2019-2020学年山东省菏泽市高二(上)期中数学试卷(a卷)试题及答案(解析版)

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若ab0，cR，则( ) A．

11 ab

B．acbc C．a2b2 D．acbc

2．己知等差数列{an}中，a1a714，则a4( ) A．7

B．8

C．14

D．16

x2y23．已知椭圈C:221(ab0)的两个焦点是F1,F2,|F1F2|23，椭圆上任意一点M与

ab两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为( ) A．

1 2B．3 2C．3 D．2

4．命题“x[2，)，x2…4”的否定是( ) A．x[2，)，x24

24 C．x0[2，)，x0B．x(,2)，x2…4

2…4 D．x0[2，)，x05．恩格尔系数（记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．联合国对消费水平的规定标准如表： 家庭类型 n 贫穷 n0.6 温饱 小康 富裕 最富裕 0.5n„0.6 0.4n„0.5 0.3n„0.4 n„0.3 实施精准扶贫以来，根据对某山区贫困家庭消费支出情况（单位：万元）的抽样调查，2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山区的家庭2020年将处于( ) A．贫困水平

B．温饱水平

C．小康水平

D．富裕水平

86．已知f(x)ax(x0)在x4处取得最小值，则a( )

xA．4 B．2 C．1 D．

1 2x2y21表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围( ) 7．己知方程

10tt4A．(4,7) B．(4，7)(7，10) C．(7,10) D．(4,10)

8．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( ) A．

4 39B．

7 78C．

7 76D．

5 8139．若关于x的不等式kx2kx„0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是( )

4A．{k|3k0} B．{k|k3或k0} C．{k|k„3或k…0} D．{k|3剟k0}

1an(nN*)，则a2019( ) 1an5C．

31D．

410．己知数列{an}满足a14,an1A．4

3B．

5二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 11．设a，bR，则下列不等式一定成立的是( ) A．a2b2…2ab

1B．a…2

aC．b21…2b D．|ba|||…2 ab12．已知等比数列{an}中，满足a11，q2，则( ) 1A．数列是等差等列

an1B．数列是递减数列

an

C．数列{log2an}是等差数列 D．数列{log2an}是递减数列

13．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( )

A．acmR C．2amn

B．acnR D．b(mR)(nR)

三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在对应题号后的横线上）

14．若关于x的一元二次方程x22x0有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 ．

15．能够说明“设a，b，c是任意实数，若b2ac，则a，b，c依次成等比数列”是假命题的一组数a，b，c的值依次为 ．

x2y21上的点P与两焦点的连线互相垂直，则点P的坐标是 ． 16．已知椭圆16817．一定温度下，某种不饱和溶液的质量为a克．其中溶质为b克，若再添加该溶质m克，且全部溶解，则该溶液的浓度 （用“变大”、“变小”或“不变”填写）；该溶液浓度变化的大小关系可用不等式 表示．

四、解答题（本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

x2y218．已如F(3,0)椭圆C:221(ab0)的右焦点，且点A(2,0)在椭圆上．

ab(l)求椭圆C的标准方程：

（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度． 19．（1）已知一元二次方程x2bx20的两根分别为2和m，求关于x的不等式的解集．

xm2xb0(a0)的解集 （2）求关于x的不等式ax2(a24)x4a厖20．设{an}是公差大于0的等差数列，其前n项和为Sn，a12，且S32a3． （1）求数列{an}的通项公式： （2）若bn1，求数列{bn}的前n项和Tn． Sn21．某小电子产品2018年的价格为9元/件，年销量为a件，经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为x元/件（其中6.5剟x8.5)，经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了的成本价格为4元/件．

（1）写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式：（年收益

k件（其中常数k0)．已知该电子产品x5年销售收入成本）

（2）设k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%？

22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snan1，其中0且1．

（1）证明：数列{an}是等比数列： （2）当T1，令cn(n1)an，数列{an}的前n项和为Tn，若需n2019恒成立，求正整2n数n的最小值：

23．已知圆C:(x2)2y212，圆心为点C，点A(2,0)是圆C内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点M，P在圆上运动． (l)求动点M的轨迹N的方程：

（2）若B为曲线N上任意一点，|BC||BA|的最大值：

（3）经过点G(1,0)且斜率为k的直线交曲线N于E，F两点在x轴上是否存在定点D，使得GDEGDF恒成立？若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由．

2019-2020学年山东省菏泽市高二（上）期中数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若ab0，cR，则( ) A．

11 ab

B．acbc C．a2b2 D．acbc

【解答】解：ab0，cR，取a2，b1，c0，可排除A，C，D． 由不等式的基本性质知，acbc，故B正确． 故选：B．

2．己知等差数列{an}中，a1a714，则a4( ) A．7

B．8

C．14

D．16

【解答】解：等差数列{an}中，a1a714， a1a72a414，

解得a47． 故选：A．

x2y23．已知椭圈C:221(ab0)的两个焦点是F1,F2,|F1F2|23，椭圆上任意一点M与

ab两焦点距离的和等于4，则椭圆C的离心率为( ) A．

1 2B．3 2C．3 D．2

x2y2【解答】解：椭圈C:221(ab0)的两个焦点是F1,F2,|F1F2|23，

ab所以c3，椭圆上任意一点M与两焦点距离的和等于4，所以a2， 所以ec3． a2故选：B．

4”的否定是( ) 4．命题“x[2，)，x2…A．x[2，)，x24

24 C．x0[2，)，x0B．x(,2)，x2…4

2…4 D．x0[2，)，x0【解答】解：命题为全称命题，则命题“x[2，)，x2…4”的否定是：x0[2，)，

2x04，

故选：C．

5．恩格尔系数（记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．国际上常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．联合国对消费水平的规定标准如表： 家庭类型 n 贫穷 n0.6 温饱 小康 富裕 最富裕 0.5n„0.6 0.4n„0.5 0.3n„0.4 n„0.3 实施精准扶贫以来，根据对某山区贫困家庭消费支出情况（单位：万元）的抽样调查，2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，预测该山区的家庭2020年将处于( ) A．贫困水平

B．温饱水平

C．小康水平

D．富裕水平

【解答】解：2018年每个家庭平均消费支出总额为2万元，其中食物消费支出为1.2万元， 预测2018年到2020年每个家庭平均消费支出总额每年的增长率约是30%，而食物消费支出平均每年增加0.2万元，

2020年，消费总额为：21.32万元，食物消费支出为：1.6万元； 可得n1.60.47，0.4n„0.5，

2132预测该山区的家庭2020年将处于小康水平． 故选：C．

86．已知f(x)ax(x0)在x4处取得最小值，则a( )

xA．4 B．2 C．1 D．

1 2【解答】解：a„0时，f(x)在(0,)上是减函数，无最小值，不符合题意， a0，

8f(x)a(xa)在xx8取得最小值， a又f(x)在x4处取得最小值， 

814，解得a． a2故选：D．

x2y21表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则t的取值范围( ) 7．己知方程

10tt4A．(4,7) C．(7,10)

B．(4，7)(7，10) D．(4,10)

x2y21表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆， 【解答】解：方程

10tt410tt4可得：，

t40解得t(4,7)． 故选：A．

8．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( ) A．

4 39B．

7 78C．

7 76D．

5 81【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤， 则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金， aa2a3a434a6d3由题意得1，即1，

aaa43a24d491018解得d7， 787斤金． 78每一等人比下一等人多得

故选：B．

39．若关于x的不等式kx2kx„0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是( )

4A．{k|3k0} B．{k|k3或k0} C．{k|k„3或k…0} D．{k|3剟k0}

【解答】解：当k0时，4„0对任意实数x都成立，k0； 33当k0时，不等式kx2kx„0对任意实数x都成立，

4k0，3„k0， 2k3k„0综上，k的取值范围为[3，0]． 故选：D．

10．己知数列{an}满足a14,an1A．4

3B．

51an(nN*)，则a2019( ) 1an5C．

31D．

4【解答】解：数列{an}满足a14,an1则当n2时，a2当n3时，a31a1145． 1a11431an(nN*)， 1an1a21， 1a241a33当n4时，a4，

1a3581a454， 当n5时，a51a425所以数列的周期为4， 故201950443， 1则a2019a3．

4故选：D．

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 11．设a，bR，则下列不等式一定成立的是( ) A．a2b2…2ab

1B．a…2

aC．b21…2b D．|ba|||…2 ab0，a2b2…【解答】解：A．a，bR，a2b22ab(ab)2…2ab，故A正确；

B．a，bR，取ab1，可知B错误；

0，b21…2b，故C正确； C．bR，b212b(b1)2…D．a，bR，当ab0时，|ba|||…2不成立，故D错误． ab故选：AC．

12．已知等比数列{an}中，满足a11，q2，则( )

1A．数列是等差等列

an1B．数列是递减数列

an

C．数列{log2an}是等差数列 D．数列{log2an}是递减数列

【解答】解：在等比数列{an}中，由a11，q2，得an2n1， 11aa111则()n1，由n1n，可得数列是递减等比数列，

1an12an2anan故A错误，B正确；

又log2anlog22n1n1，log2an1log2ann(n1)1， 数列{log2an}是递增的等差数列，

故C正确，D错误． 故选：BC．

13．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( )

A．acmR C．2amn

B．acnR

D．b(mR)(nR)

【解答】解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：acRm，acRn，可得acmR，所以A正确；acRn，所以B正确；

可得amnnm． R，c22mnnm2R)2()(mR)(nR)． 22则b2a2c2(则b(mR)(nR)．所以D正确；

故选：ABD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在对应题号后的横线上） 14．若关于x的一元二次方程x22x0有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 01 ．

【解答】解：关于x的一元二次方程x22x0有两个不相等的正实数根， 则△440，1， 又两个根的乘积0， 所以01． 故答案为：01．

15．能够说明“设a，b，c是任意实数，若b2ac，则a，b，c依次成等比数列”是假命题的一组数a，b，c的值依次为 k，0，0 ．

【解答】解：能够说明“设a，b，c是任意实数，若b2ac，则a，b，c依次成等比数列”是假命题，

则这一组数a，b，c的值依次为：k，0，0， 故答案为：k，0，0．

x2y21上的点P与两焦点的连线互相垂直，则点P的坐标是 16．已知椭圆

168(0,22)． ．

x2y21，a216，b26， 【解答】解：椭圆168c2a2b28，

以O为圆心，半径22的圆方程x2y28 （1）

x2y21（2） 椭圆168由（1）（2）得：

x20，y28，则点P的坐标是(0,22)．

x2y21上一点P与椭圆两个焦点连线互相垂直， 椭圆168即椭圆与圆的交点(0,22)． 故答案为：(0,22)．

17．一定温度下，某种不饱和溶液的质量为a克．其中溶质为b克，若再添加该溶质m克，

且全部溶解，则该溶液的浓度 变大 （用“变大”、“变小”或“不变”填写）；该溶液浓度变化的大小关系可用不等式 表示． 【解答】解：原来溶液的浓度为溶液的浓度变为

b，再添加溶质m克后， abm，此时浓度变大； ambbm(ab0,m0)表示． aam该溶液浓度变化的大小关系可用不等式故答案为：变大；

bbm(ab0,m0)． aam四、解答题（本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

x2y218．已如F(3,0)椭圆C:221(ab0)的右焦点，且点A(2,0)在椭圆上．

ab(l)求椭圆C的标准方程：

（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度． 【解答】解：（1）由题意知，焦点F(3,0)且过点A(2,0)， a2,c3，

b2a2c2431，

x2椭圆方程为y21．

4（2）由题意得，直线MN的方程为yx3，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， yx3联立直线与椭圆方程x2，得5x283x80，

2y14△192160320，

则y1y2x13(x23)x1x2，

|MN|(x1x2)2(y1y2)22(x1x2)2，

又

(x1x2)2(x1x2)24x1x2(328． 255832832， )45525|MN|219．（1）已知一元二次方程x2bx20的两根分别为2和m，求关于x的不等式的解集．

xm2xb（2）求关于x的不等式ax2(a24)x4a厖0(a0)的解集

【解答】解：（1）一元二次方程x2bx20的两根分别为2和m， m2bm1，解得， 由韦达定理知，2m2b3不等式为

x1x52，移项整理得0，解得3x5， x3x3不等式的解集为{x|3x5}；

（2）由题意得，原不等式可化为(ax4)(xa)厖0(a0)， 1)当a0时，原不等式的解集为{x|x„0}； 2)当a0时，方程(ax4)(xa)0的两根为x14,x2a， a①当②当③当

44a时，即a2时，原不等式的解集为x|x剠或xa；

aa4a时，即a2时，原不等式的解集为R； a44a或xa时，即0a2时，原不等式的解集为x|x剠，

aa综上所述，当a0时，原不等式的解集为{x|x„0}；当0a2时，原不等式的解集为4x|x剠a或x；

a4当a2时，原不等式的解集为R；当a2时，原不等式的解集为x|x剠或xa．

a20．设{an}是公差大于0的等差数列，其前n项和为Sn，a12，且S32a3． （1）求数列{an}的通项公式： （2）若bn1，求数列{bn}的前n项和Tn． Sn【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d(d0)， a12，S32a3，

即3a13d2(a12d)，d2， an22(n1)2n,nN*；

（2）bnan2n,nN*，Snn(22n)n(n1)， 21111， Snn(n1)nn1111111111nTnb1b2b3bn1,nN*．

122334nn1n1n121．某小电子产品2018年的价格为9元/件，年销量为a件，经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为x元/件（其中6.5剟x8.5)，经调查，顾客的期望价格为5元/件，经测算，该电子产品的价格下降后年销量新增加了的成本价格为4元/件．

（1）写出该电子产品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式：（年收益

k件（其中常数k0)．已知该电子产品x5年销售收入成本）

（2）设k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%？

【解答】解：（1）因为该电子产品价格下降后的价格为x元/件，销售量为(a每件电子产品利润为x4元． 年收益y关于x的函数为：y(a（2）当k2a时，依题意有(ak)(x4),6.5剟x8.5． x5k)件，x52a)(x4)…(94)a(10.2)， x57， 整理得：x213x42…0，解得：x„6或x…x8.5，所以7剟x8.5， 又6.5剟因此当实际价格最低定为7元/件时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%．

22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snan1，其中0且1． （1）证明：数列{an}是等比数列： （2）当T1，令cn(n1)an，数列{an}的前n项和为Tn，若需n2019恒成立，求正整2n数n的最小值：

【解答】解：（1）证明：Snan1①，

2② Sn1an11，n…由①②得，ananan1， 又0且1，

an1,n…2， an11{an}是首项为a111，公比q的等比数列； 11（2）当1，则q2，且a12，ana1qn12n， 2cn(n1)an(n1)2n，

Tnc1c2c3cn221322423(n1)2n③， 2Tn222323424(n1)2n1④，

由③④得，Tn2212223242n(n1)2n1

222n24(n1)2n1n2n1，

12Tnn2n1,nN*， 

Tn2n12019， ny2x1在[1，)为增函数，且21010242019，21120482019，

n1…11，

又nN*n…10，

n的最小值为10．

23．已知圆C:(x2)2y212，圆心为点C，点A(2,0)是圆C内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点M，P在圆上运动． (l)求动点M的轨迹N的方程：

（2）若B为曲线N上任意一点，|BC||BA|的最大值：

（3）经过点G(1,0)且斜率为k的直线交曲线N于E，F两点在x轴上是否存在定点D，使得GDEGDF恒成立？若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）连接MA， l是线段AP的垂直平分线，

|MP||MA||MC||MP||MA||MC|r23 点M到两定点C(2,0),A(2,0)距离之和为定值23|CA|22，

点M的轨迹是以C，A两点为焦点，长轴长为23的椭圆， a3,b1,c2，

x2动点M的轨迹N的方程为y21；

3（2）B为曲线N上任意一点， |BC||BA|23

(|BC||BA|)23，当且仅当|BC||BA|3时，等号成立； |BC||BA|„4（3）假设存在点D(m,0)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线方程为yk(x1)， 代入椭圆方程，得(13k2)x26k2x3k230，

6k23k23,x1x2△b4ac36k4(13k)(3k3)0且x1x2， 13k213k22422由GDEGDF，所以kDEkDF0， y1y20(x1m)y2(x2m)y10， x1mx2m(x1m)k(x21)(x2m)k(x11)0， k((x1m)(x21)(x2m)(x11))0，

由于对任意k恒成立，因此(x1m)(x21)(x2m)(x11)0 2x1x2(m1)(x1x2)2m0恒成立，

3k236k2(m1)2m0恒成立， 即213k213k22m60恒成立，因此m3 13k2综上所述，存在点D(3,0)满足题意．