常数变易法在求解微分方程中的应用

第６卷第４期　２　０　０　７年１　２月　杨凌职业技术学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎｇｌｉｎｇ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ＆Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏｌ＿６　Ｎｏ．４　Ｄｅｃ．２　０　０　７　常数变易法在求解微分方程中的应用　王春草　（杨凌职业技术学院公共课教学部，陕西杨凌７１２１００）　摘　要：常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法，常应用于一阶线性微分方程的求解。本文通过对几种微　分方程研究分析，总结了常数变易法在求解线性微分方程中的几点新的应用。　关键词：常数变易法；微分方程；求解；应用　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ｂ　文章编号：１６７１—９１３１（２００７）０４—００４３—０２　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｖａｒｉａｔｉｏｎ　Ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｉｎ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＷＡＮＧ　ｃｂｕｎ—ｃａＯ　（Ｙａｎｇｌｉｎｇ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ．Ｙａｎｇｌｉｎｇ，Ｓｈａａｎｘｉ　７１２１００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｖａｒｉａｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔＯ　ｓｏｌｖｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｉｔ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｎｅｗ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｖａｒｉａｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ａｒｅ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｖａｒｉａｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔａｎｔ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑ　ｕａｔｉｏｎ；ｓｏｌｖｉｎｇ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　常数变易法是文献Ｌ１　］在求解一阶线性微分方　程时提出的一种方法，指的是通过把一阶齐次线性　函数，则代入方程（１）得：　ｌ＋（２ｙ　１＋ＰＹ１）ｆ　ｑ－ｃ（ｙ￣＂＋ＰＹ　１　ｑ－ｑｙｊ）一０　微分方程通解中的常系数变易为待定函数的方式确　因　为方程（１）的一个特解，化简得：　１－ｔ一（２ｙ　１＋Ｐｙ１）ｆ　一０　（２）　定一阶非齐次线性微分方程的解。作者经过对几种　微分方程的深入分析，总结出常数变易法新的应用　方面。　这是一个可降阶的微分方程，令“一ｃ　得：　ｕ＇ｙ１＋（２ｙ１　＋Ｐｙ１）“一０　１利用常数变易法解二阶变系数齐　次线性微分方程　我们知道：对于二阶常系数齐次线性微分方程可　变量分离得　＋　±丛一０　Ｕ　Ｙ　积分得　“一Ｙ１　ｇ　所以ｆ（ｚ）一Ｊ（　１　ｇ　ｐｄｘ）ｄｘ　通过特征方程法求线性无关的特解，然后根据微分　方程解的性质得其通解，那么二阶变系数齐次线性微　Ｙ２一Ｙ１　Ｊ（　ｌ—ｇ　ｐ（ｘ）ｄｘ）ｄｘ　于　为特解，所以积分常量可均选为零。　①　上式称为变系数微分方程（１）的特解关系。由　分方程怎么求解？二阶变系数齐次线性微分方程由　于系数变化，特征方程法失效，现有的讨论和阐述很　少，为此我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程：　＋ｐ（ｘ）ｙ　＋ｑ（ｚ）　一０　（１）　例ｌ：已知Ｙ。一ｅ　是二阶变系数齐次线性微分　方程ｙＵ一４ｘｙ　＋（４ｘ。一２）　一０的一个特解，求另一　线性无关的特解，并写出其通解。　解：利用变系数微分方程（１）的特解关系①，得　另一线性无关的特解为：　一　若　。为方程（１）的一个特解，则Ｃｙ。（ｃ为任意　常数）也是方程（１）的解，变易常数，设方程（１）的与　线性无关的解为　：ｃ（ｚ）　。，其中Ｃ（ｚ）为待定　々ｆ　一２　一／－４　ｄｚ＝＝ｚ　＊　收稿日期：２００６—１２－２７　作者简介：王春草（１９６４一），女，陕西渭南人，讲师，主要从事高等数学教学与应用研究。　维普资讯 http://www.cqvip.com ４４　杨凌职业技术学院学报　第６卷　所以原方程的通解为：　一ｙ０一ｅ　ｊ　ｊ　ａｒｃｔａｎｘｄｘｄｘ　一（Ｃ　＋Ｃ２ｚ）ｅ　，其中Ｃ　、Ｃ２为任意常数。　般地，若已知二阶变系数齐次线性微分方程　［ｘ］ａｒｃｔａｎｘｄｘ－－』ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ］ｅ　１　一一一Ｅ（ｘ　一１）ａｒｃｔａｎｘ－－ｘｌｎ（１＋ｚ　）＋ｚ］　的一个特解（对某些方程可用观察法或分析法确　定），利用常数变易法设另外的特解，代入原方程后　可得到一个可降阶的微分方程，从而求得原方程的　厶　故原方程的通解为：　１　一｛去［（ｚ　一１）ａｒｃｔａｎｘ－－ｘｌｎ（１＋ｚ　）］＋ｃｌ＋　厶　通解，这一方法可类似用于高阶微分方程的求解。　Ｃ２ｚ｝ｅ　（Ｃ　、Ｃ２为任意常数）　２　利用常数变易法解二阶常系数非齐　例３：求二阶常系数非齐次线性微分方程　次线性微分方程　根据微分方程解的性质得知求解二阶常系数非　齐次线性微分方程　＋Ｐｙ　＋ｑｙ一厂（ｚ），关键在于　找出它的一个特解，对此一般教材仅讨论厂（ｚ）为多　项式、指数函数　、三角函数（ｓｉｎｏ￣ｘ或ＣＯＳＯ．）Ｘ）及其　乘积形式，用待定系数法求解。这一方法对几种特　殊情形下的问题可以解决，但是对厂（ｚ）的其它情形　如：求解方程ｙＨ－－２ｙ　＋　一　ａｒｃｔａｎｘ这一类的问题　则毫无作用。下面我们用常数变易法考虑：　ｐｙ　－４－ｑ　一厂（ｚ）　（３）　对应的齐次微分方程为：　ｙＨ＋Ｐｙ　＋ｑ　一０　（４）　当ｒ为特征根时，　一　为方程（４）的解，利用　常数变易法，设方程（３）的特解为　一ｃ（ｚ）ｅ　，其中　ｆ（ｚ）为待定函数，则把ｙ。，ｙ。　、　。代入方程（３）得：　＋（２ｒ＋户）ｆ　＋（ｒ　＋户ｒ＋ｑ）ｆ—ｅ－ｒＸ厂（ｚ）　因为ｒ是特征根，化简得：　＋（２ｒ＋声）ｆ　＝ｅ一　厂（ｚ）　令ｆ　一“，则：　“　＋（２ｒ＋户）“＝Ｐ一　厂（ｚ）　（５）　解一阶线性微分方程（５）得：　“＝ｅ一　＋ｐ　ｆ厂（．ｚ）Ｐ　＋Ｐ　ｄｘ　于是ｆ（ｚ）一　』ｆ（ｘ）ｅ“　ｄｘ］ｄｘ　层ｐ　ｙ０一　』［　一　』ｆ（ｘ）ｅ　ｄｘ］ｄｘ　②　尤其是当ｒ为特征重根时，２ｒ＋ｐ一０，有：　。一ｅ　Ｊ　Ｊ　ｆ（ｘ）ｅ一　ｄｘｄｘ　③　式②、③称为方程（４）的特解公式。　例２：求二阶常系数非齐次线性微分方程　一　２　＋　一　ａｒｃａｔｎｘ的一个特解，并求其通解。　解：由特征方程ｒ　一２ｒ＋１—０得：ｒ　一ｒ　一１，则　对应齐次微分方程的通解为　一（ｃ　＋Ｃ２ｘ）ｅ　利用特解公式③得原方程的特解：　一２　一３ｙ一１６ｘｅ～的一个特解，并求其通　解。　解：由特征方程ｒ　一２ｒ一３—０得：ｒｌ一一１，ｒ２—　３，则对应的齐次微分方程的通解为　一Ｃ　～－４－　Ｃ２ｅ　。　把ｒ　一一１代入特解公式②得原方程的特解：　。一　一　』［　』１６ｘｅ一　ｄｘ］ｄｘ　一一ｅ一　』（４ｚ＋１）ｄｚ　一一ｅ一　（２ｘ　－４－ｚ）　故原方程的通解为：　一一ｅ一　（２ｘ　＋　）－４－Ｃ１　一　＋Ｃ２　一一（２ｘ　＋ｚ—Ｃ１）　一　＋Ｃ２ｅ。　其实通解亦可通过公式②直接积分得到。　由以上讨论可知：借助于微分方程的特征根，利　用常数变易法，可完成对一般二阶常系数非齐次线　性微分方程的求解，应用所得公式求解过程简捷，尤　为重要的是进一步扩大了微分方程的求解范围，这　一点是待定系数法所无法达到的。　３　总结　综上所述，常数变易法比待定系数法的应用更　加广泛，利用常数变易法不仅能解一阶线性微分方　程，而且对二阶变系数齐次线性微分方程、二阶常系　数非齐次线性微分方程、高阶齐次线性微分方程的　求解都有着非常重要的作用，变易常数思想是解微　分方程的重要数学思想。　参考文献：　Ｅｌｉ侯风波．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００．　Ｅ２］王高雄，周之铭，宋思铭，等．常微分方程［Ｍ］．北京：高　等教育出版社，１９８３．