幂级数的和函数怎么求例题

幂级数是数学中重要的一类级数，它是形如∑anxn的级数。求解幂级数的和函数是一个常见的问题，涉及到级数收敛性、收敛半径、幂级数和函数的性质等方面的知识。下面将通过例题的方式，详细介绍如何求解幂级数的和函数。

例题一：

求解幂级数∑(n^2)x^n的和函数。 解答：

首先，我们需要确定该幂级数的收敛半径。根据收敛半径的求取公式：

R = 1/lim sup √(|an|)

在该例题中，an = n^2，代入公式计算可得： lim sup √(|n^2|) = ∞

因此，收敛半径R = 0，即该幂级数在原点处收敛。接下来，我们要确定和函数的表达式。

根据幂级数的和函数的定义，和函数f(x)应满足幂级数在收敛区间内逐项求导：

f(x) = ∑(n^2)x^n

f'(x) = ∑(n^3)x^(n-1) （逐项求导）

= ∑(n+1)^3x^n 进一步求导，可得：

f''(x) = ∑(n(n+1)^2)x^(n-1) （再次逐项求导） = ∑(n^2+3n+1)x^(n-1)

= ∑(n^2)x^(n-1) + ∑(3n)x^(n-1) + ∑x^(n-1)

注意到∑(n^2)x^(n-1)就是原级数，∑(3n)x^(n-1)和∑x^(n-1)可以通过幂级数求和的公式求解。对于幂级数∑(3n)x^(n-1)，由常数倍数的性质得到：

∑(3n)x^(n-1) = 3∑nx^(n-1)

由求和公式∑nx^(n-1) = d/dx (∑x^n) = d/dx (1/(1-x)) = 1/(1-x)^2，可得：

∑(3n)x^(n-1) = 3/(1-x)^2

对于幂级数∑x^(n-1)，由幂函数求导的性质得到： ∑x^(n-1) = d/dx (∑x^n) = d/dx (1/(1-x)) = 1/(1-x)^2 因此，f''(x) = ∑(n^2)x^(n-1) + 3/(1-x)^2 + 1/(1-x)^2 = f(x) + 4/(1-x)^2

解同次线性微分方程f''(x) = f(x) + 4/(1-x)^2，可得： f(x) = c1e^x + c2e^(-x) - 4/(1-x)^2

其中c1和c2为常数，由于要求幂级数∑(n^2)x^n在x=0处收敛，所以我们可以确定c2 = 0。因此，所求的和函数为：

f(x) = c1e^x - 4/(1-x)^2

至此，我们成功求解了幂级数∑(n^2)x^n的和函数。 总结：

本文通过例题的方式，详细介绍了如何求解幂级数的和函数。首先确定幂级数的收敛半径，然后通过逐项求导、求和的方式，得到和函数的表达式。求解幂级数的和函数是一个重要而有趣的数学问题，对于加深对级数、收敛性以及幂函数的理解起到了积极的作用。通过掌握这一求解方法，可以更好地应用于实际问题和数学推导中。