数列基础题答案

解:当n1时,a1S1312215

当n2时,anSnSn13n22n3(n1)22n6n1 经验证当n1时a15包含在an6n1中,此数列的通项公式为an6n1

累加1, 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。 解：由an1an2n1得an1an2n1则

an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)1(n1)n2(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列{an}的通项公式为ann2。

累乘2， 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

解：因为an12(n1)5nan，a13，所以an0，则

an12(n1)5n，故anananan1an1an2a3a2a1a2a1[2(21)52][2(11)51]3

21[2(n11)5n1][2(n21)5n2]2n1[n(n1)32n132]5(n1)(n2)n!n135n(n1)2所以数列{an}的通项公式为an32

5n(n1)2n!.

构造+累加3, 已知数列{an}满足an13an231 ，a13，求数列{an}的通项公式。

n解：an13an23n1两边除以3则

n1，得

an1an21， 3n13n33n1an1an21，故 n1nn13333ananan1an1an2an2an3()()(n3)nnn2n233an1an1333(a2a1a11)2333

212121213(n)(n1)(n2)(2)3333333332(n1)11111(nnn1n22)13333331n1(13)an2(n1)3n2n11因此n， 1n33133223则an

已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。 解：设an1x5n12(anx5n)

④

211n3n3n. 322n将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12，等式两边消去an2x5nnx5，两边除以5，得35x2x则代入④式得,x1,2an，得35nx5n12an15n12(an5n)

1 ⑤

an15n1由a156510及⑤式得an50，则2，则数列{an5n}是以nan5na1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n2n1，故an2n15n。

4， 已知数列{an}满足an12an3n4n5，a11，求数列{an}的通项公式。 解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz) ⑧ 将an12an3n4n5代入⑧式，得

222an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，则 2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn22yn2z

等式两边消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，

3x2xx3解方程组2xy42y，则y10，代入⑧式，得

xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18) ⑨

由a131210118131320及⑨式，得an3n210n180

an13(n1)210(n1)18则2，故数列{an3n210n18}为以2an3n10n18a13121011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此an3n210n18322n1，则an2n43n210n18。