一次函数压轴题专题突破9：一次函数与菱形(含解析)

1 .如图1,在平面直角坐标系中，直线

AC: y=- 3x+3,区与直线 AB： y= ax+b交于点A,且B ( - 9, 0).

(1)若F是第二象限位于直线 AB上方的一点，过 F作FH AB于E,过F作FD// y轴交直线AB于D, D为 AB中点，其中△ DFF的周长是12+4,月，若M为线段AC上一动点，连接 EM求 EM+—' MC的最小值，此时

1

10

y轴上有一个动点 G当|BG-MG尺大时，求 G点坐标；

(2)在(1)的情况下，将4 AOC^g O点顺时针旋转60°后得到△ A OC',如图2,将线段OA沿着x轴

平移，记平移过程中的线段

OA'为O A〃，在平面直角坐标系中是否存在点

P,使得以点O' 为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点

P的坐标，若不存在，请说明理由.

〃，E, P, A

2 .如图1,直线y=-_1x+6与y轴交于点 A,与x轴交于点 D,直线AB交x轴于点B, 叠，点O恰

好落在直线 AD上的点C处.

△ AOB替直线AB折

(1)求OB的长；

(2)如图2, F, G是直线AB上的两点，若^ DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点 (3)如图3,点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且 巳Q均在第四象限，点 若四边形F的坐标； E是x轴上一点,

PQD叨菱形，求点E的坐标.

3 .如图，在平面直角坐标系中，直线 l: y=-返*+2诟与x轴、y轴分别交于点 A, B,将点B绕坐标原

点。顺时针旋转60°得点C,解答下列问题：

(1)求出点C的坐标，并判断点 C是否在直线l上；

(2)若点P在x轴上，坐标平面内是否存在点 Q,使彳导以P、C Q A为顶点的四边形是菱形？若存在，请

4 .如图，直线li： y=-_^_x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线 上：y=kx-6交于点C (4, 2) (1)求直线li和直线12的解析式；

(2)点E是射线BC上一动点，其横坐标为 m,过点E作EF// y轴，交直线l 2于点F,若以。B E、F为 顶点的四边形

是平行四边形，求

m值；

Q,使彳导以P、。A B为顶点的四边形是

(3)若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点

菱形？若存在，请直接写出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由.

5 .如图1,矩形OABC勺边OA OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8, 4),将△ AOCg对角线AC翻折得 △ ADC AD与BC相交于点E. (1)求证：△ CD总△ ABE; (2)求E点坐标；

(3)如图2,若将△ ADCg直线AC平移彳A D' C (边A C始终在直线 AC上),是否存在四边形 DD C' C为菱形的情况？

若存在，请直接写出点

C'的坐标；若不存在，请说明理由.

6 .如图，直线li： y=-Lx+b分别与x轴、y轴交于 A、B两点，与直线12： y= kx - 6交于点C (4, 2).

2

(1)求A点坐标及k, b的值；

(2)在直线BC上有一点E,过点E作y轴的平行线交直线12于点F,设点E的横坐标为m,当m为何值时，

以。B E、F为顶点的四边形是平行四边形；

(3)若点P为x轴上一点，在坐标系中是否存在一点

求出所有符合条件的 Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Q,使得P、Q A B四个点能构成一个菱形？若存在，

7 .在平面直角坐标系中， BC// OA BC= 3, OA= 6, AB= 3。亏 (1)直接写出点B的坐标；

(2)已知D E分别为线段 OC OB上的点，OD= 5, OE= 2BE,直线DE交x轴于点F,求直线DE的解析式；

(3)在(2)的条件下，点 M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点 N,使以。D> M N为顶 点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出点

N的坐标；若不存在，请说明理由.

8 .如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，直线 y=- x+b与坐标轴交于 C, D两点，直线AB与坐

2

标轴交于A, B两点，线段 OA OC的长是方程x - 3x+2 = 0的两个根(OA> OC .

(1)求点A, C的坐标；

(2)直线AB与直线CD交于点E,若点E是线段AB的中点，求直线 AB的解析式； (3)在(2)的条件下，点 M在直线CD上，坐标平面内是否存在点

N,使以点B, E, M N为顶点的四边形

是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点

N的坐标；若不存在，请说明理由.

9.在平面直角坐标系中，直线 x+b分别与x轴、y轴交于点A B,且点A坐标为（8, 0）, 点C为

AB中点.

（1）请直接写出点 B坐标（, ）.

（2）点M为x轴上的一个动点，过点 M作x轴的垂线，分别与直线 AR直线OC交于点P、Q设点 坐标为m,

线段PQ的长度为d,求d与m的函数关系式，并直接写出自变量

m的取值范围.

（3）在（2）条件下，当点 M在线段OA （点M不与。A重合）上运动时，在坐标系内是否存在一点 得以。R P、N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出

N点的坐标若不存在，请说明理由.

M的横

N使

10 .如图，平面直角坐标系中，直线 l分别交x轴、y轴于A、B两点(OA< OBB且OA OB的长分别是一元

二次方程x2-(始+1) x+«=0的两个根，点 C在x轴负半轴上，且 AB: AG= 1: 2

(1)求A C两点的坐标；

(2)若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 CB运动，连接AM设^ABM勺面积为S,点M的运 动时间为t,写

出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点

请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，

11 .如图，平面直角坐标系中，矩形 (1)求R C两点的坐标；

OABC勺对角线AC= 12, Z ACO= 30° ,

(2)把矩形沿直线 DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F,求直线DE的解析式；

(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点 N,使以。F、M N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直 接写出点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

12 .如图，已知点 A( - 12, 0), B (3, 0),点C在y轴的正半轴上，且/ ACB= 90° . (1)求点C的坐标；

(2)求Rt^ACB的角平分线CD所在直线l的解析式； (3)在l上求出满足&PBC= ~^S ABC的点P的坐标；

(4)已知点M在l上，在平面内是否存在点 N,使以。C M N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接 写出点N的坐

标；若不存在.请说明理由.

13 .如图，在平面直角坐标系中， ？ OABC勺顶点A在y轴的正半轴上，顶点 B在x轴的正半轴上，对角线

AC OB交于点 D,且OA OB的长是方程 x2 — 12x+32= 0的两根(OAc 08. (1)求直线AC的函数解析式；

(2)若点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿射线 AC运动，连接OP设^OPD勺面积为S,点P的运 动时间为t

秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)若点M是直线AC上一点，则在平面上是否存在点 N,使以A、N的坐标；若不存在，请说明理由.

R M N为顶点四边形为菱形？若存在，请直接写出点 14 .如图，在平面直角坐标系中， 直角梯形OABC勺边OC OA分别与x轴、y轴重合，AB// OC Z AOG= 90° , ZBCO= 45° , BC= 12 施，点 C 的坐标为(-18, 0). (1)求点B的坐标； (2)若直线DE交梯形对角线

BO于点D,交y正半轴于点E,且。巳4,。氏2BD,求直线DE的解析式；

Q使以O E、P、Q为顶点的四边

(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点

形是菱形？若存在，请直接写出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由.

15 .在平面直角坐标系中，点 A B分别在x轴、y轴上，线段OA OB的长(OA< OB是关于x的方程

-(2m+6 x+2m2=0的两个实数根，C是线段AB的中点，OC= 3后 D在线段OC上，。&2CD (1)求OA OB的长； (2)求直线AD的解析式；

(3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Q使以。A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求

16 .如图，在Rt^OAB中，/A= 90° , Z ABO= 30° , OB=22Li ,边AB的垂直平分线 CD分别与AR x轴、 y轴交于点C、G D. (1)求点G的坐标； (2)求直线CD的解析式；

(3)在直线CD上和平面内是否分别存在点

。P,使得以。D P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

17 .已知直线 y=Jlx+4；n与x轴、y轴分别交于 A B两点，/ ABG= 60° , BC与x轴交于点 C. (1)试确定直线BC的解析式.

(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与 A C重合)，同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动

(不与C、A重合)，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点 Q的运动速度是每秒 2个单位长度.设

△ APQ的面积为S, P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (3)在(2)的条件下，当/\\ APQ勺面积最大时，y轴上有一点M,平面内是否存在一点 N,使以A、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出

N点的坐标；若不存在，请说明理由.

Q M 18 .如图，在平面直角坐标系中，已知点 A为第二象限内一点，过点 A作x轴垂线交x轴于点B,点C为x

2

轴正半轴上一点，且 OB OC的长分别为方程 x-4x+3=0的两根(OM OC .

(1)求R C两点的坐标；

(2)作直线AC,过点C作射线CE，AC于C,在射线CE上有一点M (5, 2),求直线AC的解析式； (3)在(2)的条件下，坐标平面内是否存在点

Q和点P (点P在直线AC上)，使以O C P、Q为顶点的

四边形是菱形？若存在，请直接写出

Q点坐标；若不存在，请说明理由.

19 .如图，在平面直角坐标系中， 点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA OB的长(0Av OB是方程x2-18x+72 =0的两

个根，点 C是线段AB的中点，点D在线段OC上，。&2CD. ( 1 求点 C 的坐标；

(2)求直线AD的解析式；

(3) P是直线AD上的点，在平面内是否存在点 Q使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请

直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

1 .【解答】解：(1)由AC: y=- 3x+3%值得：点A、C的坐标分别为：(0, 3%年)、0),

则 tan / AC(O=_S^=3= tan a CO ,则 cos a = YJi2,,

10

点 B ( — 9, 0),点 A (0, 3jl), 则直线AB的表达式为：y = gx+3\"fj,

同理 tan /ABC=浮，则/ ABO= 30° , / BAO= 60° ,

-. FE±AB, FD// y 轴，则/ F= Z ABO= 30° ,

设：DE= s,贝U DF= 2s, EF=依s, 4DFF 的周长是 12+娟, 则 s+2s+J5s = 12+4J3,解得：D为AB中点，则点D ( - 9 , 耍

s=ED= 4,贝U XE- XD= DEcos30° 二2初,

贝U点 E ( — 1-+2M,号;+2),

过点C作x轴的垂线、过点 M作y轴的垂线，两垂线交于点 H,

0

却

逗

则/ HMC= / ACO= a ,则 MH= MCcos” =

To- MC 当点E、M H三点共线时， EM+MHEM+凶

10

MC最小,

贝U yM= yE=

点M在直线AC上，则点M

+2)

作点M关于y轴的对称点M'(

,

+2)，连接BM交y轴于点G,

则点G为所求,此时|BG- MG最大,

将日M的坐标代入一次函数表达式: y= kx+b,

解得：b=

7193+5022^3 3337

s = 4,

故点7193+502 273

G的坐标为：（0, ）

3337

；

综上，

EM+^一10

- MC最小值为： L-d号，G的坐标为：（0,

7.5022®；

3337

（2）将^ AOCg O点顺时针旋转60°后得到△ A OC',

则4OAA为边长为4的等边三角形，则点 A （L，巨1）, 设线段OA沿着x轴平移了 m个单位, 则点O'、A\"的坐标分别为（m 0）、

,而点

E (一

-+英旱上

姝

E

O

① 当O' A

形的边时,

直线OA和直线AB的倾斜角都是30 ,故 O A〃 // OA

AB,

则 EP (P' ) = O' A = OA= 3值, 贝U XP - XE= 3 J§cos30 ° 故点 P (2、值，2+3/3), 同理点 P' ( - -9, 2);

2

②当O' A

形的对角线时,

设点 P (a, b),

由中点公式得：a - —+2>/3=—+2ni

b

2 2

2

而 EO= EA 即：(一+m+~_

2>/3) 2+2?= ( -------- +2V^ —城

+ ¥+2) 2

,

故：a= 63, b= - 2, 则点

P (6b3, — 2);综上，点P坐标为：（2代，2+3J1）或（

3

9, 2)或

6^-3, - 2).

乙

+2),

2 .【解答】解：(1)对于直线y=-3x+6,令x= 0,得到y=6,可得A (0, 6),

4

令y=0,得到x=8,可得 D (8, 0),

0氏，^^/OA-H3D.•.AC= AO= 6,

AD

822= 10,

• .CD- AD- AO 4,设 BO 0B= x,贝 U BD- 8- x,

在 Rt△ BCD^P, ••• BC+CD= BD2,

x +4 = ( 8 — x),

.•.B (3, 0).

(2)设直线 AB的解析式为y = kx+6, - B (3, 0), .•-3k+6 = 0,

「♦ k = - 2,

・・・直线AB的解析式为y= - 2x+6, 作G® x轴于 M FN^ x轴于N,

图2 /

.「△ DFG^等腰直角三角形，

.•.DG= FD, /1 = /2, Z DMG= / FND-90° , . DM年△ FND ( AAS ,

• .GM= DN DM= FN,设 GM= DN= m DM= FN= n,

.「G F在直线AB上，

贝U: m= - 2 (8-n) +6, - n=-2 (8-nj) +6, 解得：m= 2, n = 6 .•.F (6, — 6).

（3）①当点E在y轴左侧时，

如图，设Q （a,一等a+6）,

・•. PQ// x轴，且点 P在直线y= - 2x+6上,

，DH^ a- 8, Q+ .a- 6,

由勾股定理可知： QH DH DQ= 3: 4: 5,

QH= — DQ= 5a, o

a= -a -

6, 4 a= 16,

・•.Q (16, - 6) , P (6, - 6), •. ED// PQ ED= PQ D (8, 0), .•.E (- 2, 0).

②当点E在y轴右侧时，

同理可得：点E (3.4 , 0)(舍去)； 故点E的坐标为(-2, 0).

5 3

3.【解答】解：（1）设旋转后OB所在的直线 m与直线l交于点C',

则点A、B的坐标分别为（6, 0）、（0, 2代），

则 AO= 6, OB= 26,

tan Z QBA=J^= J3,则/ OBA= 60° , / OAB= 30° , OB

而/ BOC = 60° ,

则△OBC为等边三角形，即： OC = OB

即点C'为点B旋转后对应的点，即点 C在直线l上，则点C、C'重合,

/AOC = 90-/ BOC = 30° =/ OAB 而/ OBA= / BOC = 60° ,

则 OC = AC = BC ,贝U OC 是 Rt^ABC的中线， 贝U XC =\"^-OA= 3, yc = —OB= 'y3, 故点C' （C）的坐标为（3, «）;

（2）存在，理由：

点A、C的坐标分别为（6, 0）、（3,小）,则AC= 2/2,

①当AC是菱形的一条边时， 当点Q在x轴上方， 当菱形为ACQP寸，

则 AC= AP= 2V3= CQ 则点 Q （3+2日，近）; 当菱形为ACQ P'时， 点 Q' （3— 2。近,

当点Q在x轴下方，

同理可得：点 Q' （3, - J&）；

②当AC是菱形的对角线时， 设点 P （s, 0）,点 Q （n^ n）,

则AC的中点即为 PQ的中点，且 PA= PC（即：PA2=PC2）, ，s+m= 9, n+0 = V§, (s - 3) ?+

(^/~§) ?= ( 6 - s) ?,

解得：m= 5, n = Jlj, s=4, 故点Q （5,年；

综上，点Q坐标为：（3+2J与，心）或（3- 2、/,V3）或（3, - V3）或（5,代）.

4.【解答】解：（1）将点C的坐标代入li、I2表达式得： 2= - X 24+b, 2= 4k - 6,

解得：b= 4, k = 2,

故直线li和直线12的解析式分别为：y = - —x+4, y=2x-6, 则点A、B的坐标分别为（8, 0）、（0, 4）;

（2）设点 E （ m -亍m+4，点 F （ m, 2m- 6）,

当以。R E、F为顶点的四边形是平行四边形时， 则 EF= OB 即 | —二m+4— 2m+6|=4, 到/曰 12 .28 28 斛得： m=--或-;

5

5

（3）①当AB是菱形的一条边时，

则 AP= AB=的2十产4

店,

则点 P 的坐标为（8+475, 0）或（8-4/5, 0）或（-8, 0）, 则点 Q （4,店，4）或（-4-历,4）- 4）;

②当AB是菱形的对角线时， 设点 P（m 0）,点 Q （s, t）, 由中点公式得：8= m+s, 4 = t…①，

由菱形性质知： PA= PB得：（m- 8） 2=m2+16…②， 联立①②并解得：t = 4, s = 5, 故点 Q (5, 4),

综上，点Q (4、氐4)或(-气月，4)或(5, 4)或(0, - 4).

5.【解答】解：(1)证明：二•四边形 OABa矩形，

或（0,

，AB= OC /B=/AOC= 90° , ・•.C况 OC= AB, / A N AOC B B,

又 / CED= /ABE

△ CD® △ ABE (AAS ,

• .CE= AE;

(2) ••• B (8, 4),即 AB= 4, BC= 8. ・ ,・设 CE= AE= n,贝U BE= 8-n,

可得(8 - n) 2+42= n2, 解得：n=5,

・ •E (5, 4);

(3)设点C在水平方向上向左移动 m个单位，则在垂直方向上向上移动了则点C'坐标为(-m, 4 .°m), 则••・四边形DD' C' C为菱形，

・ ••CC 2=(-0]) 2+ (―m) 2= —n2 = CD2

= 16,

2 4

故点C'的坐标为(一姿，4上5 \")或(理4-电5).

5 6.【解答】解：(1)将 C (4, 2)代入 y=kx-6, y= --1-x+b

得：2= 4k-6, 2 =—— X 4+b,解彳导:k= 2, b= 4 ，直线 l i: y = - -^-x+4,直线 12: y = 2x - 6 在 y = - -x+4 中，令 x= 0,得 y = 4, B (0, 4) 令 y= 0,得 0=-母x+4，解得：x= 8, ■. A (8, 0);

(2)设 E (m, — —m+4),贝U F (m, 2m- 6),

kil

如图 1,当 0WmC 4 时，EF= 10Vlr， ••・四边形OBEF^平行四边形

.•.OB= EF即 4= 10苴可，21r 解得：m=^~,

5

如图2,当m>4时， ••.四边形OBF比平行四边形

.•.OB= FE,即 4=—2

mi- 10,解得：mi=—,

5

m=-3^5 ■或 m=^s

5

当个单位,

5 5

(3)存在.如图3,

①当以AB为边时， ••点 A (8, 0) , B (0, 4)

AB=

+4、= 4'区

• •・以P、Q A、B为顶点的四边形是菱形 .•.AP= AB= 4 ,

• .P （8-4运,0）或 P （8+4收，0）, • •・Q （- 4心 4）或（4西，4）,

当Q与B关于原点对称时，Q （0, - 4）也存在满足条件的菱形, ②当以AB为对角线时，

设对角线的交点为 M则M （4, 2）, 因此设 AP= BP= x,则 OP= 8-x,

• •・在 RtABOF^, 4之+ （8 - x） 2 = x2,

解得：x= 5,

• .P （3, 0）,则 Q （5, 4）,

综上所述，符合条件的 Q的坐标为：Q （-烟,4）或（4巧，4）或（5, 4

）或0, - 4）（.

图

%

7 .【解答】解:

.•.AG= OA— OG= OA- BC= 6-3=3,

在Rt^ABG中，由勾股定理可得 AE2=AC2+BG,即• •.OO 6,

即三）2= 32+BG,解得BG= 6, 之

（••B (3, 6);

(2)由。氏5可知D (0, 5), ,. B (3, 6), O± 2BE • •E (2, 4),

设直线DE的解析式是y=kx+b

\\ _J_

把 D (0, 5) E (2, 4)代入得｛ - 2 ,

>=5

「•直线DE的解析式是y=-Lx+5;

2

(3)当OM菱形的边时，则 MNk OD= 5,且MN/ OD • •,M在直线DE上， • ••设 M (t, - -i-t+5 ),

①当点N在点M上方时，如图 2,则有。阵MN

• . OM= t2

+ ( - -1+5 ) 2,

12+ (—^t+5 ) 2=52,解得 1=0或1=4,

当t = 0时，M与D重合，舍去，

.•.M (4, 3), • •NI (4, 8);

②当点N在点M下方时，如图 3,则有 MD= OD= 5,

•

1- 12

+(—yt+5 — 5) 2= 52,解得 t = 2V^或 t = - 2。当t = 2、工时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去,

，M (- 2祈，立+5), • ••N (- 2遍，的)；

5, j-l

图3

当 OD为对角线时，则 MN^直平分 OD

• ・•点M在直线y=2.5上，

在 y = - -^-x+5 中，令 y = 2.5 可得 x=5,

• •.M (5, 2.5 ), . Ml N关于y轴对称, • •・N (- 5, 2.5 ),

综上可知存在满足条件的点

2

N,其坐标为(4, 8)或(-5, 2.5)或(- /，艮.

8.【解答】解：(1) x - 3x+2 = (x—1) (x —2) =0, xi = 1, x2= 2, • .OAO OG

• •.OA^ 2, OG= 1, .•.A (—2, 0), C (1, 0).

(2)将 C (1, 0)代入 y=- x+b 中，

得：0= - 1+b,解彳导:b= 1,

• •・直线CD的解析式为y=-x+1.

• ・•点E为线段AB的中点，A (-2, 0), B的横坐标为0, .••点E的横坐标为-1. • ・・点E为直线CD上一点， • ・E (T, 2).

设直线AB的解析式为y=kx+b,则有 —2kW

。

解得

b=4

，直线AB的解析式为y=2x+4.

(3)假设存在，设点 M的坐标为(m, - m+1),

以点B, E, M, N为顶点的四边形是菱形分两种情况(如图所示)

：

①以线段BE为边时，丁 E(- 1, 2), A (-2, 0), E为线段AB的中点, ••B (0, 4),

BE=

二 A\"^V?[+4]=亦，

••・四边形BEMN^菱形，

EM= BE或 BE= BM

当 EM= BE

时，有 EM^Cml 产+(二十 1_2。=昵=二, 解得：m=—2＞上2 ,m2二土运，

2

，M (及质,22

+巫或2—叵),

2

2

2

- B (0, 4), E (— 1, 2), - ・•N (-2 运，4+巫)或(圾，4-逗4 );

2

2

当BE= BM寸，有BM

=dc『o ) 十1一4)tBE

=可向十1 )2十(』+[_2产,

解得：m3= - 1 (舍去)，m=- 2,

- •・M (- 2, 3), - B (0, 4), E (— 1, 2), • .N (- 3, 1);

②以线段BE为对角线时，MB= ME

- J(nr+1 )2+(=皿+1-2) * = \\Zm2+(-in+l-4) 2'

- B (0, 4), E (— 1, 2),

，N (0T+工，4+2 --),即

2

2 综上可得：坐标平面内存在点

).

N,使以点B, E, M N为顶点的四边形是菱形，点

N的坐标为(-士电,4+

2

…一 一 ，… 旦 一，

9.【解答】解：(1)二•直线y=-±x+b过点A (8, 0), 4 ，0=-6+b,解得：b=6,

・・・直线AB的解析式为 y= - -x+6.

4

-3]

令 y = — —\"x+6 中 x=0,贝U y = 6,

4

.・•点B的坐标为(0, 6). 故答案是：(0, 6).

(2)依照题意画出图形，如图 3所示.

. A (8, 0), B (0, 6),且点 C为 AB的中点, .•.C (4, 3).

设直线OC勺解析式为y=kx (kw0),

… … 工 则有3=4k,解得：k = q,

4

「•直线OC勺解析式为y = -^x.

4

•・•点P在直线AB上，点Q在直线OC上，点P的横坐标为 m, PQLx轴,

当mK 4时，d = ”一” - 一6

+6m+

当I

no 4 时，d= —nn-(- 3m+6 = — mi- 6.

-1-ni+6 (nrC4)

(nC>4.)

(3)假设存在，设点 P的坐标为(n, - —n+6) (0vnv8).

4

• ・•点P在第一象限，

• •・以O, B, P, N为顶点的四边形为菱形有两种情况： ①以BP为对角线时，如图4所示. • •・四边形 OPN斯菱形，B (0, 6),

OP= OB= 6 = Jr?+(1n+6)2,

解得：n=±碧或n = 0 (舍去)，

25

，点P

学丝25 )，25

i^25 +0- 25 0, 6+圭^- 0),即25 (型M -l^L)25

，点N

②以OP为对角线时，如图5所示.

PN// OB PN= ON= OB= 6. • .MN= PN- P隹

在直角^ 2

ONM^ , OM+MN = ON,即 m+ (二m)

2

=6.

4

解得 此时

③当OB为对角线时，N ( - 4, 3).

综上得：当点P在线段AB(点M不与A B重合)上运动时，在坐标系第一象PM内存在一点，…，,…一，，…〜 ，一一，

11441 192

, 124 I1R , P, N为顶点的四边形为菱形， N点坐标为(3背，耳含)或(等，-苦)或N(- 4, 3).

25

25 I 5

5

N,使得以Q B,

2

10.【解答】解：(1) X- ( J5+1) x+/3=0, (x - \\/-3) ( X - 1 ) = 0 ,

解得X1 =芯，X2= 1 ,

•. OA< OB

. .OA= 1, OB= .

••A (1, 0), B (0,心)， .•.AB= 2,

又「 AB: AC= 1 : 2,

.•.AC= 4, .•.C (—3, 0);

(2) ••• AB= 2, AC= 4, BC= 243,

.•.AE2+BC2=AC2

，

即/ ABC= 90° ,

由题意得：CMk t , CB= 2/j.

①当点M在CB边上时，S= 2V3- t （02/3）；

（3）存在.

①当AB是菱形的边时，如图所示，

在菱形APQB中，Q* AO= 1,所以Q点的坐标为（-1, 0）, 在菱形ABRQ中，AC2=AB= 2,所以Q点的坐标为（1,2）, 在菱形ABBQ中，AQ=AB= 2,所以Q点的坐标为（1, -2）, ②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形

APBQ,

设菱形的边长为 x,则在 Rt^ARO中，AR2

= AC2+P4O2,即 x2

=12+ 11.

【解答】解：（1）在直角△ OAC中，tan / AC氏丹 =.

・•・设 OA= V；>,则 OC= 3x,

根据勾股定理得：（3x） 2+ （心）2=AC2, 即 9x2

+3x2= 144,

解得：x=2\\j医.

故C的坐标是：（6J& 0）, B的坐标是（6年，6）;

J3 - x） 2

,解得 x=2Zl\" ,

（（2）直线AC的斜率是：-

则直线DE的斜率是：

F是AC的中点，则F的坐标是（3J1, 3）,设直线DE的解析式是y=J&x+b,

贝U 9+b =3,解彳导:b= - 6, 则直线DE的解析式是：y = V3x- 6;

(3) OF= yAC= 6,

•••直线DE的斜率是：V3

・••DE与x轴夹角是60° ,

当FM是菱形的边时（如图 1）, ON// FM 则/ NOC= 60° 或 120° .

当/ NOC= 60° 时，过 N作 NGLy 轴，则 NG= ON? sin30 ° = 6X—= 3,

OG= ON? cos30 ° =6X 当=3jl,则 N 的坐标是（3, 3）；

当/ NOC= 120°时，与当/ NOC= 60°时关于原点对称，则坐标是（- 当OF是对角线时（如图 2）, MN关于OF对称.

•••F的坐标是（36,3）, ・ ./ FOD- / NOF= 30° ,

在直角^ ONH^,。用

3, ON=

作NL, y轴于点L.

在直角^ ONL中，/ NOL= 30° , 则 NL= =ON=

6,

2OL= ON? cos30 ° = 2詹

XT

当DE与y轴的交点时M这个时候N在第四象限， 此时点的坐标为：（乳吗，-3）.

则N的坐标是：（3 6, -

3）或（3, 3、底或（-3, - 3北）或（\\1~3, 3

3, - 3值）;）.

由 CE+BE= BC,即

Q

/图1

C Jt

12.【解答】解：(1)由△ AO。△ COB 可得 OC = OA< OB= 36, .•.OG= 6

又•.•点C在y轴的正半轴上， .・•点C的坐标是(0, 6);

(2)过点D作D已BC于点E.设DB的长为 m

在 Rt^DEB中,DE= DE?sinB=m? 在 Rt^DEC中，/ DCE= 45° ,于是

— =^mmLB> BE= DB? cosB=2^i AB 5 5

CE= DE=

m

5

力 5 m+^m= 3d 5,解得 m= 5

5

5

又由OA>OB知点D在线段OA±, OB= 3,所以OD= 2,故点D(-2, 0);

设直线l的解析式为:

y= kx+b,把 C (0, 6)和 D ( — 2, 0)代入 y= kx+b 中,

故直线l的解析式为：y= 3x+6;

(3)①取AB的中点 F ( - 4.5 , 0),过点F作BC的平行线交直线l于点PI,连接CF.

易知 S/\\ PIBC= SA FBC= JSA ACB, ，点PI为符合题意的点.

直线PiF可由直线BC向左平移BF个单位得到（即向左平移 7.5个单位）

而直线BC的解析式为y=-2x+6,

即直线PiF的解的式为y= - 2 （x+7.5 ） +6即

y = - 2x — 9,

产-2工-9 由

¥=取十6

得点 Pi (-3, - 3)

②在直线l上取点 B使CB=CP,此时有 S-2BC=&

P1BC=

，点P2合题意.

由CR=CR,过P点作P符

i点作PiMMQ垂足为 M 过 B2NI± NQ垂足为 N,由CB=CP易知 MC= NC

可得点P2的坐标为(3, i5), •••点P ( - 3, - 3)或P (3, i5)可使S\"B

「

S ABC；

（4）①当OC是菱形的对角线时（如图i所示），OC的中点的坐标是（0, 3）,则把y=3代入l的解析式得: 3x+6 = 3,

解得：x = - i.

则M的坐标是（-i, 3）, N的坐标是（i, 3）;

2

②当CM^菱形的对角线时（如图 2所不）,此时MO= CO设M2的坐标为（m\\ 3m+6）,所以m+ （3m+6）=

62

,解得 mi= —,则 M （—, —^7—）,又 MNb // OC且 M>N2= OC 易知 N2 （ —,春）；

③当OC^ CM匀为菱形的边时，此时 MN3=CO设M的坐标为（m 3m+6）,所以m2+ （3m+6- 6） 2=62,解 /曰 32

综上所述，N的坐标是（1, 3）或（-普，，）或（笔°，

13.【解答】解：（1） OA OB的长x2 —12x+32 = 0的两根，OA< OB

・•.OA= 4, OB= 8,点 A 坐标为（0, 4）,点 B 坐标为（8,

0）,

又••・四边形ABCD^平行四边形,

，可得点C的横坐标等于点 B的横坐标，点C的纵坐标等于点 A的纵坐标的相反数, 故点C的坐标为（8, - 4）, 设直线AC的解析式为：y = kx+b,则, 解得:

8k-H>=-4 ,b=4

k=-l

b-4

故直线AC的解析式为：y=-x+4;

（2）由（1）可得OB= 8,根据平行四边形的性质可得点 / OAD= Z ODA= 45° , AD= 4\\'

2,

①当点P在线段AD上时，此时tv4a;

即 OA= OD

D坐标为（4, 0）,

过点P作PH OA PH OB则可得 AP= t , 在RTA AEP中，•・•点P在直线AC上， .••点P的纵坐标为：- 当t+4，

此时 S»A OPD— —Otx P 纵坐标=8 -赤(t<4&);

②当点P在射线DC上时，此时t >4/^

PD= AP- AD= t - 4-/2,

在 RTA PDW, PM^ DPcosZ DP阵 DPX^=^t-4,

2 2

此时 SAOP- -,-OtX P纵坐标= V2t - 8 （t > 4如）；

(3)存在符合题意的点 N的坐标.

*t ,即点P的横坐标为EP=

①当 AB= AM时，在 RT-A MA毋,MH= AMcos/ MAH AMcos/ ADO= 2/15, 故我M的坐标为(-2JU 4+2%领)， 又••• MN¥行且相等AB

设点 N坐标为(x, y),贝^ ( x+0, y+4) = (- 2、/1工+8, 4+27T5+0)

• .x = 8 - 2\\T10, y = 2,730,

.••点N的坐标为(8-2,415, 2百&. ②当BM= AB时，

P4

.V

设点M坐标为(x, - x+4),点N坐标为(a, b),

• •・四边形 ABMN^菱形，点 A (0, 4),点 B (8, 0), • 1• (x+0, - x+4+4) = ( a+8, b+0),

a= x — 8, b= — x+8,即点 N坐标为(x — 8, — x+8),

A+ 2/U), 又「 BM= AB= 4 ,二，

小丁8）2十（一翼+4-0）2=气门' 解得：x=12或x=0,

故此时点N的坐标为（4, - 4）或（0, 4）;

③当AB为对角线时，

设点M坐标为（x, - x+4）,则点N坐标为（8-x, x）, •.此时 AM= AN,

即可得：i+（-1+4-4） =，软厂0）,十］工⑷ 解得：x

则此时点N的坐标为（

14

3

综上可得符合题意的点 N的坐标为（8 - 2-/1Q, 2/10）

14.【解答】解：（1）过点B作BF, x轴于F

在Rt^BCF中

・. / BCO= 45° , BC= 12 .'： .•.CF= BF= 12 •的坐标为(-18, 0) .•.AB= OF= 6

.・•点B的坐标为(—6, 12).

(2)过点D作DGLy轴于点G, 1. AB// DG

2,

或（0, 4）或（4, - 4）或（10 ); 3

. C

9 匹OA 3=1，

AB= 6, OA= 12,

OB ，DG= 4, OG= 8, ••D (- 4, 8), E (0, 4)

设直线DE解析式为y=kx+b (kw0)

，直线DE解析式为y = - x+4.

(3)结论：存在.

设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E (0, 4), F (4, 0), OE=。已4, EF= 4示，有四个菱形满足题意. ①菱形OEPQ,此时OE为菱形一边.

则有 P1E= P1Q = OE= 4, P1F=EF— RE=4&-4.

易知△ PiNF为等腰直角三角形，・•. P1N= NF= 峥PF=4-2用； 设 PiQ 交 x 轴于点 N,则 NQ= P1Q—P1N= 4- (4 - 2,/2) =2/2, 又 ON= OF- NF= 2V2,

Q (2-厄-2/2)；

②菱形OEPQ,此时OE为菱形一边.

此时Q与Q关于原点对称，，Q ( - 2/2, 2、回； ③菱形OEGP3,此时OE为菱形一边.

此时P3与点F重合，菱形 OEGP3为正方形，，Q (4, 4); ④菱形OPEQ,此时OE为菱形对角线. 由菱形性质可知，P4Q为OE的垂直平分线，

由OE= 4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式 y=-x+4得横坐标为2,则P4 (2, 2), 由菱形性质可知，P4、Q关于OE或y轴对称，，Q (-2, 2). 综上所述，存在点 Q使以。E、P、Q为顶点的四边形是菱形；

点 Q的坐标为：Q (2/2, — 2叵,Q ( — 2/2, 2n), Q (4, 4), Q (― 2, 2).

历. 如答图2所15.【解答】解：（1） AEl= 2OC=d/G .•.0K+0g=AE2=（6^）2

• . OA+OB= 2m+6 OA 0B= 2m,

，_

___ 2

__

__ __

（OA+OB - 20AX 0B= 180,

即（2m+⑥ 2

- 4ni= 180,

m= 6,

即方程为 \\2 - 18x+72 = 0,

• . X1 = 12, X2 = 6, • . 0A< OB .•-0A= 6, 0B= 12.

（2）过 C作 CML OA于 M,过 D作 DNL OA于 N,

. CM// OB

=180, 2 .,ICM=AC=M=l, Ofi AB OA 2

• . O上 6, OB= 12, • .CW 6, AW 3, O阵 3, • •C (3, 6), • .OD= 2CD

,,DNCM OC OM 3=OD = ON=2?

，Dg 4, ONk 2, • D (2, 4),

设直线AD的解析式是y= kx+b ,

• A (6, 0),

代入得：产依\"

1. 4=2k-bb

解得：k = - 1 , b= 6, 「•直线AD的解析式是 y=-x+6.

(3)设直线y= - x+6交y轴于F,

把 x= 0 代入 y = - x+6 得：y = 6,

・•.F (0, 6), OF= 6= OA

由勾股定理得：AF= 6 分为两种情况：

①以OA为一边时，如图，共有 3个点，如图，(P' )、Q为顶点的四边形是菱形， ,. A (6, 0), O之 OA .•-OP= 6= PR= PT,

・•・此时Q的坐标是(6, 6),

过 P'彳P' hl± OA于 H,

AP = 6,

由勾股定理得：P' H= AH= 3 '：!,

K (3匹-3厄,

AP^ OA= AP' =6, RT// OA// KQ 点Q在点T、K点时，以Q A、P

K点在直线AD上关于。点对称的点（—3^2, 3、叵）也可以.

②以OA为对角线，作 OA的垂直平分线交 AD于P,交OA于M,在OA的下方，MP= MQ以。A P、Q为顶 点的四边形是菱形，

把 x= 3 代入 y = - x+6 得：y = 3, 此时Q的坐标是（3, - 3）,

综合上述：P是直线AD上的点，在平面内存在点 是（6, 6）或

⑶技,3 3^2）或（-3近,3/2）或（3, - 3）.

Q,使以。A、P、Q为顶点的四边形是菱形，点 Q的坐标

16.【解答】解：(1) ••• DC是AB垂直平分线，，G点为0B的中点,

(2)过点C作Cl-Lx轴于点H, < RtAABC^, Z ABO= 30 ° , OB=

又•「CD垂直平分AR

• .BC=2,在 R9CBH中，Cbk^-BC=1 , B+Vl, •

・ O+ ，

T),

0A垂直AR

DGO= 60° ,

OD=—二 tan60 3 ••D (0, 4),

设直线CD的解析式为：y= kx+b, 则卜上哀,

Il 4

解得：尸飞

-

二b

• -y= k/_3x+4；

(3)存在点a巳使彳导以。D P、Q为顶点的四边形是菱形.

①如图，当OD= DQ= Q%024时，四边形 DOP@菱形，

设 QP交 x轴于点 E,在 Rt^OEP中，OP= 4, / OPP 30° ,

，O『2, PE= 2、网, ・•.Q (2, 4- 2、⑶

②如图，当 OD= DQ= QP= OP= 4时，四边形 DOP@菱形， 延长QP交x轴于点F,在Rt^POF中，OP= 4, / FPO= 30

.•.OF= 2, PF= 2A/3, .•.QF= 4+2 ,二 ・•・Q ( - 2, 4+2^3).

:“

J \\),

A

③如图，当PD- DQ= Q0= O2点正

•••MO 二 DQ=_^^ 2 3

，Q (\"恒,2). 3

: A

.v \\e

④如图，当 0D- 0Q= QP= DP= 4时， 设PQ交x轴于点N,此日NO NOQ=/ 在 RtAONCfr, NQ= -1-OQ= 2,

― \\k>

A Q

• .ON= 2、J~2, . Q (2Va, - 2);

:时，四边形 DOPQ^菱形，在四边形DOQ耽菱形，

ODQ= 30° ,

RtADQhyfr, / MDR 30° ,

综上所述，满足条件的点 Q共有四点：（2, 4-监）,（-2, 4+鸣）， （旭,2）, （嗔，-2）.

£

0vr ’ A

17.【解答】解：（1）由已知得A点坐标（-4, 0）, B点坐标（0, .OB=.二 OA / BAO= 60° ,

•

••/ ABC= 60° , •

•.△ABC是等边三角形，

•

.OC= OA= 4,

•

•.C点坐标（4, 0）,

设直线BC解析式为y = kx+b,

L

14k+b=C

U=W3，

.♦•直线BC的解析式为y=-VSx+Ws；

2）当P点在AO之间运动时，作 QHLx轴.

OE CB' . QH 2t_

•

.QH= . ：'t

• SA APQ=

■yAP? QH= -^j-t? V3t =^t2 （0V t <4）,

同理可得 SA APQ=-yt? （873-V3 t）

=-乌针+南t（4Wt V8）;

(3)存在.

SAAP(Q=

-yt?( 8斤比l巾

=-卑/十既1=-毕(t -4)2+8/3， 2 2

后）, 4・•・当t=4时，△ APQ勺面积取得最大值，

. AO^ 4, BC= 8,所以此时 Q点和B点重合，

①当AQ是菱形的边时，如图所示，

M, M2和M3所对应的菱形，

在菱形AMNQ中，N* AO= 4,所以N点的坐标为(4, 0), 在菱形AQMN2中，AN2=AQ= 8,所以N2点的坐标为(-4, 8), 在菱形AQMN3中，AN=AB= 8,所以N点的坐标为(-4, -8), ②当AQ为菱形的对角线时，如图所示的菱形 AMQN,

设菱形的边长为 x,则在 Rt^AMO中，AM2 = AO+MO2,即 x2=42+(4/3-x) 2,解得 x=的3 ,

所以冲(-4,芈■).

3

18 .【解答】解：(1)解方程x2-4x+3=0得xi= 1, X2=3.

依题意得点B的坐标是(-

(2)设

CE的直线解析式为 y = kx+b,把点C, M的坐标代入可得 得出CE的直线解析式为y = x- 3,

又因为直线CE±AC故直线AC的解析式为y=-x+3.

(3)存在.

Q (3, 3); Q2 ( . —; Q (---1 ); Q4 (― , ~

19 .【解答】解：(1)方程x2

- 18x+72=0,因式分解得：(x-6) (x-12) = 0,

解得：x1 = 6, x2= 12,即 OA= 6, OB= 12, 在直角三角形 OAB中，点C是斜边AB的中点，

.•.OG= AC= —AB.

2

作CE! x轴于点E.则CE// OB点C为中点，

・•.E为OA的中点，CE为△ OAB勺中位线， .•.OE= =OA= 3, CE= —OB= 6.

2

2

•••点C的坐标为(3, 6);

(2)作D。x轴于点F.

△ OFD^△ OEC \"==告，于是可求得 OF= 2, DF= 4.

.・•点D的坐标为(2, 4).

.

设直线AD的解析式为y=kx+b.

把 A (6, 0), D (2, 4)代入得 解得，

，直线AD的解析式为y=-x+6;

6k+b=0 2k+b=4

(3)存在.如图：分为 P在x轴上方和P在x轴下方两种情况, Q (- 3^2, 3^2) ； (1 分) Q2 (3V2, - 3-72); (1 分) Q (3, -3); (1 分) Q4 (6, 6).