用可逆线性变换化二次型为标准形

用可逆线性变换化二次型为标准形 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax22bxycy2f 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，作转轴使得上式变为只含有平方项的标准方程。 用可逆线性变换化二次型为标准形的方法 1. 配方法 关键：消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式 Case 1:二次型中含某变量xi的平方项和交叉项，先集中xi的交叉项，然后与xi配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量），这样后面求总的线性变换就比较方便，每次只对一个变量配方，余下的项中不应再出现这个变量。再对剩下的n1个变量同样进行。 Case 2: 二次型中没有平方项，只有交叉项，先利用平方差构造可逆线性变换。 例如：fx1x2,令x1y1y2,x2y1y2,xkyk,k1,2. 2. 合同变换法（成对初等行列变换法） 构造分块矩阵如下，对该分块矩阵进行一系列初等行变换和对应相同的列变换把A换为对角矩阵B的同时，其中相应的列变换将单位矩阵E化成了合同变换矩阵C. Ar,cB EC 3. 正交变换法 Step 1. 写出二次型对应的系数矩阵A； Step 2. 求出系数矩阵A的特征值和特征向量；（因为实二次型的系数矩阵为实对称矩阵，有定理表明：n阶实对称矩阵一定可以对角化，即实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量。 需要注意的是实二次型单根特征值只对应一个线性无关的特征向量，k重根特征值，对应k个线性无关的特征向量。前面所说的线性无关的特征向量，是某个特征值对应的齐次线性方程组所求得的基础解系。） Step 3. A的n个线性无关的特征向量中，将单根特征值对应的特征向量直接单位化，重根特征值对应的特征值，先通过施密特正交化方法正交化，再单位化。 Step 4. 将单位正交化的特征向量作为列，即找到正交变换法中所需要的正交矩阵P. 课程中心：http://202.194.131.160/sunli.html 山东农业大学数学系孙莉