维普资讯 http://www.cqvip.com 中国西部科技 ２００７・０９ 用ＣＡＳＩＯ计算器计算椭圆结构任意弧长 的理 及方法 雷宏波’ 罗居刚 （Ｉ．广东水电二局股份有限公司，广东增城５１Ｉ ５４０；２．安徽省水利科学研究院，安徽蚌埠２５５０００） 摘要：本文简炼讨论了计算任意一段椭圆结构孤长的理论和方法，举出实际应用例子，给出多组公式，可作解决同类问题之借鉴。 关键词：孤长；椭圆积分；ＣＡＳＩＯ ｆｘ－５９００ Ｐｖ计算器；无穷级数；辛普生积分法 当前，为了追求建筑物外形时尚、新颖、美观，椭圆 合），但可以展开为无穷级数，但级数项仍含有定积分。 造型的应用越来越多，这给工程技术人员计算工程量带来 特殊地，当‘ｐ＝号时，记为Ｅ、￡（七），其中ｌｋｌ＜１，称为第二 了新难题。求椭圆全面积可查有关技术手册，套用现成公 类完全椭圆积分，也是不可积的，展开为级数为： 式；求部份椭圆面积，也可通过定积分并用莱布尼茨公式 一不难求得精确结果。但是求椭圆周长或弧长的问题就复杂 （ ｋ４一 （２ｎ －１）！ 一Ｌ｝（ ， 些了。 由（６）式可得椭圆周长公式为Ｌ＝４ａ．Ｅ １，只要将 ｌ 椭圆周长公式的理论推导ｔ 椭圆离心率ｅ代入就可求出椭圆周长。 椭圆参数方程ｆＸ＝ａｃｏｓＯ， 另，如果设Ａ： ，则， 【ｙ：ｂｓｉｎＯ 其中ａ一长半轴，ｂ一短半轴，０∈『Ｏ，２ｎ）一离心角。 则有微分ｆｄｘ＝一ａｓｉｎ０ｄＯ， ）（ ＋等＋ ＋ ２５６＋而２５Ｌｓ＋Ｌ］（８） ‘ｌａ ｙ＝ｂｃｏｓＯｄＯ 此式不再写出推导过程。为方便读者应用，再给出求 弧微分为ｄｓ＝√（ ） ＋（ ） ｄＯ＝√口 ｓｉｎ ０＋６ ｃｏｓ ０ｄＯ（１） 椭圆周长的两个近似公式： 由三角函数等式ｓｉｎ ０＋ＣＯＳ ０＝１，消去一个三角函数， 保留正弦函数或余弦函数得 ［１－５ ＋ ）一 ］或 ＋６） ，。 ＝√６ ＋（口 一６ ）ｓｉｎ ０ｄＯ：０ 一（口 一６ ）ｃｏｓ ０ｄＯ （２） ２ 椭圆任意一段弧长公式的理论推导ｔ 再由椭圆性质。 一ｂ ：ｃ ，及椭圆离心率的定义 设椭圆上两点Ｐ（ ，Ｙ ）和 ，Ｙ ）对应的离心角分别 Ｐ： （ｏ＜Ｐ＜Ｉ），得ｄｓ：口￣／—１－ｅ２ ｃ—ｏｓ２０ｄＯ （３） 为０【、ｐ，求，ｏｐ的弧长。 Ｉｘ：口ｃｏｓ ０【， 或由倍角公式（降幂公式）ｃｏｓ２０：！±！！！ 将Ｐ点坐标代入椭圆参数方程有１ ．：６ｓｍ ０【，则Ｐ点的 １一ｃｏｓ２０ ２ ’ 离心角为０【：ａｒｃｃｏｓ￣。，．同理可求Ｑ点的离心角ｐ ａｒｃｃｏｓ 。 ．， ｎ．。 — ，消去（１）式中的三角平方项得 用前述（１）～（４）任何一式并结合求曲线弧长的定积分 ｄｓ＝拿 万 ’ 公式均能求得而的弧长。 先考虑用第（４）式，得 以上（１）～（４）任何一式，结合求曲线弧长的定积 ： 分公式均能得到椭圆周长的表达式，如用第（３）式得 ｒ Ｌ：ｒ ｄｓ＝ａｒ √ｉ．二 ＝４ａｊ √ 二 （５） ＝ ４ （９） 令 二ｒ一０，则ｄＯ＝－ｄｒ，ｃｏｓＯ＝ｓｉｎ ，当积分区间 如果用第（３）式，得 ０：０－＋ 时有 ：｛－＋０，注意到积分与积分变量无 ＝。￣］ｌ－ｅ２ ｃｏｓ２０ｄＯ：ａ ａｒｃｃｏｓ ｘ￣ （１０） 关，故（５）式又可记为 ￡：４“ｆｍ √ｌ—Ｆ ｓｉｎ。ＯｄＯ （６） 令 薹一，则‘Ｊｅ＝一却 ｎ ＝ｃ。ｓ。＝言， ａｒｃｓｉ“言， 查阅有关数学手册知，积分 √１一 ｓｉｎ ＯｄＯ称为勒让 故当积分区间０：ａｒｃｃｏｓ ａｒｃｃｏｓ 时有 德（Ｌｅｇｅｎｄｒｅ）第二类椭圆积分，记为￡ ，‘ｐ），其中ｋ称为 模数，该积分不可积（不能用有限个初等函数进行复 ｕ，：ａｒｃｓ ｎ玉 ａｒｃｓｉｎ ａ ａ ＇ 收稿日期：２００７—０８—２４修回日期：２００７—０９—１５ 作者简介：雷宏波（１ ９７６一）。男。水工建筑工程师。水利工程工程硕士。从事水利水电工程技术工作。 ０４ 维普资讯 http://www.cqvip.com 注意到积分与积分变量无关，故（１０）式又可记为 ＝ａ值方法求近似解。仅管我们不能用截断误差公式来估计误 差大小，但可以用计算精度来控制计算，即通过比较Ｎ＝２“与 ／—ｌ－ｅ２ —ｓｉｎ２０ｄＯ＝ａｅａａ＊：ｓ ｌｎ ￣ ２ ｎ２ ｖ ｖ ］ Ｎ’：２ 两次计算结果的相对误差来衡量计算精度，这就是 数值积分中判断何时中止迭代的方法。 ＝口Ｊ Ｅ（ｅ，ａｒｃｓｉｎ ）一Ｅ（ｅ，ａｒｃｓｉｎ・－２＊）Ｊ Ｌ 口 口Ｊ 广 （１１） ４ 程序模块及实例。注意事项 该例函数ｆ（Ｘ）有两个参数ａ、ｂ，由于该计算器在定义 ３ 实际应用 求椭圆周长可看作是求任意一段弧长的特例。公式 （９）～（１１）中的定积分是无法采用莱布尼茨公式的，因 为原函数不是初等函数。如果用数值积分到电脑上去计 算，虽是一个已经解决的问题，但在实际应用中，要进行 函数时不能使用常数储存器、囤 匠 围、圃等功能，故每 次只能定义一个确定的椭圆，即ａ、ｂ已知。作为例子，设 ａ＝１０，ｂ＝８，Ｐ、Ｑ两点的横坐标分别为Ｘｌ＝９，Ｘｚ＝１，单位为 编程并在计算机中计算，却面临着以下问题：①尽管这个 数值积分的编程不算复杂，但愿意为此专门编程并调试的 工程技术人员却不多。②尽管有现成的程序可购买或网上 下载，多为英文界面，要较快地获取并学习掌握并加以应 用不方便。③如果用ＡｕｏＣＡＤ作图并测算，这种方法比较花 时间，且计算精度与划分的区段大小有关，难以估算误 差。另外，如果是预算人员遇到这类计算问题，由于不少 预算员对ＡｕｔｏＣＡＤ操作不够熟悉，所以也难以运用。④计算 机体积大，携带不方便。此外，专门为处理这样一个计算 问题要启动和关闭计算机，开关机的时间也是人们不愿接 受的。 考虑￣ＩＪＣＡＳＩＯ计算器ｆｘ一３９００ Ｐｖ及以上型号（程序计算 器）也能进行积分计算，我们曾在此计算器上试算，方便 实用，精度能满足工程需要。下面就以（９）式为例介绍这 种办法。 读者先要熟悉ＣＡＳＩＯ ｆｘ一３９００ Ｐｖ，从其说明书中知， 储存器又叫寄存器、记录器，对同一个储存器又有一些不 同的叫法，如：Ｍ一记录器、独立寄存器、变数储存器就是 同一储存器；内容寄存器、常数储存器、统计寄存器是一 组储存器，共六个，分别记为Ｋ１ Ｋ６。该计算器计算定积分 使用辛普生法，将积分区间等分为Ｎ＝２ｎ等分，在每个等分 区段上应用辛普生积分公式，即 ＝ 厂 ） Ｂ鲁喜Ｊ厂 ＿１）“厂（ 一。＋ ＋厂 ）ｌ。 其中：步长厅 截断误差为ＲＮ＝一 １８０ ２ｆＩ １厂 Ｊ ），Ｔ１’ ∈ ，一 ｇ】对（９）式，厂 ）：半√ ＋６ ）’ －ｂ ）ｃ。ＳＸ Ｐ＝２ａ＝２ａｒｃｃｏｓｘｊｇ ２ｐ＝２ａｒｃｃｏｓｘ： ．口 口 如果按ＲＮ计算式进行误差估算比较困难，因为求 ’ ）在区间【ｐ，ｑ】的最大值不容易。 ’ ）解析式很 长，是分式且含三角函数开方。若通过求解 ）＝０来考 察 ）的极值点，显然解这个方程可行的办法也是用数 米。则程序如表１： 囊块潮Ｉ 毽廖疹过嚼 按ｔ 清除常数 清除六个常数储存器 围圃围 储存嚣 进入ＬＲＮ状杰 匝璺圜 选择疆序区 圃 鞘除该程序区原有程序 Ｅ圃囤 定义Ｊ 将变量 指定到Ｍ记录嚣 回ｕ－ａ ：团一・一目１ ０圈曰■８匦虱目 输入 ∞ 一日１ ０囹曰●８囤曰圈一目 园固团一 进入， 状寿 粤田 选捧程序区 圃 执行积分 输入月 ２ 固固 输入ｐ ｉｌＪ ２■ ９■１０圈Ｅ婴 回 囤 输入口 ２一 １■ｌ０ Ｅ幽 表１程序说明表 应用时的几点注意事项： （１）“输入ｎ”这个步骤可以省略，程序将自动确定ｎ 值。如果手动输入，则１≤ｎ≤９。 （２）由于积分上下限是角度，所以应注意角度单位： 度、弧度还是百分度。要在“进入Ｊ’ｄｘ状态”前设定计算 器的角度单位，并在输入角度时采用相应的角度单位。 （３）本例积分的上下限是２×ａ的形式，不是一个简单 值，而是要通过一定步骤的计算得出，注意在输入表达式 时最外层的括号不可少。 此例经实算，如果让程序自动设定ｎ值，则ｎ＝４， Ｉ＝０．２１９ ３１９；如果手动设置ｎ值，取ｎ＝５，则Ｉ＝０．２１９ ３１８ ６，两次迭代相对误差Ａ １＝０．０００ ０００ ４。可见，尽管两次 迭代并不能提高多少精度，但明显感到计算所用的时间 长，而让计算器自动设置ｎ值的计算结果足以满足工程的精 度要求。
