２０１０年８月 西北工业大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ａｕｇ． ２０１０ 第２８卷第４期 Ｖｏｌ＿２８ Ｎｏ．４ 二维有限元重合网格法网格特性研究 谢伟，黄其青，张允涛 ７１００７２） （西北工业大学航空学院，陕西西安摘要：有限元重合网格法作为一种自适应有限元法和多尺度计算方法，目前受到了研究者们的广泛 关注。文中首先简介了二维线弹性断裂力学中有限元重合网格法的原理；其次为获得最少网格数量 下最精确的数值结果，研究了重合网格法中全局模型和局部模型网格大小和网格数量的关系以及对 计算精度的影响；最后就影响重合网格法精度的局部模型的选择进行了讨论。 关键词：有限元重合网格法，裂纹，网格，应力强度因子 中图分类号￣０２４２．２１，０３４３．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－２７５８（２０１０）０４－０４９７－０６ 用有限元法进行断裂分析时，为了得到较精确 的断裂力学参数，估计并使离散化误差最小至关重 要。减少这种误差的最简单方法就是均匀地细化单 元，但同时也带来巨大的计算耗费。为了实现高效 的有限元分析，可以采用局部细化的技术减少结构 目前为止，未见到研究全局模型和局部模型网格大 小与总网格数量的关系及其对计算效率和计算精度 的影响。本文在已有的二维重合网格法理论基础 上，探讨了重合网格法中全局模型和局部模型网格 中局部产生的离散化误差。目前主要的自适应细化 方法包括：ｈ方法、ｐ方法和ｈ－ｐ方法等。使用这些 大小和网格数量的关系及其对计算精度的影响，同 时讨论了局部模型的选择对计算精度的影响。 方法局部细化单元时，不可避免地要采用过渡单元 或多点约束（ＭＰＣ）等，这将带来不必要的麻烦…。 Ｊ．Ｆｉｓｈ 提出了一种处理局部不均匀或应力集 中的简单有限元方法，有限元重合网格法（ｓ—ｖｅｒｓｉｏｎ ＦＥＭ）。Ｓａｎｇ—Ｈｏ Ｌｅｅ等使用有限元重合网格法和扩 展有限元法分析了裂纹问题，通过使用裂尖奇异元 模拟了静态裂纹和裂纹扩展问题 Ｊ。Ｊｉｎ Ｗｏｏ Ｐａｒｋ 等给出了有限元重合网格法的位移场模型和应变场 模型，并进行了静力和动力学数值模拟…。Ｈｉｒｏｓｈｉ １ 二维线弹性断裂力学中有限元重合 网格法 在重合网格法中，用较粗糙的有限元网格来表 示整体结构，用另一块重叠的细化有限元网格来表 示局部不均匀性或高梯度应变区域，称粗糙的整体 网格为全局网格，覆盖在全局网格上的细化网格为 局部网格，如图１所示。 为全局区域， 为裂纹 所在的局部区域，，乩为全局区域和局部区域之间 的边界。建立在全局网格和局部网格上的位移场分 别定义为ｕ 和 ，这样，重合网格法的位移场 可 以表示为 ， 】 ％∈ ∈ Ｏｋａｄａ等在重合网格法中使用虚裂纹闭合方法计算 应力强度因子，分析了二维线弹性断裂力学的典型 问题，并讨论了影响计算精度的可能因素 】。文献 ［５］以金属薄板的应力集中问题讨论了有限元重合 网格法的计算精度和实际应用。本文作者研究了有 一娃 限元重合网格法在三维表面裂纹和三维等大共面表 面裂纹问题中的应用 ．７Ｊ。 研究者们对有限元重合网格法的理论和应用进 （１） 为了保证位移场在边界， 满足ｃ０连续条件， 规定在 域内的局部网格的外边界，乩上的 （ ） ＝行了研究，对其计算精度也进行了一些的探讨，但到 收稿日期：２００９－０９．１６ ０ｏ 作者简介：谢伟（１９７８一），西北工业大学讲师、博士，主要从事结构疲劳、断裂与可靠性分析及固体力学中新的计算策略研究。 西北工业大学学报 第２８卷 ， ，、＼ ／ ， Ｖ ／ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ 全局网格 图１ 有限元重合网格法原理图 根据虚功原理就口］以得到有限兀重合网格法的 平衡方程，虚功原理表达式为 ｄ力 ｕｉｂ ｄ ＋ ｕ ｄＦ‘＋ ｕ ￡ ｄ厂ｍ （２） 式中舱 ＝（乩 Ｊ＋６ ， ）／２是虚应变，“，ｉ”表示对 坐标 取偏导数。 表示表面力作用边界。ｂ 表 示体力。ｔ 表示表面力。￡； 为裂纹边界， 的表面 力。 由于全局位移 和局部位移ｕ 相互，因此 （２）式可整理为 ６Ⅱ０ Ｄ “ ＋Ｌ乩 Ｄｑｋ￣ｕ ，ｚｄ力 ＝ “ ＋ ｇｄＦ＋ 跳 ￡ ｄＦ （３） Ｌ乩 ＬＪＤ Ｈ ｌｄ ＋Ｌ 州 Ｌ ｄ ＝Ｌ占ｕ ｄ ＋ ｇｄＦ＋ ｆ ｄＦ—ｈ （４） 式中，Ｄ 为材料本构张量分量。（３）式和（４）式即 为有限元重合网格法在线弹性断裂力学中的虚位移 原理表达式 在 和 区域对（３）式和（４）式进行离散，可 以得到有限元重合网格法矩阵形式的平衡方程 【 ＫＧＬ ｕＧ＝ ） （５） 式中，Ｕ。和 分别是全局网格和局部网格的节点 位移矢量 和 分别是全局网格和局部网格的节 点力矢量。 ２全局网格和局部网格的特性 ２．１网格划分 有限元重合网格法将整个求解域分为２部分： 全局模型和局部模型。应力（应变）高梯度区域仅 出现在局部模型中。相应地有限元网格也分为２部 分：全局网格和局部网格。全局网格划分地较粗，局 部网格为了体现应力（应变）高梯度变化则需要细 化。局部网格因区域较小且形状较规则易实现 细化。 全局模型模拟整个结构，即从整体上描述结构 的形状和大小。对于裂纹问题，全局模型就是不含 裂纹的结构体。全局网格的划分可以根据结构的尺 寸和形状特点，以及问题的边界条件来实现。 局部模型模拟结构中的局部应力（应变）高梯 度区域，是对结构的细节特征进行特写和放大。在 裂纹问题中，局部模型就是包含裂纹的－４，块区域。 局部网格的划分则要根据局部模型的大小和裂纹的 形状以及裂纹面上的边界条件等来确定。 可以看出，局部模型只要求在全局模型描述域 内，全局模型和局部模型是相对的，那么全局网 格和局部网格的划分没有先后次序。而局部模型的 确定取决于裂纹信息和全局模型。这样，全局模型 和局部模型又相互依赖。一般情况下，先确定全局 模型，划分全局网格，然后根据已知的裂纹信息和全 局网格来确定局部模型，并划分局部网格。 如图２所示，虚线围成的区域是局部模型，局部 模型可以进一步分为局部裂纹区和局部无裂纹区。 图中裂纹ａ所在的空白区域Ａ表示局部模型中的裂 纹区域 ，阴影区域曰表示局部模型中的无裂纹区 域 。局部模型重叠在全局网格上，全局网格单元 长度大小为ｚ。。 １Ｇ．． 一 １二！ ｜ ｛ 图２全局网格和局部模型 ２．２网格（单元）大小与网格（单元）数量的关系 根据文献［４］，无裂纹区域的长度和宽度不小 第４期 谢伟等：二维有限元重合网格法网格特性研究 ・４９９・ 于１．２ Ｘ ２ 时计算精度良好。不难看出，当局部模型 的大小与全局网格大小按某种给定的关系确定时， 整个求解域的网格数量即全局网格数量和局部网格 数量之和有一定的变化规律。不妨假设已知裂纹长 直裂纹，垂直于裂纹方向受均匀拉伸载荷 ，如图３ 所示。其中ｈ＝ｂ＝４０ ｍｍ，ａ＝１２ ｍｍ， ：１００ ＭＰａ， 材料弹性模量Ｅ＝７２ ０００ ＭＰａ，泊松比口＝０．３。全 局网格大小和局部网格大小分别为ｚ 和 ，ｚ。（ｍ／ｎ） 取４，５，８，１Ｏ，２ （ｍｍ）取０．５，０．８，１，２。总体网格数 量ｎ随全局和局部网格大小的变化分别如图４和图 ５所示。 为口，全局模型大小为ｓ。，若将全局网格划分为大小 为 的网格，全局网格的数量近似为 Ｓａ （６） Ｇ：百‘Ｇ 按文献［４］中局部模型的确定方法，取局部模 型中裂纹到局部模型的边界为１．２×ｚ ，则局部模 型的面积近似为 Ｓ￡＝（ａ＋１．２×Ｚｃ）×１．２ Ｘ ＺＧ Ｘ ２ （７） 若将局部模型划分为大小为 的网格，局部网 格的数量近似为 Ｓ￡ （ａ＋１．２×ｌｃ）×１．２×ｌｃ Ｘ ２ （８） ｎＬ 百 Ｌ ｌ 则求解域的网格总数量为 老＋ （９） 由（９）式可得，当 不变，Ｚ 增大（减小）时，／７， 减小（增大）。全局网格数量减小（增大）时，局部区 域面积增加（减小），那么局部网格数量／７， 增大（减 小）。因此，随着全局网格大小的变化，总体网格数 量会随之变化，且非线性变化。 进一步分析，当 不变时，总体网格数量ｎ与Ｚ。 的函数关系为 Ｊｓｃ （ａ＋１．２×Ｚｃ）×１．２×ｃｃ×２ 虿＋———— ——一 ＝６ｚ；２＋ｃ（ｚ ＋ｄｚＧ） （１Ｏ） 式中ｂ：Ｓ 。： 、ｄ： 均为常数。 ｕ ｎ ＝一２６Ｚ云 ＋ｃ（２Ｚｃ＋ｄ） （１１） ／＂ｔ”＝６６Ｚ ＋２ｃ （１２） 对 的两阶导数恒为正，则由数学知识可知函数 的图形为凹函数，函数儿随ｚ。的变化有驻值，且该驻 值为极小值。即在ｚ。的变化过程中，存在着使总体 网格数量为最小的Ｚ 。也就是说，在有限元重合网格 法中，局部网格大小一定时，随着全局网格大小的递 增，总体网格数量先减小后增大，且存在惟一的全局 网格大小数值使总体网格数量最小。 ２．３算例分析 长为２＾，宽为ｂ的矩形板，有一长为ａ的单边 图３有限宽板边裂纹 图４总体网格数量随全局单元大小的变化 从图４可以看出：①随全局单元增大，对于 为０．５ ｍｍ和０．８ ｍｍ图中所示的仅是总体网格数量 增加的部分；②对于 为１ ｍｍ，图中所示的是总体 网格数量减少至极值和逐渐增加的部分；③对于 为２ ｍｍ，图中所示的是总体网格数量减少且接近极 值的部分。 由图５可以看出：①在相同的ｚｃ下，随着 的增 大，总体网格数量会减小；②在较小的 下，随着Ｚ 的增大，总体网格数量的变化曲线梯度较大，而在较 大的 下，随着Ｚ 的增大，总体网格数量的变化曲线 梯度较小。 ２．４局部网格划分对数值精度的影响 有限元的数值精度随网格变化一般规律如图６ 所示。 ・５０ｏ・ 西北工业大学学报 第２８卷 ｌＪｍｍ 图５总体网格数量随局部单元大小的变化 即随着网格数量的增加，数值解的精度逐渐提 高，最后趋于精确解。而网格数量又与网格大小密 切相关，在一般的有限元分析中，网格数量与网格大 小成反比，因此上述规律也可表述为：随着网格的细 化（变小），数值解的精度逐渐提高。在有限元重合 网格法中，细化局部网格（即减小 ）在一定程度上 可以提高计算精度，改变全局网格的大小亦可以提 高计算精度。然而，如前所述，全局网格大小和总体 网格数量之间的关系并非简单的反比例关系。同 时，随着网格数量逐渐增大，计算时间迅速增加。在 有限元重合网格法中，对局部网格和全局网格重合 的部分要进行“耦合”积分，会更加因网格数量的增 大而消耗更多的计算时间。因此，在使用有限元重 合网格法进行计算时，更希望控制全局网格和局部 网格大小从而在最少的网格数量下花最少的时间得 到最好的计算精度。 将２．３节算例分析中得到的应力强度因子 以无量纲 的形式给出，其计算公式如下 Ｆ ： Ｌｒ （１３） 叮 ＂／ｆ＇ａ 图７给出了随局部网格大小变化的无量纲应力强度 因子值和手册解的对比曲线，其中文献［８］表示手 册中查得的结果。从图中可以看出，计算精度随着 局部网格尺寸的增大并非逐渐降低。当全局网格较 大时，如图中２。为８ｍｍ和１０ｒａｍ的情况，随着局部 网格的增大，计算精度总体趋势为降低。当全局网 格较小时，如图中Ｚ。为４ ｍｍ和５ ｍｍ的情况，在局 部网格逐渐增大的过程中，计算精度出现振荡。其 中的一个原因就是，全局网格和局部网格的重合方 式（或称为“耦合”方式）随着网格大小的变化也发 （ａ） 网格数量影响 （ｂ） 网格大小影响 图６有限元数值解随网格变化 生变化，从而影响了计算精度。下面讨论其重合方 式的影响。 图７ ＳＦＥＭ精度随网格划分的关系 图８至图９给出了算例中２。为５ ｍｍ和８ ｍｍ 的网格划分，图中较粗的网格为全局网格，重合在全 局网格上的较细的网格为局部网格。重合方式有２ 种：①局部网格的每个单元均重合在全局网格的一 个单元内（即单元边界重合）；②局部网格的部分单 元与全局网格的２个或２个以上的单元重合（即单 元边界交叉）。 图８（ａ）和图８（ｃ）的局部网格的每个单元均重 合在全局网格的一个单元内，而图８（ｂ）和图８（ｄ） 的局部网格的部分单元与全局网格的２个或２个以 上的单元重合。分析图７结果可以看出，全局网格 和局部网格按照图８（ａ）和图８（ｃ）的网格重合方式 比图８（ｂ）和图８（ｄ）网格重合方式计算所得的精度 明显提高，又（ａ）的局部网格比（ｃ）的局部网格细， （ｂ）的局部网格比（ｄ）的局部网格细，故而按照图８ （ａ）网格划分比图８（ｃ）的精度高，图８（ｂ）比图８ （ｄ）的精度高。ｚ。＝４ ｍ／ｎ时的情况完全一致，不再 第４期 谢伟等：二维有限元重合网格法网格特性研究 ・５０１・ 赘述。 个或２个以上的全局网格的单元重合。同理从图９ 图９中，图９（ａ）和图９（ｂ）情形下的局部网格 的每一个单元均重合在全局网格的一个单元上，而 中分析可得，图９（ａ）和图９（ｂ）网格重合方式比（ｃ） 和（ｄ）网格重合方式计算所得的精度高，ｆ。＝１０ ｍｍ 图９（ｃ）和图９（ｄ）情形的局部网格的部分单元与２ 时的情况完全一致。 Ｉ ｌ Ｉ． ｉ ｆ Ｉ Ｉ ｌ『 Ｉ ｊ ｉ—． ＾－…－一－－－‘－－一 Ｉ（ａ） ／Ｌ＝０．５ ｍｍ的网格划分 （ｂ） ＩＬ＝０．８ ｍｍ的网格划分 （ｃ） ‘ １ ｍ／ｎ的网格划分 （ｄ） Ｉｔ＝２ ｒｆｌｍ的网格划分 图８ ｌ ＝５ ｍｍ的全局网格和局部网格 Ｉ ｌｌ ｌ ｌ ｌｆ （ａ） ＩＬ＝Ｏ ５ ｍｍ的网格划分 （ｂ） ＩＬ Ｏ．８ ｍｉｎ的网格划分 （ｃ）ｌＬ＝ｌ ｍｍ的网格划分 （ｄ） ＩＬ＝２ ｍｍ的网格划分 图９ １ ＝８ ｍｍ的全局网格和局部网格 （２）在有限元重合网格法中随着局部网格大小 ３ 结 论 的增大（减小），总体网格数量逐渐减少（增大）。 （３）在有限元重合网格法中计算精度不仅依赖 通过对全局网格和局部网格大小及其２种网格 于全局网格和局部网格的单元大小，更重要地，与全 重合方式的研究和分析，可以得到如下结论： 局网格和局部网格的重合方式密切相关，当局部网 （１）在有限元重合网格法中随着全局网格大小 格的单元与多个全局网格的单元重合时，对精度影 的增大（减小），总体网格数量先减少（增加）后增加 响较大。 （减少）。 参考文献： ［１］Ｊｉｎ Ｗｏｏ Ｐａｒｋ，Ｊａｅ Ｗｏｏｎｇ Ｈｗａｎｇ，Ｙｏｎｇ Ｈｙｕｐ Ｋｉｍ．Ｅｆｌａｃｉｅｎｔ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｕｓｉｎｇ Ｍｅｓｈ Ｓｕｐｅｒｌｘ￣ｉｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｆｉ— ・５０２・ 西北工业大学学报 第２８卷 ｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｄｅｓｉｇｎ，２００３，３９（２００３）：６１９—６３８ ［２］ Ｆｉｓｈ Ｊ．Ｔｈｅ Ｓ－Ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，１９９２，４３（３）：５３９—５４７ ａ１．Ｃｏｍｂｉｎｅｄ Ｅｘｔｅｎｄ ａｎｄ Ｓｕｐｅｒｉｍｐｏｓｅｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｃｒａｃｋｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ［３］ Ｓａｎｇ—Ｈｏ Ｌｅｅ，Ｊｅｏｎｇ－Ｈｏｏｎ Ｓｏｎｇ，ｅｔＪｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｅｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００４，５９：１１９—１１３６ Ｏｋａｄａ Ｈ，Ｅｎｄｏｈ Ｓ，Ｋｉｋｕｅｈｉ Ｍ．Ｏｎ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｕｓｉｎｇ ａｎ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｏｖｅｒｌａｙ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２００５，７２：７７３～７８９ 王国春，买买提明．艾尼．有限元重合网格法及其实例分析．机械与电子，２００６，５：２０—２ｌ Ｗａｎｇ Ｇｕｏｃｈｕｎ，Ｍａｍｔｉｍｌｎ Ｇｅｎｉ．Ｔｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｓｈ Ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ， ２００６，５：２０－２Ｉ（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 黄其青，谢伟．有限元重合网格法在三维线弹性断裂力学中的应用研究．机械强度，２００９，３１（１）：１０４—１０７ Ｈｕａｎｇ Ｑｉｑｉｎｇ，Ｘｉｅ Ｗｅｉ．Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｍｅｓｈ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉ０ｎ ｆｏｒ Ｔｈｒｅｅ—Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｅｌａｓ６ｃ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ，２００９，３１（１）：１０４—１０７（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 黄其青，谢伟．基于有限元重合网格法的等大共面的三维表面裂纹交互因子研究．西北工业大学学报，２００９，２７（１）：１０５ 一ｌｏ９ Ｈｕａｎｇ Ｑｉｑｉｎｇ，Ｘｉｅ Ｗｅｉ．Ａ Ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｓｈ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ Ｔｗｏ Ｉｄｅｎｔｉｃａｌ Ｃｏｐｌａｎａｒ ｈｒＴｅｅ・ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｃｒａｃｋｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃｌａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００９，２７（１）：１０５～１０９（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 中国航空研究院编．应力强度因子手册（增订版）．北京：科学出版社，１９８１ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｉｎｓｉｔｔｕｔｅ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ．Ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，１９９３（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） Ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ Ｍｅｓｈ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｓ－Ｖｅｒｓｉｏｎ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（Ｓ—ＦＥＭ）ｉｎ Ｔｗｏ－Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｌｉｎｅａｒ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｙｕｎｔａｏ Ｘｉｅ Ｗｅｉ，Ｈｕａｎｇ Ｑｉｑｉｎｇ，Ｚｈａｎｇ （ＣｏＨｅｇｅ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｅａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ｘｉ ａｎ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ．Ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｐａｐｅｒ ｒｅｖｉｅｗｓ Ｒｅｆｓ．１ ｔｈｒｏｕｇｈ ７ ａｎｄ ｐｏｉｎｔｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ，ｔｏ ｏｕｒ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｐａｐｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｎ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｓｉｚｅ ｏｆ ｍｅｓｈ（ｂｏｔｈ ｇｌｏｂａｌ ａｎｄ ｌｏｃａ１）ｏｎ ｈｅ ｔｔｏｔａｌ ｈｕｍ— ｂｅｔ ｏｆ ｍｅｓｈｅｓ ａｎｄ ｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ．Ｓｅｃｔｉｏｎ １ ｂｒｉｅｆｓ ｔｈｅ Ｓ－ＦＥＭ ｉｎ ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃ ｆｒａｃｔｕｒｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． Ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ２．２ ｄｅｒｉｖｅｓ ｅｑ．（１０）ｔｈａｔ ｒｅｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍｅｓｈｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｍｅｓｈ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｍｅｓｈ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ．Ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎｓ ２．３ ａｎｄ ２．４ ｐｒｅｓｅｎｔ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ．Ｆｉｇ．５ ｉｎ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ２．３ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｅ ｃａｌｔｃｕｌａｔｅｄ ｔｏｔａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍｅｓｈｅｓ ｗｉｈｔ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｍｅｓｈ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｌｇｏｂａｌ ｍｅｓｈ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ．Ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ２．４ ｄｅｆｉｎｅｓ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｍｅｓｈ ｄｉｖｉｓｉｏｎ：（１）ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ａｎｄ ｌｏｃａｌ ｍｅｓｈｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｇｒｕｅｎｔ；（２）ｔｈｅｓｅ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ．Ｆｉｇ．７ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｓｔｒｅｓｓ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｆａｃｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｍｅｓｈ ａｎｄ，ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｄｙ，ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｍｅｓｈ ｄｉｖｉｓｉｏｎ．Ｓｅｃｔｉｏｎ ３ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｒｅｅ ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ ｃｏｎ— ｃｌｕｓｉｏｎｓ：ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｅｑ．（１０）；ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｉｇ．５ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｉｇ．７． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｕｒｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，ｓｔｒｅｓｓ ｉｎｔｅｎｓｉｙ ｆｔａｃｔｏｒｓ，Ｓ－ｖｅｒｓｉｏｎ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ （Ｓ－ＦＥＭ），ｓｉｚｅ ｏｆ ｍｅｓｈ
