上标记上述条件，由于不同学生的标记方法不同，将他们标记的情况收集整理，得到所有的情况之后再分类讨论，分组合作，分别求解。通过这样的活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。

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思路分析：根据斜率的定决问题，因此首先要构造直角三角形。 解决过程：（略）。 交流完善：辅助问题：

1.各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？为什么？ 2.当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论还适用吗？ 形成结论：斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1

x2）的直线的斜率公式是：

。

（四）初步应用，巩固双基

例1.如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

[设计意图]：巩固本课时所学的基本知识。 解：（略）。

例2.在平面直角坐标系中，画出经过点（-1，2）且斜率分别为1，-1，和2的直线。 [设计意图]：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。 （五）反思小结，提高认识

问题7.请同学们谈谈你在这节课中学到哪些知识、思想方法和解决问题的经验？ 预设的回答：

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1．明确了确定直线位置的几何要素。（两种）

2．理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。 3．经历了用代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与全面认识基础之上的分类讨论的数学思想。 （六）布置作业 1．P86练习

设计意图：巩固本课时的基本知识。 2．P习题3.1A组3，4，5

设计意图：培养学生运用所学知识解决问题的能力。

结束语：本节课是解析几何的第一课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，也是解析几何研究问题的核心思想方法，通过本节课的研究可见，直角坐标系使几何研究又一次腾飞，几何从此跨入了一个新的时代，让我们给直线插上方程的”翅膀”吧！

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