空间点线面之间的位置关系

空间点线面之间的位置关系

一、平面

1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．

平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：

(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：

画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）

3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言

空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直

线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示 点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形语言 符号语言 文字语言（读法）

Aa Aa A 点A在直线a上 点A不在直线a上 点A在平面 二、平面的基本性质

A abA a 点A不在平面 直线a、b交于A点 直线a在平面 a aA 直线a与平面无公共点 直线a与平面交于点A l 平面、相交于直线l 1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面，那么这条直线在这个平面 推理模式：

AAB． 如图示： B或者：∵A,B，∴AB 公理1的作用：①判定直线是否在平面；

②判定点是否在平面； ③检验面是否是平面．

2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A,B,C 不共线推理模式：A,B,C与重合 A,B,C或者：∵A,B,C不共线，∴存在唯一的平面，使得A,B,C. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．

(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线 A推理模式：AlA或者：∵A,A，∴公理3的作用：

 如图示：

l,Al

(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题

通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面，又在第二个平面。

2、证明空间三线共点

可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证明另两条直线的交点在此直线上。

3、证明空间几点共面问题

可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面 三、空间两直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数

相交直线 平行直线 异面直线 四、平行直线 1. 公理4 平行公理

在同一平面 在同一平面 不同在任何一个平面 有且只有一个公共点 没有公共点 没有公共点 平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：a//b,b//ca//c．

(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 2.等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 五、异面直线 1. 定义：

不在任何一个平面的两条直线叫做异面直线

(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 2．异面直线的画法

画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．

3．异面直线判定定理

过平面一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过该点的直线是异面直线

lA 推理模式：直线AB与直线l是异面直线

BBL六、异面直线所成的角 1. 定义：

已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a//a,b//b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．

(1)异面直线所成的角与O点的位置无关．

(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作ab． (3)异面直线所成角的围是0,2. 求异面直线所成角的步骤

（1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立；

（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；

（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． 七、直线、平面的位置关系

1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：

(1)直线在平面：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面，记作a⊂α.

(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，

． 2

公共点A叫做直线a与平面α的交点．

(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α. 2.两个平面的位置关系有且只有一下两种： (1)两个平面平行---没有交点 (2)两个平面相交---有一条公共直线

3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．

一、直线与平面的位置关系

位置关系 交点个数 图形语言 直线在平面 无数个 直线与平面相交 直线 在平 面外 直线与平面平行 没有 二、直线和平面平行

符号语言 a 只有一个 aA a//

1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．

2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

a 推理模式：ba//

a//b 特别说明：

1、定理中的三个条件缺一不可． 2、该定理的作用：证明线面平行．

3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．” 3. 性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

 推理模式 aa//b

b 特别说明：

1、定理中的三个条件缺一不可． 2、该定理的作用：证明线线平行． 3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．” 三、平面和平面的位置关系

a//位置关系 公共点 符号表示 两平面平行 没有公共点 两平面相交 有一条公共直线 // a

图形表示

四、平面与平面平行 1.两平面互相平行的定义

如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行． 2.两平面平行的判定定理

如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

a,a//推理模式：b,b////．简言之：线面平行面面平行

abA推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行． 3.两个平面平行的性质

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

// 推理模式：aa//b．简言之：面面平行线线平行

b 特别说明：

平面与平面平行的其它性质

（1）两个平面平行，其中一个平面的任何一条直线必平行于另一个平面．

（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．

（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行． （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

一、直线与平面垂直

1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直． 2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离 3.直线和平面垂直的判定

4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，

如图：

(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

符号语言：a∥b，a⊥α ⇒b⊥α，

如图：

5．直线与平面垂直的性质

(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号语言：a⊥α，b⊥α ⇒a∥b，

如图：

(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面的任意一条直线垂直． 符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，

如图：

6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α的射影

(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点． (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． (3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的心． 7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 三、直线和平面平行

1．平面与平面垂直的定义：

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线

互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β. 2．两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示：a⊥α，a⊂β ⇒α⊥β，

如图：

3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．

符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β， 如图：

推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面．