3.1.2函数的单调性第2课时函数的平均变化率(新教材教师用书)

3.1.2函数的单调性第2课时 函数的平均变化率

(教师独具内容)

课程标准：1.了解函数平均变化率的几何意义.2.理解函数递增和递减的充要条件，并能够运用函数递增和递减的充要条件判断函数的单调性．

教学重点：函数递增和递减的充要条件．

教学难点：运用函数递增和递减的充要条件证明函数的增减性.

【情境导学】(教师独具内容)

上节课我们学习了从函数单调性的定义来证明函数单调性的方法，那么证明函数的单调性还有没有其他方法呢？这节课我们就来研究证明函数单调性的另一种方法——函数的平均变化率．

【知识导学】

知识点一 函数平均变化率的定义

Δffx2－fx101一般地，对于函数y＝f(x)，当x1≠x2时，称□＝，为函数y＝f(x)在区间[x1，Δxx2－x1x2](x1x2时)上的平均变化率．

知识点二 函数递增和递减的充要条件

一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2Δyy2－y1Δffx2－fx1

即＝，则： ＝f(x2)，Δx＝

x2－x1x2－x1Δx

01Δy>0在I上恒成立； (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是□Δx02Δy<0在I上恒成立． (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是□Δx

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝Δy

y2－y1，则Δx表示直线AB的斜率．( )

Δy

(2)若函数y＝f(x)在(a，b)上是增函数，则在(a，b)上一定有Δx>0.( )

(3)在增函数和减函数的充要条件中，可以把“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都________0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都________0.

1

(2)函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝x，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，满足对任意x1，x2∈(0，Δy

＋∞)，都有Δx<0的是________．

(3)函数f(x)＝－x2－2x的最大值是________． 答案 (1)> < (2)② (3)1

题型一 函数单调性的证明及应用 例1 证明：函数f(x)＝个函数的最值．

[证明] 设x1≠x2，则 x2x1

－2

＋1x21＋1Δffx2－fx1x2

＝＝ Δxx2－x1x2－x1＝

1－x1x2

. 2x21＋1x2＋1

x

(x>0)在(0,1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，并求这x2＋1

Δf

当x1，x2∈(0,1]时，有1－x1x2>0，从而Δx>0， 因此f(x)在(0,1]上是增函数．

Δf

当x1，x2∈[1，＋∞)时有1－x1x2<0，从而Δx<0， 因此f(x)在[1，＋∞)上是减函数． 由函数的单调性可知，函数没有最小值； 而且，当x∈(0,1]时，有f(x)≤f(1)，

当x∈[1，＋∞)时，不等式f(x)≤f(1)也成立． 1

因此f(1)＝2是函数的最大值． 金版点睛

函数的最值与单调性的关系

(1)运用函数的单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图像不好作

或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．

(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．

(3)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．

(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．

(5)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．

(6)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．

[跟踪训练1] 判断函数f(x)＝解 设x1≠x2，则

22

－Δffx2－fx1x2－1x1－1

Δx＝x2－x1＝x2－x1－2＝. x2－1x1－1

当x1，x2∈[2,6]时，有x2－1>0，x1－1>0， Δf

从而Δx<0，因此f(x)在区间[2,6]上是减函数． 由函数的单调性可知，函数f(x)＝

2

在区间[2,6]上的两个端点处分别取得最大值和最x－1

2

在区间[2,6]上的单调性，并求函数在该区间上的最值． x－1

2

小值，即当x＝2时取得最大值，最大值是2，当x＝6时取得最小值，最小值是5.

题型二 函数平均变化率的应用

例2 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状可以是( )

[解析] 由函数图像可知，固定的Δh内，随着h的增大，ΔV逐渐减少，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.

[答案] B 金版点睛

解决这类问题的关键是要弄清随着自变量的改变，函数平均变化率的变化情况，然后由函数平均变化率的变化情况确定容器的形状.

[跟踪训练2] 一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的( )

答案 B

解析 由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得越来越快，后减少得越来越慢．故选B.

1．在函数平均变化率的定义中，Δx应满足( ) A．Δx>0 C．Δx≠0 答案 C

解析 由函数平均变化率的定义，知Δx≠0.故选C. 2．函数f(x)＝1－x2在区间[0,2]上的平均变化率为( ) A．－3 C．2 答案 D

解析 函数f(x)＝1－x2在区间[0,2]上的平均变化率为

f2－f0－3－1

＝2＝－2. 2－0

B．－4 D．－2 B．Δx<0 D．Δx＝0

3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )

答案 A

解析 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除C，D.因为汽车在加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.故选A.

4．函数f(x)＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________． 答案 10 －2

解析 因为函数f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，当x∈[0,3]时，f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．故函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)＝10，最小值是f(1)＝－2.

5．证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数． Δffx2－fx1证明 设x1≠x2，则Δx＝

x2－x1

2

2x22＋4x2－2x1＋4x1＝＝2(x1＋x2)＋4.

x2－x1

当x1，x2∈(－∞，－1]时， 有x1＋x2<－2,2(x1＋x2)<－4，

Δf

从而Δx<0，因此f(x)在(－∞，－1]上是减函数．

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x2＋4图像上的两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1

答案 B

解析 ∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kf1.3－f15.69－5

AB＝1.3－1＝0.3＝2.3，故选B.

2．函数f(x)＝2x在区间1

2，2上的平均变化率为( )

A．2 B.2

3 C.22

3 D.2 答案 B

f2－f1解析 函数f(x)＝2x在区间1

2

2－122，2

上的平均变化率为2－1＝3＝

3.故选B. 2

213．函数f(x)＝x

，x≥1，

－x2＋2，x<1

的最大值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 B

) 解析 当x≥1时，f(x)≤f(1)＝1，当x<1时，f(x)≤f(0)＝2，所以函数f(x)的最大值为2.故选B.

22

4．如图，正方形ABCD的顶点A0，，B，0，顶点C，D位于第一象限，直线

22l：x＝t(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图像大致是( )

答案 C

解析 判断S＝f(t)的图像，可用观察法，直线l在运动到B点之前，左侧面积增大的速度越来越快，而过了B点之后，左侧面积增大的速度越来越慢，而速度的快、慢反映在图像上是陡、缓．故选C.

5．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) C．(－∞，2] 答案 D

B．[0,2] D．[1,2]

解析 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图像知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

二、填空题

6．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．

答案 －1

Δy

解析 由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率Δx＝f3－f11－3

＝＝－1. 3－13－1

7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a答案 －2 0

解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a8．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)

解析 －x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在

[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值为0，∴a≥0.

三、解答题

9．证明函数f(x)＝x＋x是增函数． 证明 设x1≠x2，

x2＋x2－x1－x1Δffx2－fx1

则Δx＝＝.

x2－x1x2－x1∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)， Δf

∴Δx＝1

＋1.

x2＋x1

Δf

∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴Δx>0. ∴函数f(x)＝x＋x是增函数． 10．判断函数f(x)＝

x

在区间[2,4]上的单调性， x＋2

并求这个函数在该区间上的最值． Δffx2－fx1

解 设x1≠x2，则Δx＝

x2－x1x2x1

－x2＋2x1＋22＝＝.

x2－x1x1＋2x2＋2∵x1，x2∈[2,4]，∴x1＋2>0，x2＋2>0.

Δfx∴Δx>0，∴函数f(x)＝在区间[2,4]上是增函数．故该函数在区间[2,4]上的最大值为

x＋221f(4)＝3，最小值为f(2)＝2.

B级：“四能”提升训练

1．很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．若已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关4

系式为V(r)＝3πr3，从数学的角度，如何描述这种现象呢？

33V解 将半径r表示为体积V的函数，得r(V)＝4π.

当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)， r1－r0

气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．

1－0

类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)， r2－r1

气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．

2－1

可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，即随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．

2．已知f(x)＝

x

(x≠a)． x－a

(1)若a＝2，试证明f(x)在(－∞，2)上单调递减；

(2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 解 (1)证明：当a＝2时，f(x)＝

x. x－2

x2x1

－－2Δffx2－fx1x2－2x1－2

设x1≠x2，则Δx＝＝＝.

x2－x1x2－x1x1－2x2－2当x1，x2∈(－∞，2)时，有x1－2<0，x2－2<0， Δf

∴Δx<0.∴f(x)在(－∞，2)上单调递减．

x2x1

－－aΔffx2－fx1x2－ax1－a

(2)设x1≠x2，则＝＝＝.

Δxx2－x1x2－x1x2－ax1－a∵a>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴(x2－a)(x1－a)>0在(1，＋∞)上恒成立． ∴a≤1.∴实数a的取值范围为(0,1]．