2021年黄浦高三一模(理)

数学试卷（理科） 2016年1月

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|x1|1的解集用区间表示为 ． 2．函数ycos2xsin2x的最小正周期是 ． 3．直线

xy3的一个方向向量可以是 ． 214．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ． 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ． 6．若函数yasinx在区间[,2]上有且只有一个零点，则a ．

7．若函数f(x)x21ax2为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为 ．

8．若对任意不等于1的正数a，函数f(x)ax2的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是 ． 9．在(ab)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）．

10．在△ABC中，若cos(A2CB)sin(BCA)2，且AB2，则BC ．

11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天 恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．

12．已知kZ，若曲线x2y2k2与曲线xyk无交点，则k ．

13．已知点M(m,0)（m0）和抛物线C：y24x，过C的焦点F的直线与C交于A、B两点， 若AF2FB，且|MF||MA|，则m ．

14．若非零向量a，b，c满足a2b3c0，且abbcca，则b与c的夹角为 ．

15．已知复数z，“zz0”是“z为纯虚数”的 [答] ( )．

A．充分非必要条件 C．充要条件

B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件

16．已知xR，下列不等式中正确的是 [答] ( )．

1 / 8

A．C．

11 xx2311 x21x22B．D．

11 22xx1xx111 22|x|x117．已知P为直线ykxb上一动点，若点P与原点均在直线xy20的同侧，则k、b满足的条件

分别为 [答] ( )．

A．k1，b2 C．k1，b2

B．k1，b2 D．k1，b2

18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零．若线段l1，l2，l3，l4的长分

别为a1，a2，a3，a4，则 [答] ( )．

A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以l1，l2，l3为三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形

写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知三棱柱ABCABC的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3， 侧棱AA的长为10．

（1）若侧棱AA垂直于底面，求该三棱柱的表面积．

（2）若侧棱AA与底面所成的角为60，求该三棱柱的体积．

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

2 / 8

ACABCHB 如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边、OA为终边的角设为，将OA绕坐标原点逆时针旋转

至OB． 2yBAO（1）用表示A、B两点的坐标；

（2）M为x轴上异于O的点，若MAMB，求点M横坐标的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E、F分别在

1xAB、BC边上．OA5米，OC4米，EOF（1）试用解析式将y表示成x的函数；

，设CFx，AEy． C4FBEO（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

A3 / 8

x2y2 已知椭圆：221（ab0），过原点的两条直线l1和l2分别与交于点A、B和C、D，

ab得到平行四边形ACBD．

（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S．

2（2）若直线l1和l2关于y轴对称，上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12d2为定值时，

求此时直线l1和l2的斜率及该定值．

（3）当ACBD为菱形，且圆x2y21内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

4 / 8

已知a1，a2，…，an是由n（nN*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bkn1ak（k1,2,，c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，,n）

记Snc12c2ncn．

（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足akbk（k1,2,,n）的数列{an}．

（2）写出ck（k1,2,,n）

，并用含n的式子表示Sn． （3）利用(1b21)2(2b2)2(nbn)≥0，

证明：b12b2nb≤1n6n(n1)(2n1)及a12a2nan≥Sn．

（参考：1222n216n(n1)(2n1)．

）

数学试卷（理科） 5 / 8

2016年1月

一、填空题（本大题满分56分）

1．(0,2) 2． 3．(2,1) 4．32 5．8．(1,2) 9．70 10．22 11．二、选择题（本大题满分20分）

15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题（本大题满分74分）

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． [解]（1）因为侧棱AA底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA的长， 而底面三角形ABC的面积S1 6．1 7． (1,) 2211 12．1 13． 14． 5241（2分）周长c43512，（4分） ACBC6，

2于是三棱柱的表面积S全ch2SABC132．（6分）

（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，AH为三棱柱的高．（8分）

因为侧棱AA与底面所成的角为60，所以AAH60，可计算得AHAAsin6053．（9分） 又底面三角形ABC的面积S6，故三棱柱的体积VSAH653303．（12分） 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． [解]（1）由题设，A点坐标为(cos,sin)，（2分）其中2k2k因为AOB（kZ）．（3分） 2，所以B点坐标为cos,sin，即(sin,cos)．（5分）

222（2）设M(m,0)（m0），于是MA(cosm,sin)，MB(sinm,cos)， 因为MAMB，所以MAMB0，即(cosm)(sinm)sincos0，（8分）

整理得m2m(cossin)0，由m0，得mcossin2cos，（10分）

4此时2k2k得，且2k，于是2k2k，且2k（kZ）244444222cos，且cos0．因此，点M横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)．（12分） 242421．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． [解]（1）直角三角形AOE中，tanAOE正方形OABC中，由EOF代入并整理得yyx，直角三角形COF中，tanCOF． 54，得AOECOF，于是tan(AOECOF)1， 445(4x)5(4x)．（4分） 因为0≤x≤5，0≤y≤4，所以0≤≤4， 4x4x6 / 8

从而≤x≤4．（6分）因此，y495(4x)4 （≤x≤4）． 4x91212（2）SSOABC(SOAESOCFSEBF)54[5y4x(4y)(5x)](20xy)，（8分）

5(x216)5325(4x)(x4)8，将y代入上式，得S（10分）

2(x4)2x44x当≤x≤4时，x44932（12分） ≥82，当且仅当x4(21)时，上式等号成立．

x4因此，三角形池塘OEF面积的最小值为20(21)平方米，此时x4(21)米．（14分）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． [解]（1）因为ACBD为正方形，所以直线l1和l2的方程为yx和yx．（1分）

yx,点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组x2y2的实数解，将yx代入椭圆方程，

12b2aa2b24a2b22解得xx2．根据对称性，可得正方形ACBD的面积S4x12．（4分）

ab2ab22122（2）由题设，不妨设直线l1的方程为ykx（k0），于是直线l2的方程为ykx．

22|kx0y0||kx0y0|x0y0设P(x0,y0)，于是有221，又d1，d2，（6分）

22abk1k1222x0(kx0y0)2(kx0y0)22k2x02y022，将y0b12dd222k1k1k1a2122代入上式， 2x02b222kx2b122k2x02b2aa2得d12d2，（8分）

k21k212202b2b对于任意x0[a,a]，上式为定值，必有k20，即k，（9分）

aa2b2a2b2b22因此，直线l1和l2的斜率分别为和，此时d1d22．（10分）

ab2aa（3）设AC与圆x2y21相切的切点坐标为(x0,y0)，于是切线AC的方程为x0xy0y1．

x0xy0y1点A、C的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组x2y2的实数解．

221ba① 当x00或y00时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有

11（11分） 1．

a2b21x2y2② 当x00且y00时，将y(1x0x)代入221，

y0ab2a2(1b2y0)整理得(byax)x2x0axa(1by)0，于是x1x222，（13分） 2by0a2x02202202222207 / 8

2b2(1a2x0)同理可得y1y222．（15分） 2by0a2x0因为ACBD为菱形，所以AOCO，得AOCO0，即x1x2y1y20，（16分）

22a2(1b2y0)b2(1a2x0)22220，整理得a2b2a2b2(x0y0)，由x0y01， 于是22222222by0ax0by0ax0得a2b2a2b2，即

1111a．（18分）综上，，满足的关系式为11． ba2b2a2b223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． [证明]（1）若akbk（k1,2,，则有akn1ak，于是ak,n）

n1．（2分） 2当n为正偶数时，n1为大于1的正奇数，故

n1不为正整数， 2,n）的数列{an}4分

因为a1，a2，…，an均为正整数，所以不存在满足akbk（k1,2,[解]（2）ckn(k1)（k1,2,．（6分） ,n）

因为ck(n1)k，于是Snc12c2ncn[(n1)1]2[(n1)2]n[(n1)n]

(12n)(n1)(1222111n2)n(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)(n2)．（10分）

266[证明]（3）先证b12b21nbn≤n(n1)(2n1)．

6n2)2(b12b22nbn)(b12b22bn) ①，

(1b1)2(2b2)2(nbn)2(1222这里，bkn1ak（k1,2,，因为a1，a2，…，an为从1到n按任意次序排列而成，所以b1，b2，…，,n）

2bn=12222bn为从1到n个整数的集合，从而b12b2n2，（12分）

于是由①，得0≤(1b1)2(2b2)2因此，b12b2再证a12a2(nbn)22(1222n2，即b12b2n2)2(b12b2nbn)，

nbn≤1222nan≥Sn．

1（14分） nbn≤n(n1)(2n1)．

6由bkn1ak，得b12b2nbn(n1a1)2(n1a2)n(n1an)

[1(n1)2(n1)因为b12b2所以a12a2

n(n1)](a12a2n(n1)2nan)(a12a22nan)16分

n(n1)21(a12a2nbn≤n(n1)(2n1)，即

261nan)≤n(n1)(2n1)，

6nan≥Sn．（18分）

n(n1)21n(n1)(n2)，即a12a2nan≥n(n1)(2n1)2668 / 8