双曲线易错点分析及解题策略

佚 名

【期刊名称】《《高中数理化》》 【年(卷),期】2019(000)006 【总页数】2页(P18-19) 【正文语种】中 文

双曲线是圆锥曲线中的一种，高中数学中要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单应用，并理解数形结合思想.在高考中一般以选择题和填空题的形式出现.但因概念较多，并且涉及几何关系、图象关系、二元二次方程的计算，所以易错点比较多.

1 牢固掌握基础知识，克服知识障碍

双曲线涉及的概念有焦点、顶点、中心、实轴、虚轴、离心率、渐近线、准线等，概念是学习数学规律的前提.掌握好双曲线的基础知识和概念，是解决数学问题的要求.学生在解决双曲线问题时，经常会出现概念理解不清，标准方程理解不透而造成解题错误.

基础知识链接：双曲线是指平面内到两定点的距离之差的绝对值等于一个常数的点的集合，且这个常数要大于零，小于两定点之间的距离.这两个定点叫作焦点，两定点之间的距离叫作焦距，两个定点的中点叫作中心.根据双曲线的定义，可以推导出双曲线的标准方程：且(以焦点在x轴为例)，其中a为中心到顶点的距离，c为中心到焦点的距离，双曲线的渐近线方程为：

例1 已知点P(-3,0)，点Q(3,0)，动点M满足MP-MQ=4，则M点的轨迹图象是______.

错解 学生结合此题所给的条件MP-MQ=4容易以为这是双曲线.

根据MP-MQ=4，可知动点到P的距离大于到Q的距离，距离之差等于定值且小于6.所以动点M的轨迹只是双曲线的右支，不含有左支，故本题应填双曲线的右支.

仔细读题并且深刻理解双曲线的定义是解决此题的关键.

例2 双曲线右支上一点P到右准线的距离是到右焦点距离的一半，则该双曲线离心率为______.

错解 e=0.5.对离心率的定义理解不够，造成错误.

离心率是双曲线上的一点到焦点的距离与到同侧准线距离的比值，所以离心率值为2.

2 理论联系实际，多方面考虑问题

在解决双曲线问题时，除了考虑双曲线的定义之外，还需要考虑几何关系、定义域的取值范围、焦点所在的坐标轴等问题.学生往往因为考虑不周，容易造成解题错误.

例3 已知F1,F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于______.

错解 由题意可知a=4,且根据双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=8，所以|PF2|=1或|PF2|=17.

由题意知|F1F2|=2c=12，且根据两边之和大于第三边,易知|PF1|+|PF2|要大于等于12，所以|PF2|=1不符合题意，应该舍去，所以|PF2|=17.

解决双曲线问题，不仅要考虑双曲线的公式，还需要考虑结果是否符合实际情况. 例4 已知双曲线的中心在坐标原点上，双曲线的焦距为10，顶点到中心的距离为

3，求该双曲线的方程.

错解 根据题意得a=3，c=5，b=4，得到双曲线方程为：

此题应该分为焦点在x轴或y轴这两种情况.所以正确答案应该是：或者 在没有明确焦点在哪个坐标轴的情况下，要充分考虑两种情况. 3 建立知识连接，解决综合性问题

含双曲线的综合类题目，还会考查双曲线与点、直线、椭圆、圆、抛物线等的关系，并且题目往往会同时考查两者或三者的关系.这就要求学生全面掌握相关的知识点，若在某一个知识点上存在盲区，可能就会导致整个题无法得到正确答案.因此，需建立各个知识点之间的联系，使用正确的方法解决问题.

例5 (2017年全国卷Ⅱ)若双曲线1a>0,b>0的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( ).

根据圆的方程可知，圆心坐标为(2,0)，半径为2.设双曲线其中一条渐近线方程为y=

由于渐近线被圆所截的弦长为2，弦长等于半径，可知渐近线过点所以渐近线方程为：设a=m，则所以双曲线的离心率故选A.

本题查考查了圆的方程、双曲线的渐近线方程以及圆与直线的位置关系.解决此题的前提是熟练掌握圆、双曲线、直线等基础知识，在此基础上，把圆与直线、直线与双曲线联系起来.

例6 (2016年全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,则E的离心率为( ).

设MF1的长度为l，已知△MF1F2为直角三角形，如图1所示，由三角函数关系可知MF2的长度为3l，F1F2的长度为根据双曲线性质解得根据MF2-

MF1=2a=2l，解得a=l.双曲线的离心率为故选A. 图1

本题将双曲线与三角形结合，如果三角函数掌握不好，容易造成解题错误.先利用三角函数推导各边的关系，然后利用各边的关系求解双曲线参数的关系是解题的关键.

总之，双曲线问题较为复杂，特别是与其他知识交会考查，各方面都有易错点.希望此文对学生解此类题目有所帮助.