(完整版)概率论习题答案随机变量的数字特征

1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求E(X).

“They found Peking greatly changed”

解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为

X pk 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5

1E(X)(45677)29/5.

5

2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E(Y)。 解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

Y pk 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29

E(Y)1(445566714)175/29. 29

3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。

解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，

2台的概率分别为

31221C10C2C10C2C10691， 。 p03， p1p2332222C1211C12C12所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

E6911012(台)。 1122222

4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。

解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

Y pk 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12

11111111111 66666363636363636得分的数学期望为

E1149(12345)(789101112)(点)。 63612

5，（1）已知X~()，P{X5}P{X6}，求E(X)。 （2）设随机变量X的分布律为

P{Xk}6,k1,2,3,4,， 2k2问X的数学期望是否存在？

解：（1）根据X~()，可得P{X5}5e5!6e6!P{X6}，因此

计算得到6，即X~(6)。所以E(X)=6。 （2）根据题意，按照数学期望的公式可得

E(X)(1)k1k1kP{Xk}(1)k1k166k222kn(1)k1k116ln2， k2xn,1x1）因此期望存在。（利用了ln(1x)(1)（不符书上答案） n1n0

6，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其

xex/3/9,x0概率密度为f(x)，求一天的平均耗水量。

其他0,（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

0,F(x)2512,xx5x5

求这种动物的平均寿命。 解：（1）一天的平均耗水量为

x2ex/3x2E(X)xf(x)dxdxd(ex/3)093002xex/3x/3dx2xd(e)300 02ex/3dx6（百万升）。

0（2）这种动物的平均寿命为

25E(X)xdF(x)xd(12)x550。 dx10（年）25x

7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为

42x(1x)5,0x1f(x)，

其他0,求X的数学期望。

解：E(X)xf(x)dx42x(1x)dx7x2d(1x)6

2500117x(1x)26114x(1x)dx2xd(1x)2x(1x)670001171012(1x)7dx0=1/4。

8，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。

2(11/x2),1x2f(x)。

其他0,222解：E(X)xf(x)dx2x(11/x)dx(x2lnx)132ln2。

12

9，设随机变量X具有概率密度如下，求E(X)。

3(1x)2/2,1x00x1 f(x)3(1x)2/2,0,其他3x3x解：E(X)xf(x)dx(1x)2dx(1x)2dx

2210013x3x(1x)2dx(1x)2dx0。

2210（对第一个积分进行变量代换xy）

01

10，设X~B(4,p)，求数学期望E(sin

X2).

解： E(sinXkk)sinC4pk(1p)4k 22k0413C4p1(1p)3C4p3(1p)14p(1p)(12p2p2)。（不符书上答案）

11，设球的直径R服从区间(0,a)上的均匀分布，求球体积VR3/6的数学期望。

1/a,0xa解：R的概率密度函数为f(x)，所以

其他0,aE(V)0r31a3。 dr6a24

0.3e0.3x,x012，设随机变量X的概率密度为f(x)，另有X的函

其他0,X00,X2,0X4g(X)数，求数学期望E[g(X)]。 16,X4420.3x解：E[g(X)]g(x)f(x)dxx0.3e0dx160.3e0.3xdx

41(200584e1.2)（不符书上答案） 9

13，设随机变量X1,X2,,Xn相互，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，记Y1min(X1,X2,,Xn)，Ynmax(X1,X2,,Xn)，求E(Y1),E(Yn)。

x00,解：因为Xi(i1,2,n)的分布函数为F(x)x,0x1，所以可以求出

1,x1Y1,Yn的分布函数为

0,y0y00,Fmin(y)1(1y)n,0y1， Fmax(y)yn,0y1。

1,1,y1y1Y1,Yn的密度函数为

n(1y)n1,0y1nyn1,0y1fmin(y)，fmax(y)。

其他其他0,0,所以Y1,Yn的数学期望为

1n111n1E(Y1)yfmin(y)dyny(1y)01nyf(y)dynymaxdy0dyn(1y)0dyn(1y)ndy01， n1E(Yn)n。 n1

14，设随机变量(X,Y)具有分布律

X 0 1 2 Y 0 3/28 3/14 1/28 1 9/28 3/14 0 2 3/28 0 0 求E(X),E(Y),E(XY)，E(XY),E(3X2Y)。 解：求出边缘分布律如下

X 0 1 2 P{Yk} Y 0 3/28 3/14 1/28 10/28 1 9/28 3/14 0 15/28 2 3/28 0 0 3/28 P{Xk} 15/28 12/28 1/28 1 E(X)kP{Xk}1/2， E(Y)kP{Yk}3/4，

k0k022E(XY)ijP{Xi}P{Yj}113/143/14，

j0i0222E(XY)(ij)P{Xi}P{Yj}7/281/4，

j0i022E(3X2Y)(3i2j)P{Xi}P{Yj}84/283。

j0i02

15，在上题中，求E[min(X,Y)],E[Y/(X1)]。

解：E[min(X,Y)]min(i,j)P{Xi}P{Yj}13/143/14，

j0i02222E[Y/(X1)]j0i0jP{Xi}P{Yj}18/289/14。 i1

16，设随机变量具有概率密度

24xy,f(x,y)0,0x1,0y1,xy1其他

求E(X),E(Y),E(XY)。

11y2解：E(X)E(Y)RRxf(x,y)dxdydy24x0011yydx2/5，

RR2yf(x,y)dxdydy24yxdx2/5，

0011y2E(XY)RRxyf(x,y)dxdydy24x00y2dx2/15。

17，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律

X pk 10 11 12 13 14 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为Y1000(12X)，求E(Y),D(Y)。 解：根据题意，可得利润的分布律为

Y pk 2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 因此，

E(Y)20000.210000.310000.120000.1400（元） E(Y2)200020.2100020.3(1000)20.1(2000)20.11600000 D(Y)E(Y2)E(Y)1440000。

2

18，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为

xx2/(22)e,x0f(x)2

其他0,其中0为常数，求E(X),D(X),D(X)。

解：E(X)xf(x)dx0x22ex2/(22)dxxex2/(22)0ex002/(22)dx2dx，

2E(X)2xf(x)dx0x32ex/(2)22dxxe2x/(2)222xe0x2/(22)2e2x2/(22)0222，

D(X)E(X2)E(X)(2/2)2，D(X)(2/2)。

（本题积分利用了e0x2/2dx2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

19，设随机变量X服从几何分布，其分布律为

P{Xk}(1p)k1p,k1,2,，

其中0p1是常数。求E(X),D(X)。 解：E(X)kP{Xk}pk(1p)k1pk1k111， 2ppE(X)kP{Xk}pk(1p)222k1k1k1k1pk(k1)(1p)k(1p)k1k1k1 p(2121)， 322pppp111p2。 p2pp所以，D(X)E(X2)E(X)2本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)k(1p)k1，

k1p11k则s(p)dp(1p)1，所以s(p)s(p)dp2。类似的，设ppk111p'S(p)k(k1)(1p)k1k1(1p)2，则经过两次积分以后可得到，在经过

p两次求导得到S(p)

2。 3p20，设随机变量X具有概率密度为

kkf(x;k,)xk1,x

x0,其中k0,0为常数。 （1） 若k1，求E(X)。

（2） 问当k1时，E(X)是否存在？

（3） 若k2，求D(X)。

（4） 问当k2时，D(X)是否存在？

kk解：（1）当k1时，E(X)xf(x)dxkdxkkx1k。 dxkk1x（2）当k1时，E(X)dx，即E(X)不存在。

1xkkk2（3），当k2时，E(X)xf(x)dxk1dx，

k2x221kk2所以，D(X)E(X)E(X)k。 22k2(k1)(k1)(k2)22222dx，所以D(X)不存在。（4）当k2时，E(X)xf(x)dx

x22

21，（1）在14题中，求Cov(X,Y),XY。 （2）在16题中，求Cov(X,Y),XY，D(XY)。 （3）在第二章习题第14题中，求Cov(X,Y),XY。 解：（1）根据14题中结果，得到

Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)3/141/23/49/56；

因为E(X)kP{Xk}4/7， E(Y)k2P{Yk}27/28，

222k0k022所以D(X)E(X2)E(X)29/28，D(Y)E(Y2)E(Y)245/112， XYCov(X,Y)D(X)D(Y)5。 5（2）根据16题结果可得：

Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)2/152/52/75；

211y因为 E(X)2RR3xf(x,y)dxdydy24xydx1/5， 20011yE(Y)2RR3yf(x,y)dxdydy24yxdx1/5， 200所以，D(X)E(X2)E(X)21/25，D(Y)E(Y2)E(Y)21/25

D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)2/75，

XY2。 3D(X)D(Y)Cov(X,Y)（3）在第2章14题中，由以下结果

X 0 1 2 P{Yk} Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{Xk} 0.24 0.38 0.38 1 得到，E(X)1.14，E(Y)1.34，E(XY)1.8，E(X2)1.9，E(Y2)2.34， 所以，Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.2724；

D(X)E(X2)E(X)0.6004，D(Y)E(Y2)E(Y)0.44,

22XYCov(X,Y)D(X)D(Y)0.27240.4765. 0.5717

22，设随机变量(X,Y)具有D(X)9,D(Y)4，XY1/6，求D(XY)，

D(X3Y4)。

解：根据题意有 D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

D(X)D(Y)2XYD(X)D(Y)942(1/6)611。

D(X3Y4)D(X4)D(3Y)2Cov(X4,3Y)

D(X)9D(Y)6Cov(X,Y)9366(1/6)651。

23，（1）设随机变量X1,X2,X3相互，且有E(Xi)0,E(Xi2)1，

i1,2,3，求EX1(X24X3)2。

2（2）设X1,X2,X3相互，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求E(X12X2X3)2。

解：（1）因为X1,X2,X3相互，所以

EX1(X24X3)2E(X1)E[(X24X3)2]E[X28X2X316X3]

E[X28X2X316X3]E[X2]8E[X2]E[X3]16E[X3]

22222222101617。

（2）根据题意，可得E(Xi)1/2,E(Xi2)D(Xi)E(Xi)21/3， i1,2,3。

E(X12X2X3)2E[X14X2X34X1X22X1X34X3X2]

E[X1]4E[X2]E[X3]4E[X1]E[X2]2E[X1]E[X3]4E[X3]E[X2] 2222221411111。 33322

24，设随机变量(X,Y)具有概率密度

1,f(x,y)0,yx,0x1其他

验证X,Y不相关，但X,Y不是相互的。

1x解：因为 E(X)E(Y)RRxf(x,y)dxdydxxdy2/3，

0x1xRRyf(x,y)dxdydxydy0，

0x1xE(XY)RRxyf(x,y)dxdydxxydy0，

0x所以，Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0， 即，验证了X,Y不相关。

xx1dy2x，0x1； 又因为，fX(x)f(x,y)dy0,其他11dx，1y0y1y，0y0.51fY(y)f(x,y)dx1dx，0y11y，0.5y1，

y0，其他0，其他显然，f(x,y)fX(x)fY(y)，所以验证了X,Y不是相互的。

25，将n只球(1~n号）放入n只盒子(1~n号）中去，一只盒子装一之球。若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对数，求E(X)。

解：引入随机变量定义如下

1第i个球落入第i个盒子Xi

0第i个球未落入第i个盒子则总的配对数XXi，而且因为P{Xi1}，所以，X~N(n,)。

i1n1n1n故所以，E(X)n1。

（第3章习题解答完毕）

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