2018年上海市徐汇区高三二模数学卷(含答案)

高三数学

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知全集UR，集合Axx22x30，则CUA .

一、填空题（本大题共有12题，满分分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

12．在x的二项展开式中，常数项是 .

x3．函数f(x)lg(3x2x)的定义域为_____________． 4．已知抛物线xay的准线方程是y5．若一个球的体积为

2632，则该球的表面积为_________． 31，则a . 4x0，6．已知实数x，y满足y0， 则目标函数zxy的最小值为___________．

xy1．sinxcosx7．函数f(x)1211的最小正周期是___________．

8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12，则该圆锥的侧面积等于 .

9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的

rrrr点数是n，向量am2,2n，向量b1,1，则向量ab的概率是 . ．．

10．已知直线l1:mxy0,l2:xmym20.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是 .

2(x1)2sinx11．若函数f(x)的最大值和最小值分别为M、m，则函数2x1g(x)MmxsinMmx1图像的一个对称中心是 ．

rrr812．已知向量a,b满足|a|15r4、|b|，若对任意的

15rrrr(x,y)(x,y)|xayb|1,xy0，都有|xy|1成立，则ab的最小值

为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

ruuuruuuruuuruuu13．在四边形ABCD中，ABDC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是--------（ ）

（A）菱形

（B）矩形 （C）直角梯形

（D）等腰梯形

14. 若无穷等比数列an的前n项和为Sn，首项为1，公比为 (nN*)，则复数z1，且limSna，

n21（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ） ai

（A）第一象限． （B）第二象限． （C）第三象限． （D）第四象限． 15．在ABC中，“cosAsinAcosBsinB”是“C900”的------------（ ）

（A） 充分非必要条件 （C） 充要条件

（B）必要非充分条件 （D）既不充分也不必要条件

16．如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A,B，过劣弧AB上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M,N，若点Q(2,1)是切线上一点，则MON周长的最小值为------------------------------------------------------------------( ) （A）10 （B）8 （C）45 （D）12

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AD4，

D1C1AC121，点M为AB的中点，点N为BC的中点．

（1）求长方体ABCDA1B1C1D1的体积；

（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表

示）．

A1B1DNCAMB

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图：某快递小哥从A地出发，沿小路ABBC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD10（公里），DCB45,CDB30，ABD是等腰三角形，

00ABD1200．

（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路ADDC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数f(x)x3tx1，其定义域为[0,3]U[12,15]， (1) 当t2时，求函数yf(x)的反函数；

2C

B D

A

(2) 如果函数yf(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

x2y21长轴的两个端如图，A,B是椭圆C:2点，M,N是椭圆上与A,B均不重合的相异两点，设直线AM,BN,AN的斜率分别是k1,k2,k3. (1)求k2k3的值； (2)若直线MN过点21，求证：； ,0kk1326(3)设直线MN与x轴的交点为(t,0)(t为常数且t0)，试探究直线AM与直线BN的交点

Q是否落在某条定直线上若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列an的前n项和An满足

An1An1(nN*)，且a11，数列bn满足n1n2bn22bn1bn0(nN*)，b32，其前9项和为36．

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)当n为奇数时，将an放在bn的前面一项的位置上；当n为偶数时，将bn放在an前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,，求该数列的前n项和Sn； (3)设cn1，对于任意给定的正整数kk2，是否存在正整数l,m(klm)，

anbn使得ck,cl,cm成等差数列若存在，求出l,m(用k表示)；若不存在，请说明理由．

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参及评分标准

一． 填空题：（本大题共有12题，满分分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．[1,3] 2．20 3．(0,) 4．1 5．16 6．1 7． 8． 9．

81122 10． xy2xy0 11．，1 12． 6154二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）

13．A 14．D 15．B 16．A

三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）

17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

【解】（1） 连AC、AC1．ABC是直角三角形，AC2425．

22ABCDA1B1C1D1是长方体，C1CBC，C1CCD，又DCBCC，

C1C平面ABCD，C1CAC．

又在RtACC1中，AC121，AC25，CC11，

z D1 C1 B1 VABCDA1B1C1D18．--------6分

（2）解法一：如图建立空间直角坐标系

则A,0、B14,2,1、N2,2,0，所以14,0,1、M4,1A1 D x A N M B C y

uuuuruuuurA1M0,1,1、B1N2,0,1，10分

uuuuruuuur则向量AM与B1N 1uuuuruuuurAMB1N10所成角满足cosuu1． uuruuuur10A1MB1N异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos解法二：取AD的中点E，连A1E、EM．

D1C110．14分 10EN//AB//A1B1，四边形A1B1NE为平行四边形，

A1E//B1N，EA1M等于异面直线A1M与B1N所成的

角或其补角．----------------------------------------9分

A1B1DENBCAM1，AE2，AA11，得AM2，AE5，11AMEM5，

cosEA1M1025510，EA1Marccos． 102251010．----------------------------14分 10异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）AB10（公里），

BCD中，由

于是，由

BDBC，得BC52（公里）-------------------2分 sin450sin30010526051.2150知， 20快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．---------------------------------------6分

（2）在ABD中，由AD2102102210101300， 2得AD103（公里），------------------------------------------------------------8分 在BCD中，CBD1050，由

CD52， 00sin105sin30得CD513（公里），-----------------------------------------------------10分

由

1035136060152015345.9851.21（分钟）

知，汽车能先到达C处．-----------------------------------------------------------14分

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

3x8,x[8,1]【解】(1) y； ------------------------------------------------------6分

3x8,x[73,136]3t0(2)1 若0，即t0，则yfx在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分

23t20 若15，即t10，则yfx在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分

23t3t30 当312，即2t8时，由于区间0,3关于对称轴的对称区间是

223t123t315或3t，即t2,4或t6,8时， 3t3,3t，于是当3t31222函数yfx在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．

综上，t(,0]U[2,4)U(6,8]U[10,)．------------------------------------------14分

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)设N(x0,y0)，由于A(2,0),B(2,0)，

2y02所以k2k3，

x2x02x020y0y02x022222y0y01，即x0因为N(x0,y0)在椭圆C上，于是，

22y01所以k2k32.------------------------------------------------------------------4分

x02222xmy(2)设直线MN:xmy，M(x1,y1),N(x2,y2)，由2

2x22y22得(m22)y22my于是y1y230， 22m3，------------------------------------6分 ,yy12m222m22k1k3y1y2x12x22y1y2 329m2y1y2my1y222m232m223322m9m222m222m21．10分

396m23m2m222232 (3)由于直线MN与x轴的交点为(t,0)，于是MN:xmyt，

x2y21的方程，可得 联立直线MN:xmyt与椭圆C:2(m22)y22mtyt220，

2mtt22,y1y22于是y1y22.-------------------------------------------------12分

m2m2因为直线AM:y两式相除，可知

y1y2(x2)，直线BN:y(x2)，

x12x22x2x12y2my1t2y2my1y2(t2)y2 x2x22y1my2t2y1my1y2(t2)y1t222mtm2(t2)(2y1)m(t2)2(t2)(m22)y1m2m2

t22m(t22)(t2)(m22)y1m2(t2)y1m2t2m(t2)(m22)y1t2， 2t2m(t2)(m2)y12t于是xt2，所以x22，即直线AM与直线BN的交点Q落在定直线x上．16分 tt21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】答案：(1)因为差数列， 所以

An1An11A(nN*)，于是数列n是首项为1，公差为的等n1n22nAn11n(n1)n，即An(nN*)， n222*当n2时，anAnAn1n，又因为a11，所以ann(nN).--------------2分 又因为bn22bn1bn0(nN)，于是数列bn是等差数列，

*设bn的前n项和为Bn，由于B99b536，则b54，由于b32，

所以bnn1(nN*)．---------------------------------------------------------------------------------4分 (2)数列an的前n项和Ann(n1)(n1)n，数列bn的前n项和Bn．----5分 22k(k1)(k1)kk2；-----------6分 22当n2k(kN*)时，SnS2kAkBk当n4k3(kN*)时，

SnS4k3A2k1B2k2k(2k1)(2k3)(k1)4k26k3；----------7分

当n4k1(kN*)时，

SnS4k1A2k1B2k(2k1)k(2k1)k4k22k；------------------------8分

124n,n2k2n3,n4k3，其中kN*．------------------------------------------------10分 所以Sn4n21,n4k14(3)由(1)可知，cn1. 2n1若对于任意给定的正整数kk2，存在正整数l,m(klm)，使得ck,cl,cm成等差数列，则2clckcm，即

211，---------------------------------------11分 2l12k12m1于是

1214k2l1，

2m12l12k1(2l1)(2k1)2klk2l(k1)(2l14k)(2k1)2所以m

4k2l14k2l1(2k1)2(2k1)21kmk1，------------------------------------------13分 ，即

4k2l14k2l1则对任意的kk2,kN，4k2l1能整除(2k1)，且4k2l10. 由于当k2时，2k1中存在多个质数，

所以4k2l1只能取1或2k1或2k1------------------------------------------------14分 若4k2l11，则l2k1，m4k5k2，于是

222ml4k27k3(4k3)(k1)0，符合klm；----------------------------15分

若4k2l12k1，则kl，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若4k2l1(2k1)，则mk2，于是m0，矛盾．-------------------------------17分 综上，当k2时，存在正整数l2k1,m4k5k2，满足klm，且使得ck,cl,cm成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分

22