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数学试题

试题满分：150分 时间：120分钟

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1、已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是65πcm，则圆锥的母线长是 （▲） A、 6.5 B、 13 C、15 D、26 2、方程(xx1)A、5 3、若方程

2x32

1的所有整数解的个数是 （▲）

B、4

C、3

D、2

6m1有增根，则它的增根是 （▲）

x1x1x1A、0 B、1 C、－1 D、1和－1

4、如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有 (▲) A、2个 B、4个 C、6个 D、8个 5、如图，啤酒瓶高为h，瓶内酒面高为a，若将瓶盖好后倒置，酒面高为a（abh），则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为 （▲） A、1

l1baba B、1 C、1 D、1 ababMp ql2O 第4题图

第5题图

126、从甲地到乙地有两条同样长的路,一条是平路,另一条路的是上山,是下山.如果上

33山的速度为平路速度的

11,平路速度是下山速度的,那么从甲地到乙地 (▲) 22A、走山路快 B、走平路快 C、走山路与平路一样快 D、哪个快不能确定

7、一个函数的图象如图，给出以下结论：①当x0时，函数值最大；②当0x2时，函数y随x的增大而减小；③存在0x01，当xx0时，函数值为0．其中正确的结论是 （▲） A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

8、如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m,n，那么∆AEG的面积的值 （▲） A、与m、n的大小都有关 B、与m、n的大小都无关 C、只与m的大小有关 D、只与n的大小有关

A D G F C E 第8题图 9、如右图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，1），点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C(x,y)在第一象限内时，下列图象中，可以表示

yC（▲） y与x的函数关系的是 B

A-11O-11BxA. B. C. D.

2

10、已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝

y |a＋b＋c|＋|2a－b|，则 （▲） A、p>q C、pB、p=q

D、p、q的大小关系不能确定

O 1 x 二.填空题（共12小题，每小题3分，共36分）

222第10题图 11、实数a,b,c满足a6b17,b8c23,c2a14，则abc ▲ . 12、将x=

21代入反比例函数y=－中,所得函数值记为y1，又将x= y1＋1代入函数中,所3x得函数值记为y2,再将x=y2＋1代入函数中,所得函数值记为y3……如此继续下去,则

y2010= ▲ .

13、如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20、45、80，则△ABC的面积为 ▲ .

A

ED

GF

CBIH

第13题图

3第题图14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，14sinB＝ ，则弦AC的长为 ▲ .

415、某直升机在甘肃舟曲的上空执行抢险救灾任务，从飞机上测得某居民楼的俯角为，

该直升机垂直上升800米后，测得该楼的俯角为，那么这时直升机距地面的高度为 ▲ .米(用含、的表达式表示，楼高忽略不计)．

16、如图正方形ABCD，以A为位似中心，把正方形ABCD缩小为原来的一半，得正方形

A y D

C

B C

A'B'C'D'，则C′的坐标是 ▲ .

17、如图，在等腰梯形纸片ABCD中，A120，现将这张纸片对折一次，使上下底重合一起，若不重合部分的总面积等于

3，AD2，则折痕EF的长等于 ▲ . 2218、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x7x120 的一个根，则菱形ABCD的周长为 ▲ .

2219、已知a，b是关于x的方程x(2k1)xk(k1)0的两个实数根，则ab的最

2小值是 ▲ .

20、如果不等式3xm0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是 ▲ . 21、如图，在锐角△ABC中，AB42，BAC45°，BAC的平分线交BC于点

D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是 ▲ .

22、如图，设△B2D1C1的面积为S1，n1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn1DnCn的面积为Sn，则Sn= ▲ .（用含n的式子表示）．

C

D

M

A N B

三、解答题 第22题图

第21题图

23、（本小题满分12分）

现有一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，连续抛掷两次，朝上的数字分别为a，b，已知直线l1：y（1）求直线l1∥l2的概率；

（2）求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率。

24（本小题满分12分）

11a1x，直线l2：yx， 22bb若x1,x2是关于x的一元二次方程axbxc0(a0)的两个根，则方程的两个根

2bx1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1x2,a系数关系定理.

2x1x2c. 我们把它们称为根与a如果设二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴的两个交点为

A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

b4cABx1x2(x1x2)4x1x2()2aa2b24aca2b24ac. a请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形.

（1）当ABC为等腰直角三角形时，求b4ac的值； （2）当ABC为等边三角形时，求b4ac的值；

（3）设抛物线yxkx1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且ACB90,试问如何平移此抛物线，才能使ACB60？

25（本小题满分14分）

在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上． 操作示例

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH． 思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形． 实践探究

（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a， b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方

形的示意图．

2222 A

F F F E D H A F A D E A E (E) D D G C B C B B C C B 2b＝a 2b＜a a＜2b＜2a b＝a

图 4 图2 图1 图3

联想拓展

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简

F 要说明理由．

A E D

C B b＞a 26（本小题满分14分） 图5 2010年5月1日，第41届世界博览会在上海市举行，本次世博会的主题是“城市，让生活更美好”（Better City, Better Life）。主办机构预计吸引世界各地7000万人次参观者前往，总投资达450亿人民币，是世界博览会史上最大规模．世博园某馆前有一块边长为8米的正方形花圃，如图AE=AF，点G、H、I分别是EF、CE、CF的中点，计划在△GHI内放置吉祥物“海宝”塑像，在阴影部分种植江苏荷花，其余部分种植广西茉莉。原来种植1平方米荷花和1平方米茉莉的总成本为200元，受季节和气候的影响，经核算荷花的种植成本提高了2成，茉莉的种植成本降低了1成，使每平方米荷花和每平方米茉莉的种植总成本提高了8%．

⑴试求出实际1平方米荷花和1平方米茉莉种植成本分别是多少元？ ⑵若此花圃实际种植总成本为7956元，请求出AE的长度．

A

F E G

B D

H I

C

27、（本小题满分16分）

如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A(0,1),B(1,0)，M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P(x,y)，且SMPNSAEMSNFB.

（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；

2时，求MON的度数； 2（3）证明: MON的度数为定值.

（2）当x

yAMENOFOBxOBxPyAyABx （ 备用图） （备用图）

28、（本题满分16分）

已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，tanB4，动点P、D分别在射线AB、AC上，且3∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．

（1）求△ABC的面积；

（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长． C

D

A

P

B

数学试题评分标准

一、选择题：

1、A；2、B；3、 B；4、B；5、C；6、C；7、C；8、D；9、A；10、C。 二、填空题： 11、-8 12、1 313、405 14、

3 2800tan

tantan15、

16、(2,1)或(0,-1) 17、3 18、16 19、0.5

20、9m12 21、4 22、

3n n1三、解答题 23．（本小题满分12分）

解：本题共有36种等可能事件1,1，1,2，…，1,6，2,1，2,2，…，2,6，…，

5,6，6,6

（2）解：设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则

b2a．

b2x,axby10,b2a联立方程组解得

x2y10.ya1.b2a因为直线l1与l2的交点位于第一象限，则x0,

y0.b2x0,b2a即解得b2a．

a1y0.b2a满足条件的实数对a,b有1,3、1,4、1,5、1,6、2,5、2,6共六种． 所以PB61． 3661．………………………………..12分 6答：直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为

24.(1)解：当ABC为等腰直角三角形时，过C作CDAB,垂足为D,则AB2CD................................................................................1分抛物线与x轴有两个交点，0，b24acb24acb24acABab24ac又CD.4aa0,b24acb4ac,..........................................................................2分22(b24ac)2b4ac4(b24ac)22b4ac4b24ac0.2b24ac4................................................................................3分(2)当ABC为等边三角形时，b24ac12.....................................4分(3)ACB90,b24ac4.即k244,k22..........................................................................................5分因为向左或向右平移时ACB的度数不变，所以只需将抛物线yx222.x1向上或向下平移使ACB60，然后向左或向右平移任意个单位即可.设向上或向下平移后的抛物线解析式为：yx222x1m平移后ACB60,b24ac12,m2.抛物线yx2kx1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使ACB的度数由90变为60.....................................................................................7分25．解：（1）a2+b2； ------------------ 2分

（2）剪拼成的新正方形示意图如图2—图4中的正方形FGCH． 联想拓展：能剪拼成正方形. 示意图如图5．

A G B

F (E) D

H

A G B

F (G) A F (H) E G A B F

D E H D C 图4

D C 图5

H E

C 图2

正确画出一个图形给3分.

C 图3

B 8 3（ii）当点D在边AC的延长线上时，

解得xCD7x3242，PC(x4)242．

32（不符合题意，舍去）． 78综上所述，AP的长为，或16，或32．………………………………16分

3解得x132，x2