圆锥曲线定义求最值 举例

x2y212：已知椭圆2516内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，

求PAPF的最大值与最小值。

分析：目标函数第一定义，把

PFPAPF,考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆

PF2aPF转化为与另一焦点有关的线段，即,再结合平面内三点共线

时有最值，而点P在线段延长线的不同侧时，会使目标函数取得最大值或最小值。

解：如图1，设椭圆的右焦点为F，可知其坐标为F（3，0），由椭圆的第一定义得：

PFPF10，则PAPF10PAPF，可知，当P为AF的延长线与椭圆的交

AF2点时，

PAPF最大，最大值为，当P为FA的延长线与椭圆的交点时，

PAPF

最小，最小值为

AF2。故

PAPF的最大值为102，最小值为102。

例5 已知点A（2，3），设点

x2y211612F为椭圆的右焦点，点

M为椭圆上一动点，

求|MA|2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标。

解：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M。

12

∵椭圆的离心率

e∴由第二定义得2|MF||MN|

∴|AM|2|MF|的最小值为|AN|的长，且|AN|2810

∴|AM|2|MF|的最小值为10，此时点M的坐标为（23，3）

x2y21c7：已知双曲线：916内有一点A7,3，F是双曲线C的左焦点，P为双曲线C上

的动点，求

PA3PF5的最小值。

图6

313PF分析：注意到式中的数值“5”恰为e，则可由双曲线的第二定义知5等于双曲线

上的点P到左准线的距离

PM，从而

PA3PF5PAPM。

解：设双曲线左准线为l，过平点P作准线l的垂线交于点M，根据双曲线第二定义得

PM53PFPAPF35PAPM，由图6知，当A、P、M三点共线时，PAPM取,所以

得最小值，其大小为

AM7449443PAPF55,即5的最小值为5。

1PFd题中e（d为P到焦点F对应的准线的距离），从而将所求转化为定点到准线的

距离。