数 学
(全卷满分:120分 考试时间:90分钟)
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.实数1,﹣1,﹣,0,四个数中,最小的数是( ) A.0
B.1
C.﹣1 D.﹣
2.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( ) A.C.
+
=
B.3x2y﹣x2y=3
D.(a2b)3=a6b3
=a+b
4.如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠BDC=50°,则∠FBE的度数是( )
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A.50° B.45° C.40° D.30°
5.若点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,则m的值是( ) A. B.﹣ C.1
D.﹣1
6.如图,在平行四边形ABCD中,AE=EB,AF=2,则FC的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
的所有整数解的和是( )
7.不等式组A.2
B.3
C.5
D.6
8.如图,AD、AC分别为⊙O的直径和弦,∠CAD=30°,B是AC上一点,BO⊥AD,垂足为O,BO=5,则CD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF=( )
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A. B.5 C. +2 D.3
10.如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b﹣1)x+c的图象可能是( )
A. B. C. D.
二.填空题(共4小题,每小题3分,计12分)
11.在半径为5cm的⊙O中,45°的圆心角所对的弧长为 cm. 12.比较大小:8cos31°
(填“>”,“=”,“<”).
13.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点O在坐标原点,边BO在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(﹣3,3
),反比例函数y=的图象与菱形对
角线AO交于D点,连接BD,当BD⊥x轴时,k的值是 .
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14.如图,线段AB=10,点P在线段AB上,在AB的同侧分别以AP、BP为边长
作正方形APCD和BPEF,点M、N分别是EF、CD的中点,则MN的最小值是 .
三.解答题(共11小题,计78分,解答应写出过程) 15.(5分)计算:(π﹣3.14)0+()﹣2﹣16.(5分)解方程:
+
=﹣1.
﹣2sin60°.
17.(5分)已知:如图,△ABC.
求作:直线MN,使MN经过点A,MN∥BC.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,注意描黑)
18.(5分)为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动
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的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)补全条形统计图.
(2)户外活动时间的众数和中位数各是多少?
(3)本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求?为什么? 19.(7分)如图,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连接EB、EC分别与AD相交于点F、G.求证:BE=CE.
20.(7分)有四张规格、质地相同的卡片,它们背面完全相同,正面图案分别是A.菱形,B.平行四边形,C.线段,D.角,将这四张卡片背面朝上洗匀后 (1)随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ;
(2)随机抽取两张卡片(不放回),求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率,并用树状图或列表法加以说明.
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21.(7分)光大路桥公司中标承包了一段路基工程,进入施工场地后,所挖路基的长度y(m)与工作时间x(天)之间的函数关系如图所示,请根据提供的信息解答下列问题:
(1)求y与x的函数关系式;
(2)预测完成1620m的路基工程,需要工作多少天?
22.(7分)如图,一条东西走向的笔直公路,点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置,点C表示电视塔所在的位置.小王在公路PQ南侧直线行走,当他到达点P的位置时,观察树A恰好挡住电视塔,即点P、A、C在一条直线上,当他继续走180米到达点Q的位置时,以同样方法观察电视塔,观察树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ,且公路的宽为60米,求电视塔C到公路南侧PQ的距离.
23.(8分)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F. (1)求证:BD=BF;
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(2)若CF=1, =,求⊙O的半径.
24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线W1:y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于A、B两点,点C是该抛物线的顶点.
(1)若抛物线W1与抛物线W2关于直线x=﹣1对称,其中,点C与点F,点E与点B,点D与点A是对应点,求抛物线W2的表达式.
(2)连接BC,在直线x=﹣1上找一点H,使得△BCH周长最小,并求出点H的坐标.
(3)连接FD,点P是直线x=﹣1上一点,点Q是抛物线W1上一点,若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,请求出符合条件的点Q的坐标.
25.(12分)问题探究:三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形. (1)如图1,△ABC中,AB=AC,正方形MNEF的顶点M、E在BC上,顶点N在AB上,请以点B为位似中心,作△ABC的内接正方形.(不写作法).
(2)如图2,△ABC中,BC=12,∠B=45°,AD⊥BC于点D,AD=8,请以点D为位似中心,作△ABC的内接正方形,并求出所作正方形的面积(不写作法).
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问题解决
(3)如图3,将(2)中的△ABC翻折得到四边形ABEC,对角线AE、BC相交于点D,请以点D为位似中心作正方形MNPQ,使得点M、N、P、Q在正方形ABEC的各边上.
要求:①写出作法,证明四边形MNPQ是正方形; ②求出正方形MNPQ的面积.
一.选择题
中考数学模拟测试卷(解析版)
1.实数1,﹣1,﹣,0,四个数中,最小的数是( ) A.0
B.1
C.﹣1 D.﹣
【考点】实数大小比较.
【分析】根据正数>0>负数,几个负数比较大小时,绝对值越大的负数越小解答即可.
【解答】解:根据正数>0>负数,几个负数比较大小时,绝对值越大的负数越小,
可得1>0>﹣>﹣1,
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所以在1,﹣1,﹣,0中,最小的数是﹣1. 故选:C.
2.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:从正面看易得主视图为长方形,中间有两条垂直地面的虚线. 故选A.
3.下列运算正确的是( ) A.C.
+
=
B.3x2y﹣x2y=3
D.(a2b)3=a6b3
=a+b
【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;约分;二次根式的加减法. 【分析】A:根据二次根式的加减法的运算方法判断即可. B:根据合并同类项的方法判断即可.
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C:根据约分的方法判断即可.
D:根据积的乘方的运算方法判断即可. 【解答】解:∵∴选项A不正确; ∵3x2y﹣x2y=2x2y, ∴选项B不正确; ∵
∴选项C不正确; ∵(a2b)3=a6b3, ∴选项D正确. 故选:D.
4.如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠BDC=50°,则∠FBE的度数是( )
,
,
A.50° B.45° C.40° D.30°
【考点】平行线的性质;垂线.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD,再根据平行线的性质,即可得出∠FBE的度数.
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【解答】解:∵DB⊥BC, ∴∠CBD=90°, ∵∠BDC=50°, ∴∠BCD=40°, ∵CD∥AB,
∴∠FBE=∠BCD=40°, 故选:C.
5.若点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上,则m的值是( A. B.﹣ C.1
D.﹣1
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值. 【解答】解:∵点A(﹣2,m)在正比例函数y=﹣x的图象上, ∴m=﹣×(﹣2)=1, 故选:C.
6.如图,在平行四边形ABCD中,AE=EB,AF=2,则FC的值为( ) 11 / 37
)
A.5 B.4 C.3 D.2
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】要求FC的长,只要能证明△AEF∽△CDF利用线段比就可以求出其长,▱ABCD中,DC∥AB,问题就得以解决. 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠CDE=∠AED,∠DCA=∠CAB, ∴△AEF∽△CDF, ∴AF:CF=AE:CD, ∵AE=EB, ∴AE=AB, ∴AE=CD, 即AE:CD=1:2, ∵AF=2, ∴CF=4, 故选:B.
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7.不等式组A.2
B.3
C.5
的所有整数解的和是( ) D.6
【考点】一元一次不等式组的整数解.
【分析】先求出不等式组的解集,再求出不等式组的整数解,最后求出答案即可.
【解答】解:
∵解不等式①得;x>﹣, 解不等式②得;x≤3,
∴不等式组的解集为﹣<x≤3, ∴不等式组的整数解为0,1,2,3, 0+1+2+3=6, 故选D.
8.如图,AD、AC分别为⊙O的直径和弦,∠CAD=30°,B是AC上一点,BO⊥AD,垂足为O,BO=5,则CD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
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【分析】在Rt△ABO中,由∠AOB=90°、BO=5、∠BAO=30°即可求出AB、AO的长度,根据AD为⊙O的直径可得出∠ACD=90°=∠AOB,再结合∠BAO=∠DAC即可得出△ABO∽△ADC,根据相似三角形的性质即可得出此题得解.
【解答】解:在Rt△ABO中,∠AOB=90°,BO=5,∠BAO=30°, ∴AB=2BO=10,AO=∴AD=2AO=10
.
=5
,
,代入数据求出CD,
∵AD为⊙O的直径, ∴∠ACD=90°=∠AOB, 又∵∠BAO=∠DAC, ∴△ABO∽△ADC, ∴∴CD=故选D.
9.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC,若点F是DE的中点,连接AF,则AF=( )
, =5
.
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A. B.5 C. +2 D.3
【考点】旋转的性质.
【分析】相办法把AF放入直角三角形当中,于是过点F作FH垂直AC于H,过点F作FG垂直CD于G,算出HF和AH即可求出AF.
【解答】解:如图,过点F作FH垂直AC于H,过点F作FG垂直CD于G,
由旋转的性质可知:CD=CA=6,CE=CB=4, ∵F为ED中点,
∴GF=CH=EH=2,HF=CG=GD=3, ∴AH=AC﹣CH=6﹣2=4, 由勾股定理可知:AF=故选B.
10.如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b﹣1)x+c的图象可能是( )
.
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A. B. C. D.
【考点】二次函数的图象;正比例函数的图象.
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,得出方程ax2+(b﹣1)x+c=0有两个不相等的根,进而得出函数y=ax2+(b﹣1)x+c与x轴有两个交点,根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+(b﹣1)x+c的对称轴x=﹣
>0,即可进行判断.
【解答】解:∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点, ∴方程ax2+(b﹣1)x+c=0有两个不相等的根, ∴函数y=ax2+(b﹣1)x+c与x轴有两个交点, 又∵﹣∴﹣
>0,a>0 =﹣
+
>0
>0,
∴函数y=ax2+(b﹣1)x+c的对称轴x=﹣∴A符合条件, 故选A. 二.填空题
11.在半径为5cm的⊙O中,45°的圆心角所对的弧长为 【考点】弧长的计算.
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π cm.
【分析】根据弧长公式L=【解答】解:L==π.
故答案为:π.
12.比较大小:8cos31° >
进行求解.
(填“>”,“=”,“<”).
【考点】锐角三角函数的增减性. 【分析】分别求出8cos31°与
的近似值,再比较即可.
≈5.9161,
【解答】解:∵8cos31°≈8×0.8572=6.8576,∴8cos31°>故答案为:>.
的.
13.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点O在坐标原点,边BO在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(﹣3,3
),反比例函数y=的图象与菱形对
.
角线AO交于D点,连接BD,当BD⊥x轴时,k的值是 ﹣12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;菱形的性质.
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【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E,由顶点C的坐标为(﹣3,3),可求
得OC的长,可得∠BOC=60°,又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点,边BO在x轴的负半轴上,可求得OB的长,且∠AOB=30°,继而求得DB的长,则可求得点
D的坐标,又由反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点,即可求得答案.
【解答】解:过点C作CE⊥x轴于点E, ∵顶点C的坐标为(﹣3,3∴OE=3,CE=3
,
),
∴∠BOC=60°, ∵四边形ABOC是菱形, ∴OB=OC=∵DB⊥x轴, ∴DB=OB•tan30°=6×
=2
, ),
=6,∠BOD=∠BOC=30°,
∴点D的坐标为:(﹣6,2
∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点, ∴k=xy=﹣12
.
.
故答案为:﹣12
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14.如图,线段AB=10,点P在线段AB上,在AB的同侧分别以AP、BP为边长
作正方形APCD和BPEF,点M、N分别是EF、CD的中点,则MN的最小值是 5 .
【考点】二次函数的最值;正方形的性质.
【分析】设MN=y,PC=x,根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式,求二次函数的最值即可. 【解答】解:作MG⊥DC于G,如图所示: 设MN=y,PC=x,
根据题意得:GN=5,MG=10﹣2x,
在Rt△MNG中,由勾股定理得:MN2=MG2+GN2, 即y2=52+(10﹣2x)2. ∵0≤x≤10,
∴当10﹣2x=0,即x=5时,y2最小值=25, ∴y最小值=5.即MN的最小值为5; 故答案为:5.
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三.解答题
15.计算:(π﹣3.14)0+()﹣2﹣
﹣2sin60°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】首先计算乘方和开方,然后从左向右依次计算即可. 【解答】解:(π﹣3.14)0+()﹣2﹣=1+﹣2=
16.解方程:
+
=﹣1.
﹣3
﹣2×
﹣2sin60°
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:(2+x)2+3(2﹣x)=x2﹣4 整理得:4+4x+x2+6﹣3x=x2﹣4,
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解得:x=﹣14,
经检验x=﹣14是分式方程的解.
17.已知:如图,△ABC.
求作:直线MN,使MN经过点A,MN∥BC.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,注意描黑)
【考点】作图—复杂作图;平行线的判定.
【分析】直接利用作一角等于已知角的方法得出MN的位置即可. 【解答】解:如图所示:MN即为所求.
18.为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
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(1)补全条形统计图.
(2)户外活动时间的众数和中位数各是多少?
(3)本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求?为什么? 【考点】条形统计图;扇形统计图;中位数;众数.
【分析】(1)根据锻炼时间为1小时的人数及其百分比求得总人数,再乘以0.5小时的百分比可得其人数,即可补全图形; (2)根据众数和中位数的定答可得;
(3)求出本次调查中学生参加户外活动的平均时间即可判断. 【解答】解:(1)被调查的学生总数为32÷40%=80人, ∴0.5小时的人数为80×20%=16人, 补全图形如下:
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(2)户外活动时间的众数时1小时,达到32人, 中位数为第40、41个数据的平均数,即
=1小时;
(3)本次调查中学生参加户外活动的平均时间是
=1.175小时,
∴符合要求.
19.如图,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连接EB、EC分别与AD相交于点F、G.求证:BE=CE.
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
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【分析】欲证明BE=CE,只要证明△EAB≌△EDC即可. 【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°, ∵EA=ED, ∴∠EAD=∠EDA, ∴∠EAB=∠EDC, 在△EAB和△EDC中,
,
∴△EAB≌△EDC, ∴EB=EC.
20.有四张规格、质地相同的卡片,它们背面完全相同,正面图案分别是A.菱形,B.平行四边形,C.线段,D.角,将这四张卡片背面朝上洗匀后 (1)随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是
;
(2)随机抽取两张卡片(不放回),求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率,并用树状图或列表法加以说明.
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【考点】列表法与树状图法;概率公式.
【分析】(1)判断菱形,平行四边形,线段及角中轴对称图形的个数,即可得到所求的概率;
(2)找出四个图形中中心对称图形的个数,列表得出所有等可能的情况数,找出两张都为中心对称图形的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)菱形,轴对称图形;平行四边形,不是轴对称图形;线段,轴对称图形;角,轴对称图形,
则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是; 故答案为:;
(2)列表如下:其中A,B,C为中心对称图形,D不为中心对称图形,
A ﹣﹣﹣ (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) ﹣﹣﹣ (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) ﹣﹣﹣ (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) ﹣﹣﹣
A B C D
所有等可能的情况有12种,其中都为中心对称图形的有6种, 则P=
21.光大路桥公司中标承包了一段路基工程,进入施工场地后,所挖路基的长度y(m)与工作时间x(天)之间的函数关系如图所示,请根据提供的信息解答下列问题:
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=.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)预测完成1620m的路基工程,需要工作多少天?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)本题图形分为两段(2,80)为转折点,①前段为正比例函数,②后段为一次函数;
(2)把完成1620m的路基工程代入(1)的函数关系式即可求出需要工作的天数.
【解答】解:(1)①当0≤x<2时,设y与x的函数关系式为y=kx(k≠0), ∵(1,40)在图象上, ∴40=k,
∴y与x的函数式为y=40x(0≤x<2);
②当x≥2时,设y与x的函数式为y=kx+b(k≠0), 依题意得解得
,
,
∴y与x的函数式为y=35x+10(x≥2), ∴y与x的函数关系式为y=
;
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(2)当y=1620时,35x+10=1620, 解得x=46.
答:需要工作46天.
22.如图,一条东西走向的笔直公路,点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置,点C表示电视塔所在的位置.小王在公路PQ南侧直线行走,当他到达点P的位置时,观察树A恰好挡住电视塔,即点P、A、C在一条直线上,当他继续走180米到达点Q的位置时,以同样方法观察电视塔,观察树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ,且公路的宽为60米,求电视塔C到公路南侧PQ的距离.
【考点】相似三角形的应用;相似三角形的性质.
【分析】作CE⊥PQ交AB于D点,利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比,即可求得电视塔到公路南侧所在直线的距离.
【解答】解:如图所示,作CE⊥PQ于E,交AB于D点, 设CD为x,则CE=60+x, ∵AB∥PQ, ∴△ABC∽△PQC, ∴
=
,即
=
,
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解得x=300, ∴x+40=340 米,
答:电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是340 米.
23.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F. (1)求证:BD=BF; (2)若CF=1,
=,求⊙O的半径.
【考点】相似三角形的判定与性质;切线的性质.
【分析】(1)连接OE,由AC为圆O的切线,利用切线的性质得到OE垂直于AC,再由BC垂直于AC,得到OE与BC平行,根据O为DB的中点,得到E为DF的中点,即OE为三角形DBF的中位线,利用中位线定理得到OE为BF的一半,再由OE为DB的一半,等量代换即可得证;
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(2)根据(1)中的结论,再根据锐角三角函数和三角形相似的知识即可求出圆的半径长.
【解答】(1)证明:连接OE, ∵AC与圆O相切, ∴OE⊥AC, ∵BC⊥AC, ∴OE∥BC,
又∵O为DB的中点,
∴E为DF的中点,即OE为△DBF的中位线, ∴OE=BF, 又∵OE=BD, ∴BF=BD;
(2)解:设OA=3x,则AB=5x,BO=2x, ∴BD=4x, ∵CF=1,BD=BF, ∴BC=4x﹣1, ∵OE∥BC, ∴△AOE∽△ABC, ∴
,
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∵∴即
=,
, ,
解得,x=1.5, ∴2x=3,
即⊙O的半径是3.
24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线W1:y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于A、B两点,点C是该抛物线的顶点.
(1)若抛物线W1与抛物线W2关于直线x=﹣1对称,其中,点C与点F,点E与点B,点D与点A是对应点,求抛物线W2的表达式.
(2)连接BC,在直线x=﹣1上找一点H,使得△BCH周长最小,并求出点H的坐标.
(3)连接FD,点P是直线x=﹣1上一点,点Q是抛物线W1上一点,若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,请求出符合条件的点Q的坐标.
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【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求得点A、B的坐标,然后利用对称性可得到E、D的坐标,故此W2可看作是W1向左平移8个单位得到;
(2)连结BF交x=﹣1与H.然后求得直线FB的解析式,在求得当x=﹣1时,对应的y值,从而可得到点H的坐标;
(3)当DP为平行四边形的对角线时,设点P的坐标为(﹣1,a),Q(x,y),依据中点坐标公式可知Q(1,a﹣4),然后将点Q的坐标代入W1的解析式可求得a的值;当DP为平行四边形的边时.设点P的坐标为(﹣1,a),由PQ∥DF且PQ=DF可知点Q的坐标为(﹣3,a+4),然后将点Q的坐标代入W1的解析式可求得a的值.
【解答】解:(1)令y=0得:0=﹣x2+6x﹣5,解得x=1或x=5, ∴A(1,0),B(5,0). ∵点E与段B关于x=﹣1对称, ∴点E(﹣7,0). ∴AE=8.
∴W2可由W1向右平移8个单位得到.
∴抛物线W2的表达式为y=﹣(x+8)2+6(x+8)﹣5,即y=﹣x2﹣10x﹣21.
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(2)如图1所示:连结BF交x=﹣1与H.
∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4, ∴C(3,4).
∵点F与点C关于x=﹣1对称, ∴FH=CH,F(﹣5,4).
∴当点F、H、B在一条直线上时,HC+BH有最小值,即△BCH的周长最小. 设BF的解析式为y=kx+b,将点B和点F的坐标代入得:﹣,b=2.
∴直线BF的解析式为y=﹣x+2. 当x=﹣1时,y=∴H(﹣1,
,解得:k=
.
).
(3)当DP为平行四边形的对角线时,设点P的坐标为(﹣1,a),Q(x,y). ∵平行四边形的对角线互相平分,
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∴,,
∴x=1,y=a﹣4. ∴Q(1,a﹣4).
将点Q的坐标代入W1的解析式得:a﹣4=﹣1+6﹣5,解得a=4. ∴Q(1,0).
当DP为平行四边形的边时.设点P的坐标为(﹣1,a). ∵平行四边形的对边平行且相等, ∴PQ可看作由DF平移得到. ∴点Q的坐标为(﹣1﹣2,a+4).
将点Q的坐标代入W1的解析式得:a+4=﹣9+6×(﹣3)﹣5,解得a=﹣36. ∴Q(﹣3,﹣32).
综上所述,点Q的坐标为(1,0)或(﹣3,﹣32)时,以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
25.问题探究:三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形. (1)如图1,△ABC中,AB=AC,正方形MNEF的顶点M、E在BC上,顶点N在AB上,请以点B为位似中心,作△ABC的内接正方形.(不写作法).
(2)如图2,△ABC中,BC=12,∠B=45°,AD⊥BC于点D,AD=8,请以点D为位似中心,作△ABC的内接正方形,并求出所作正方形的面积(不写作法). 问题解决
(3)如图3,将(2)中的△ABC翻折得到四边形ABEC,对角线AE、BC相交于
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点D,请以点D为位似中心作正方形MNPQ,使得点M、N、P、Q在正方形ABEC的各边上.
要求:①写出作法,证明四边形MNPQ是正方形; ②求出正方形MNPQ的面积.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)如图1中,延长BF交AC于F′,作F′E′∥EF交BC于E′,作F′N′∥BC交AB于N′,作N′M′∥EF交BC于M′,正方形M′N′F′E′即为所求.
(2)如图2中,正方形MNEF的顶点M、F在BC上,且DM=2DF.延长DE交AC于E′,作E′F′⊥BC于F′,延长DN交AB于N′,作N′M′⊥BC于M′,正方形M′N′E′F′即为所求.设正方形M′N′E′F′的边长为x,由N′E′∥BC,推出△AN′E′∽△ABC,可得
=
,解方程即可.
(3)作正方形MNEF,使得MN∥AD,MN交BC于P,EF交BC于Q,且PN=PM,PD=2DQ,延长DE交AC于E′,延长DN交AB于N′,延长DM交BE于M′,延长DF交EC于F′,连接M′N′,N′E′,E′F′,F′M′,则四边形M′N′E′F′即为所求.设E′F′交BC于G,M′N′交BC于H.首先证明四边形M′N′E′F′是平行四边形,再证明有一个角是直角,邻边相等即可.
【解答】解:(1)如图1中,请以点B为位似中心,△ABC的内接正方形M′N′F′E′如图所示.
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(2)如图2中,以点D为位似中心,△ABC的内接正方形M′N′E′F′如图所示.
正方形MNEF的顶点M、F在BC上,且DM=2DF.延长DE交AC于E′,作E′F′⊥BC于F′,延长DN交AB于N′,作N′M′⊥BC于M′,正方形M′N′E′F′即为所求.
设正方形M′N′E′F′的边长为x, ∵N′E′∥BC, ∴△AN′E′∽△ABC, ∴∴x=
=
, ,
.
∴正方形M′N′E′F′的边长为
(3)如图3中,
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作正方形MNEF,使得MN∥AD,MN交BC于P,EF交BC于Q,且PN=PM,PD=2DQ,延长DE交AC于E′,延长DN交AB于N′,延长DM交BE于M′,延长DF交EC于F′,连接M′N′,N′E′,E′F′,F′M′,则四边形M′N′E′F′即为所求.设E′F′交BC于G,M′N′交BC于H. 由题意AB=AD=8,DC=4, ∴AD=2DC,
∵△BCE是由△ABC翻折得到,PN=PM,QE=QF, ∴根据对称性可知,E′F′∥AE∥M′N′, ∵EQ:DQ=3:2, ∴E′G:DG=3:2, ∵E′G:GC=AD:DC=2:1,
∴AE′:E′C=DG:GC=4:3,同理可证AN′:BN′=4:3, ∴AN′:BN′=AE′:E′C,
∴E′N′∥BC,同理可证M′F′∥BC,
∴四边形M′N′E′F′是平行四边形,易知∠M′N′E′=90°, ∴四边形M′N′E′F′是矩形, ∵EN∥E′N′,EF∥E′F′,
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∴EN:E′N′=DE:DE′=EF:E′F′, ∵EN=EF,
∴N′E′=E′F′,
∴四边形M′N′E′F′是正方形.设边长为a, ∵N′E′∥BC, ∴△AN′E′∽△ABC,
∴=,
∴a=
∴正方形M′N′E′F′的边长为
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