闭区间上连续函数的性质

第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有 f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 例如 函数f(x)1sin x在区间[0 2]上有最大值2和最小值0 又如 函数f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x的最大值和最小值都是1 但函数f(x)x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值 定理1说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么至少有一点1[a b] 使f(1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点 2[a b] 使f( 2)是f(x)在[a b]上的最小值 注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例 在开区间(a b) 考察函数yx 又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值 x1 0x1yf(x)1 x1 x3 1x21

二、零点定理与介值定理 教 师 备 课 纸

零点 如果x0 使f(x0 )0 则x0 称为函数f(x)的零点 定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少有一点使f()0 定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)A及f(b)B 那么 对于A与B之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得 f()C  定理3 的几何意义 连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一点 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 例1 证明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根 证 函数f(x) x 34x 21在闭区间[0 1]上连续 又f(0)1>0 f(1)2<0 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点  使得f()0 即  34 210 (0<<1) 这等式说明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根是  课堂练习 P70,1,5 课后作业 P70,2,3 2