经典与实用的直线与双曲线的位置关系及弦长问题的教案

一复习

1椭圆与直线的位置关系及判断方法（括号部分学生回答）

（1） 几何（从定义即交点）（2）代数（写出联立后消Y后的方程） 2弦长求法

（1） 直接求交点坐标，用两点间距离公式

（2） 用韦达定理，然后用公式为（ ）或

（ ）

二新课讲解 1.从几何形的角度（请同学们画直线），讨论后画出基本的图形，并作结 Y O X Y O X

小结：㈠ 相交；⑴有两个公共点①在同一支②分别在两支

⑵有一个公共点：直线与渐近线平行

㈡相切 只有一个公共点

㈢相离 没有公共点（板书小结并为下面代数方法后小结预留空位）

2.与椭圆和直线一样，同样可以用代数方法联立方程组求交点个数来解决位置关系问题。

x2y2设直线l:ykxm与双曲线221(a0,b0)联立解得

ab222222(bak)x2amkxam2a2b20①

b（1） 若b2a2k20即k，直线与双曲线渐近线平行或重合。

a方程①为一元一次方程：2a2mkxa2m2a2b20

bI当m=0时，方程无解 。直线与双曲线无交点。此时直线为yx，直线和

a渐近线重合（如图）。位置关系：相离

II当m0时，方程①有唯一解。直线与双曲线有唯一公共点。此时直线为

byxm，直线与渐近线平行，（如图）。位置关系：相交。(与小结对应)

ab （2）若b2a2k20即k，

a22222(2amk)4(bak)(a2m2a2b2)

0有两个交点，直线与双曲线相交。（与图形和小结对应） 0有一个交点，直线与双曲线相切。 0没交点，直线与双曲线相离。

小结：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的（ ）条件

b k

a㈠ 相交；⑴有两个公共点①在同一支 >0

x1×x2>0

a kb

②分别在两支 >0

x1×x2<0 ⑵有一个公共点： kb a直线与渐近线平行 m0

kb a㈡相切 只有一个公共点 =0

kbb 或 k（即渐进线）

aa㈢相离 没有公共点 <0 m=0 注意：数形结合，前后呼应。（大括号中的在前面补充） 3.直线和双曲线弦长求法与______类比，即可。 三．例题分析

x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别【例1】过点P(7,5)与双曲线

725求出它们的方程，变式：若无公共点斜率范围？

【例2】直线ykx1与双曲线3xy1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

22y21截得的弦长； 【例3】求直线yx1被双曲线x42x2 y2四．课后思考 ： 1.过点P(1,1)与双曲线只有一个交点1916的直线共有______条

变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?

2双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________

x2y21交于两点的直线的斜率的取值范围是 3过原点与双曲线 43______

4.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线

(1)没有公共点; (2)有两个公共点;

(3)只有一个公共点; (4)交于异支两点； (5)与左支交于两点.