贵州省遵义市航天高中2015-2016学年高一上学期第三次月考数学试卷

2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高一（上）第三次月考数

学试卷

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）

x

1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2＞0}，则A∩B=（ ）

A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1} 2．若A．

3．为了得到函数点（ ） A．向右平移C．向左平移

4．下列四个函数中，既是（0，A．y=tanx

）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）

D．y=|cosx|

个单位长度

B．向右平移

个单位长度

的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的

B．

，且α是第二象限角，则cosα的值等于（ ） C．

D．

个单位长度 D．向左平移个单位长度

B．y=|sinx| C．y=cosx

m

5．幂函数y=x（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（ ）

A．1

B．﹣1 C．﹣2 D．2

2

6．函数y=ax+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（ ） A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0

C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定

7．根据表格内的数据，可以断定方程e﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（ ） x 0 1 2 3 ﹣1 x0.37 1 2.72 7.39 20.08 e

x

x+2 1 2 3 4 5 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（ ） A．cos0＜cos＜cos1＜cos30° B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1 C．cos0＞cos＞cos1＞cos30° D．cos0＞cos＞cos30°＞cos1

9．若lgx﹣lgy=a，则A．3a

10．若sinα，cosα是关于x的方程4x+2x+3m=0的两根，则m的值为（ ） A．

11．设函数f（x）=

，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，

B．

C．

D．

2

=（ ）

D．

B． C．a

则m的取值范围是（ ）

A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜0

12．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα= ．

14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 ．

15．函数，则

= ．

16．当x＞0时，不等式（a﹣3）＞（2a）恒成立，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 17．已知

（1）求tanα的值； （2）求

的值．

2

x

x

18．设，

（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象； （2）若f（t）=3，求t值．

19．已知x∈[﹣

，

]，

（1）求函数y=cosx的值域；

2

（2）求函数y=﹣3（1﹣cosx）﹣4cosx+4的值域．

20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一

个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3． （1）求此函数的解析式； （2）求此函数的单调区间．

21．已知二次函数f（x）=x﹣16x+q+3

（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围； （2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

22．已知函数

．

2

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域； （2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，求实数a的取值范围．

2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高一（上）第三次

月考数学试卷

参与试题解析

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）

x

1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2＞0}，则A∩B=（ ）

A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1} 【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．

【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}，

x

由B中不等式变形得：2＞0，得到B=R， ∴A∩B={x|x＞1}， 故选：A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．若A．

B．

，且α是第二象限角，则cosα的值等于（ ） C．

D．

【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由sinα的值，以及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可． 【解答】解：∵sinα=∴cosα=﹣

，α是第二象限角， =﹣

．

故选C

【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

3．为了得到函数点（ ） A．向右平移C．向左平移

个单位长度

B．向右平移

个单位长度

的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的

个单位长度 D．向左平移个单位长度

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x﹣∴要得到函数y=sin（x﹣

），只是横坐标由x变为x﹣，

）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度． 故选：A．

【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．

4．下列四个函数中，既是（0，

）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）

A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx| 【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论． 【解答】解：A．函数y=tanx为奇函数，不满足条件． B．函数y=|sinx|满足既是（0，

）上的增函数，又是以π为周期的偶函数．

C．y=cosx的周期为2π，不满足条件． D．y=|cosx|在（0，

）上是减函数，不满足条件．

故选：B．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，奇偶性和单调性．

5．幂函数y=x（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（ ）

m

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【考点】幂函数的性质．

【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．

【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，即可判断答案． 【解答】解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数． 则m＜0且为偶数， 故选：C．

【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，要求熟练掌握幂函数的性质的应用．

6．函数y=ax+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（ ） A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0

C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定

2

【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题．

【分析】利用对称轴的公式求出对称轴，根据二次函数的单调区间得到

，得到选项．

【解答】解：∵函数y=ax+bx+3的对称轴为

2

2

∵函数y=ax+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数 ∴

∴b=2a＜0 故选B

【点评】解决与二次函数有关的单调性问题，一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴．

7．根据表格内的数据，可以断定方程e﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（ ） x 0 1 2 3 ﹣1 x0.37 1 2.72 7.39 20.08 e x+2 1 2 3 4 5 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【考点】二分法求方程的近似解． 【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】令f（x）=e﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．

【解答】解：由上表可知，

令f（x）=e﹣x﹣2，

则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0， f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0， f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0， f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0， f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0． 故f（1）f（2）＜0， 故选：C．

【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．

8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（ ） A．cos0＜cos＜cos1＜cos30° B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1 C．cos0＞cos＞cos1＞cos30° D．cos0＞cos＞cos30°＞cos1 【考点】余弦函数的单调性． 【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】先将1和化为角度，再根据余弦函数的单调性，判断出四个余弦值的大小关系．

x

x

x

【解答】解：∵1≈57.30°，∴≈28.56°， 则0＜＜30°＜1，

∵y=cosx在（0°，180°）上是减函数， ∴cos0＞cos＞cos30°＞cos1，

故选D．

【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，以及弧度与角度之间的转化，属于基础题．

9．若lgx﹣lgy=a，则A．3a

B．

C．a

D．

=（ ）

【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题．

【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可． 【解答】解：

=3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a

故选A．

【点评】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．

10．若sinα，cosα是关于x的方程4x+2x+3m=0的两根，则m的值为（ ） A．

B．

C．

D．

2

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．

【分析】由条件利用韦达定理求得sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=基本关系求得sinα•cosα=﹣，从而求得 m的值．

【解答】解：∵sinα，cosα是关于x的方程4x+2x+3m=0的两根，∴sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=

，

2

，再利用同角三角函数的

再根据1+2sinαcosα=，∴sinα•cosα=﹣，∴m=﹣，

故选：D．

【点评】本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．

11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，

则m的取值范围是（ ）

A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜0 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，数形结合可得m的取值范围．

【解答】解：由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，

如图所示：当﹣1＜m＜0时，函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点， 故选C．

【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

12．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．

，

【解答】解：对于振幅大于1时， 三角函数的周期为：

，∵|a|＞1，∴T＜2π，

而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选D．

【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=

．

【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】计算题．

【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα= 求出结果．

【解答】解：角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r=5， 由任意角的三角函数的定义得 cosα==故答案为：

．

．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．

14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是 （π﹣2）rad ． 【考点】弧长公式． 【专题】计算题．

【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角． 【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l 由题意得2r+l=πr ∴l=（π﹣2）r ∴θ==π﹣2

故答案为：（π﹣2）rad．

【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力

15．函数，则= ﹣ ．

【考点】三角函数的化简求值．

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式先求出f（x）=入，能求出结果．

，再把cos

=代

【解答】解：∵

=

=

=，

∵cos=，

∴==．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式的合理运用．

16．当x＞0时，不等式（a﹣3）＞（2a）恒成立，则实数a的取值范围是 a＞3 ． 【考点】函数恒成立问题．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由题意结合幂函数的单调性列关于a的不等式组得答案．

2xx

【解答】解：∵x＞0时，不等式（a﹣3）＞（2a）恒成立，

2

x

x

∴，解得：a＞3．

故答案为：a＞3．

【点评】本题考查函数恒成立问题，应用了幂函数的单调性，同时注意指数式的底数大于0且不等于1，是中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 17．已知

（1）求tanα的值； （2）求

的值．

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】（1）直接弦化切，即可求tanα的值； （2）法一：求出sinα，cosα，分类讨论求

的值．法二：原式分子分

母同除以cosα，弦化切，即可求【解答】解：（1）∵∴tanα=﹣tanα+1

，

2

的值．

（2）法一：由（1）知：，∴或

当，时，原式=

当，时，

原式=

综上：原式=

法二：原式分子分母同除以cosα得：

2

原式=

=

【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的转化能力，属于中档题．

18．设，

（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象； （2）若f（t）=3，求t值．

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【专题】计算题；作图题．

【分析】由分段函数，按照基本函数作图，第一段一次函数，第二次二次函数，第三次为一次函数，要注意每段的定义域． 【解答】解：（1）如图

（2）由函数的图象可得：f（t）=3 即t=3且﹣1＜t＜2． ∴t=

2

【点评】本题主要考查分段函数的作图和用数形结合解决问题的能力，分段函数知识点容量大且灵活，是高考的热点，在解决中要注意部分与整体的关系．

19．已知x∈[﹣

，

]，

（1）求函数y=cosx的值域；

2

（2）求函数y=﹣3（1﹣cosx）﹣4cosx+4的值域．

【考点】余弦函数的图象．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数y=cosx的值域．

（2）把函数y的解析式化为y=3（cosx﹣）﹣，结合cosx∈[﹣，1]，利用二次函数的性质求得y的值域．

【解答】解：（1）∵y=cosx在[﹣∴当x=0时，y取最大值1；x=∴y=cosx的值域为[﹣，1]．

（2）原函数化为：y=3cosx﹣4cosx+1，

即y=3（cosx﹣）﹣，由（1）知，cosx∈[﹣，1]， 故y的值域为[﹣，

]．

2

2

2

，0]上为增函数，在[0，时，y取最小值﹣，

]上为减函数，

【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．

20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一

个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3． （1）求此函数的解析式； （2）求此函数的单调区间．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】（1）由题意得到A和周期，代入周期公式求ω，在由点（π，3）在此函数图象上结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求；

（2）直接由复合函数的单调性求函数的单调区间． 【解答】解：（1）由题意可知：A=3，∴T=10π， 则∴y=3sin（

φ），

，

，

∵点（π，3）在此函数图象上， ∴

， ．

φ=

．

∵|φ|＜∴φ=

， ．

）；

，即﹣4π+10kπ≤x≤π+10kπ，k∈Z时，

）单调递增，

∴y=3sin（（2）当函数y=3sin（

∴函数的单调增区间为[﹣4π+10kπ，π+10kπ]（k∈Z）； 当

，即π+10kπ≤x≤6π+10kπ，k∈Z时，

函数单调递减，

∴函数的单调减区间为[π+10kπ，6π+10kπ]（k∈Z）．

【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．

21．已知二次函数f（x）=x﹣16x+q+3

（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围； （2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由． 【考点】二次函数的性质．

【专题】存在型；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用． 【分析】（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则

，即

，解

2

得实数q的取值范围；

（2）假定存在满足条件的q值，结合二次函数的图象和性质，对q进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

【解答】解：（1）若二次函数f（x）=x﹣16x+q+3的图象是开口朝上，且以直线x=8为对称轴的抛物线，

故函数在区间[﹣1，1]上为减函数， 若函数在区间[﹣1，1]上存在零点， 则

，即

，

2

解得：q∈[﹣20，12]；

（2）若存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51， 当0＜q≤8时，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），

2

当8＜q＜10时，f（q）=q﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去）， 综上所述，存在q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

22．已知函数

．

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域； （2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，求实数a的取值范围． 【考点】函数恒成立问题．

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）法一、把a=1代入函数解析式，由指数函数的单调性求得f（x）在（﹣∞，0）上的值域；法二、令（2）由f（x）＜3，即

最小值得答案． 【解答】解：（1）法一、当a=1时，

，由指数函数单调性知f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，

∴f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）； 法二、令

2

换元，由x的范围求出t的范围，转化为二次函数求值域；

，分离参数a，然后利用换元法求函数的

，由x∈（﹣∞，0）知：t∈（1，+∞），

，

∴y=g（t）=t+t+1（t＞1），其对称轴为直线∴函数g（t）在区间（1，+∞）上为增函数， ∴g（t）＞g（1）=3，

∴函数f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）； （2）由题意知，f（x）＜3，即由于若令2=t，

x

，

在[0，+∞）上恒成立．

，

，则：t≥1且a≤hmin（t）．

由函数h（t）在[1，+∞）上为增函数， 故φmin（t）=φ（1）=1．

∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了指数函数的单调性，训练了分离变量法，是中档题．