圆锥曲线解题技巧总结[1]

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

x2如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2）

42.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时221（ab0），焦点在y轴上时22＝

abab221（ab0）。方程AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，

C同号，A≠B）。

x2y2如（1）已知方程1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：

3k2k11(3,)(,2)）；

2222（2）若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是____，xy的最小值是

___（答：5,2）

x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：22 =1，焦点在y轴上：22＝1（a0,b0）。

abab22方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点

P(4,10)，则C的方程为_______（答：x2y26）

22（3）抛物线：开口向右时y2px(p0)，开口向左时y2px(p0)，开口

22向上时x2py(p0)，开口向下时x2py(p0)。

如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

5 43.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x,y22分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2如已知方程则m的取值范围是__（答：1表示焦点在y轴上的椭圆，

m12m3(,1)(1,)）

2（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物

222线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，abc，在双曲线中，c最大，c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

22x2y2（1）椭圆（以221（ab0）为例）：①范围：axa,byb；

ab②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），a2四个顶点(a,0),(0,b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x；

cc⑤离心率：e，椭圆0e1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

a25x2y210如（1）若椭圆，则m的值是__（答：3或）； 1的离心率e35m5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

x2y21（2）双曲线（以（a0,b0）为例）：①范围：xa或xa,yR；a2b2②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心（0,0），两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，

2a称为等轴双曲线，其方程可设为x2y2k,k0；④准线：两条准线x； ⑤离

cc心率：e，双曲线e1，等轴双曲线e2，e越小，开口越小，e越大，

ab开口越大；⑥两条渐近线：yx。

a13如 （1）双曲线的渐近线方程是3x2y0，则该双曲线的离心率等于______（答：213或）；

3

（2）双曲线ax2by21的离心率为5，则a:b= （答：4或

1）； 4x2y2 （3）设双曲线221（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

ab（锐角或直角）θ的取值范围是________（答：[,]）；

32x2y21的左焦点,顶点为A1、A2, P是双曲线上任意（4） 已知F1、F2为双曲线

20102009一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况均有可能

（3）抛物线（以y22px(p0)为例）：①范围：x0,yR；②焦点：一个焦点

p(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y0，没有2pc对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x； ⑤离心率：e，抛物

2a线e1。

如设a0,aR，则抛物线y4ax的焦点坐标为________（答：(0,21； )）16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆221（ab0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆

ab2222x0y0x0y0外221；（2）点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆

abab22x0y0内221

ab6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

22

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-

15,-1)）； 3x2y21恒有公共点，则m的取值范围是_______（2）直线y―kx―1=0与椭圆

5m（答：[1，5）∪（5，+∞））；

x2y21的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则（3）过双曲线12这样的直线有_____条（答：3）；

（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；

（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果

x2y2直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线22＝1

ab外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且

不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有______（答：

x2y22）； （2）过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916445______（答：,； ）

33y2（3）过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则

2满足条件的直线l有____条（答：3）；

22（4）对于抛物线C：y4x，我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内

2部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；

（5）过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

211； _______（答：1）

pqx2y21的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支（6）设双曲线

169和右准线分别于P,Q,R，则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或

等于) （答：等于）；

（7）求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离（答：

22813）； 13（8）直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分

别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①

3,3；②a1）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x2y2如（1）已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的

2516距离为____（答：

35）； 3（2）已知抛物线方程为y28x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：； 7,(2,4)）

x2y2（4）点P在椭圆1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点

25925P的横坐标为_______（答：）；

12（5）抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴

的距离为______（答：2）；

x2y2（6）椭圆1内有一点P(1,1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使

4326； MP2MF 之值最小，则点M的坐标为_______（答：(,1)）

38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：

Sb2tan2c|y0|，当|y0|b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线

2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作3Sb2tan2。 如 （1）短轴长为5，离心率e直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为________（答：6）；

（2）设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若； PF2F1F20，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2y24）

x2y2→→1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆2 ·PF1 <0时，943535点P的横坐标的取值范围是 （答：(； ,)）

556（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线

2与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________

（答：82）；

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且

F1PF260，SPF1F2x2y2； 123．求该双曲线的标准方程（答：1）

4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝

1121ky1y2。yy，若弦AB所在直线方程设为，则＝xkybAB122k特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）； （3）已知抛物线y2px(p0)的焦点恰为双曲线12x4y3的右焦点，且倾斜角为

2223的直线交抛物线于P，Q两点，则|y1y2|的值为（ ） 4A. 2

B. 4

C. 42

D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2在椭圆221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲线

abay0b2x0x2y21中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线a2b2ay0py22px(p0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0x2y21弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 如（1）如果椭圆

369（答：x2y80）；

x2y2（2）已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段

ab

AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

2）； 2x2y2（3）试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线

43213213； y4xm对称（答：13,13）

（4）抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

11(y)） 22特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！

（答：x12．你了解下列结论吗？

2222（1）双曲线xy1的渐近线方程为xy0；

a2b2a2b222b（2）以yx为渐近线（即与双曲线xy1共渐近线）的双曲线方程为

aa2b2x2y22(为参数，≠0）。 2abx2y2如与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3,23)的双曲线方程为_______

91x2y21） （答：94（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1；

222b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到

ab2相应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①

2p2,y1y2p2 |AB|x1x2p；②x1x242（7）若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0；

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：

y212(x4)(3x4)或y24x(0x3)）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：y22x）；

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则

0

动点P的轨迹方程为

（答：x2y24）；

（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y216x）；

(3) 一动圆与两圆⊙M：x2y21和⊙N：x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；

如动点P是抛物线y2x1上任一点，定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2，

1则M的轨迹方程为__________（答：y6x2）；

3⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP||MN|，求点P的轨迹。（答：xya|y|）；

（2）若点P(x1,y1)在圆xy1上运动，则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

2（答：y2x1(|x|222221)）； 22（3）过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的

2轨迹方程是________（答：x2y2）；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

x2y2如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1

ab（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|2a.点

P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足

PTTF20,|TF2|0.（1）设x为点P的横坐标，证明

cx；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存a在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.

b2b2222a时不存在；当a时存在，此时∠（答：（1）略；（2）xya；（3）当cc|F1P|aF1MF2＝2）

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u1,k或um,n；

（2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点; （3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;

（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若存在实

数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是

锐角,

MAMB（8）给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形; 矩形;

（11）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

222ABCD（10） 在平行四边形中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是

ABAC)(R)等于已知AP通过（14）在ABC中，给出OPOA(|AB||AC|

ABC的内心；

（15）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线; （16） 在ABC中，给出AD2y221的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1MF20,则（1）已知双曲线x2点M到x轴的距离为（C）

4523 （B） （C） （D）3 333（2）已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x3)iyj, b=(x3)iyj,且满足bi=|a|.求点P(x,y)的轨迹.

解： bi(x3)i2yijx3，

（A）

∴x3(x3)y，化简得y243x， 故点P的轨迹是以(3,0)为焦点以x3为准线的抛物线

222（3）已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点，OAOB0，点C坐标为

（0，2p）

（1）求证：A,B,C三点共线；

（2）若AM＝BM（R）且OMAB0试求点M的轨迹方程。

x12x22（1）证明：设A(x1,),B(x2,)，由OAOB0得

2p2px12x22x12x22x122x1x20,x1x24p，又AC(x1,2p),AB(x2x1,)

2p2p2p2px22x12x12x1(2p)(x2x1)0，AC//AB，即A,B,C三点共线。

2p2p（2）由（1）知直线AB过定点C，又由OMAB0及AM＝BM（R）知

OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。

15.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发现，AQHPFB

当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）（2）（

1,1） 4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x2y21的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 例2、F是椭圆43（1）PAPF的最小值为 （2）PA2PF的最小值为

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-5

设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF

PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF45

当P是FA的延长线与椭圆的交点时, PAPF取得最小值为4-5。 （2）3 作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PFyAF0′FPHx1， 21PH,即2PFPH 2∴PA2PFPAPH

a2xA413 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为c