数 学
(全卷满分：120分 考试时间：90分钟)
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（ ） A．0
B．1
C．﹣1 D．﹣
2．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ） A．C．
+
=
B．3x2y﹣x2y=3
D．（a2b）3=a6b3
=a+b
4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠BDC=50°，则∠FBE的度数是（ ）
1 / 37
A．50° B．45° C．40° D．30°
5．若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（ ） A． B．﹣ C．1
D．﹣1
6．如图，在平行四边形ABCD中，AE=EB，AF=2，则FC的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
的所有整数解的和是（ ）
7．不等式组A．2
B．3
C．5
D．6
8．如图，AD、AC分别为⊙O的直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=（ ）
2 / 37
A． B．5 C． +2 D．3
10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为 cm． 12．比较大小：8cos31°
（填“＞”，“=”，“＜”）．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，3
），反比例函数y=的图象与菱形对
角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是 ．
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14．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长
作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
三.解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15．（5分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣16．（5分）解方程：
+
=﹣1．
﹣2sin60°．
17．（5分）已知：如图，△ABC．
求作：直线MN，使MN经过点A，MN∥BC．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，注意描黑）
18．（5分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动
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的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图．
（2）户外活动时间的众数和中位数各是多少？
（3）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？为什么？ 19．（7分）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：BE=CE．
20．（7分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后 （1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ；
（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．
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21．（7分）光大路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖路基的长度y（m）与工作时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）预测完成1620m的路基工程，需要工作多少天？
22．（7分）如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．
23．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF；
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（2）若CF=1， =，求⊙O的半径．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W1与抛物线W2关于直线x=﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W2的表达式．
（2）连接BC，在直线x=﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x=﹣1上一点，点Q是抛物线W1上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．
25．（12分）问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图1，△ABC中，AB=AC，正方形MNEF的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．
（2）如图2，△ABC中，BC=12，∠B=45°，AD⊥BC于点D，AD=8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）．
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问题解决
（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于点D，请以点D为位似中心作正方形MNPQ，使得点M、N、P、Q在正方形ABEC的各边上．
要求：①写出作法，证明四边形MNPQ是正方形； ②求出正方形MNPQ的面积．
一.选择题
中考数学模拟测试卷（解析版）
1．实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（ ） A．0
B．1
C．﹣1 D．﹣
【考点】实数大小比较．
【分析】根据正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小解答即可．
【解答】解：根据正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，
可得1＞0＞﹣＞﹣1，
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所以在1，﹣1，﹣，0中，最小的数是﹣1． 故选：C．
2．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线． 故选A．
3．下列运算正确的是（ ） A．C．
+
=
B．3x2y﹣x2y=3
D．（a2b）3=a6b3
=a+b
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；约分；二次根式的加减法． 【分析】A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可． B：根据合并同类项的方法判断即可．
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C：根据约分的方法判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可． 【解答】解：∵∴选项A不正确； ∵3x2y﹣x2y=2x2y， ∴选项B不正确； ∵
∴选项C不正确； ∵（a2b）3=a6b3， ∴选项D正确． 故选：D．
4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠BDC=50°，则∠FBE的度数是（ ）
，
，
A．50° B．45° C．40° D．30°
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD，再根据平行线的性质，即可得出∠FBE的度数．
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【解答】解：∵DB⊥BC， ∴∠CBD=90°， ∵∠BDC=50°， ∴∠BCD=40°， ∵CD∥AB，
∴∠FBE=∠BCD=40°， 故选：C．
5．若点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，则m的值是（ A． B．﹣ C．1
D．﹣1
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】利用待定系数法代入正比例函数y=﹣x可得m的值． 【解答】解：∵点A（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上， ∴m=﹣×（﹣2）=1， 故选：C．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AE=EB，AF=2，则FC的值为（ ） 11 / 37
）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】要求FC的长，只要能证明△AEF∽△CDF利用线段比就可以求出其长，▱ABCD中，DC∥AB，问题就得以解决． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED，∠DCA=∠CAB， ∴△AEF∽△CDF， ∴AF：CF=AE：CD， ∵AE=EB， ∴AE=AB， ∴AE=CD， 即AE：CD=1：2， ∵AF=2， ∴CF=4， 故选：B．
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7．不等式组A．2
B．3
C．5
的所有整数解的和是（ ） D．6
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可．
【解答】解：
∵解不等式①得；x＞﹣， 解不等式②得；x≤3，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤3， ∴不等式组的整数解为0，1，2，3， 0+1+2+3=6， 故选D．
8．如图，AD、AC分别为⊙O的直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
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【分析】在Rt△ABO中，由∠AOB=90°、BO=5、∠BAO=30°即可求出AB、AO的长度，根据AD为⊙O的直径可得出∠ACD=90°=∠AOB，再结合∠BAO=∠DAC即可得出△ABO∽△ADC，根据相似三角形的性质即可得出此题得解．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB=90°，BO=5，∠BAO=30°， ∴AB=2BO=10，AO=∴AD=2AO=10
．
=5
，
，代入数据求出CD，
∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD=90°=∠AOB， 又∵∠BAO=∠DAC， ∴△ABO∽△ADC， ∴∴CD=故选D．
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=（ ）
， =5
．
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A． B．5 C． +2 D．3
【考点】旋转的性质．
【分析】相办法把AF放入直角三角形当中，于是过点F作FH垂直AC于H，过点F作FG垂直CD于G，算出HF和AH即可求出AF．
【解答】解：如图，过点F作FH垂直AC于H，过点F作FG垂直CD于G，
由旋转的性质可知：CD=CA=6，CE=CB=4， ∵F为ED中点，
∴GF=CH=EH=2，HF=CG=GD=3， ∴AH=AC﹣CH=6﹣2=4， 由勾股定理可知：AF=故选B．
10．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
．
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A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣
＞0，即可进行判断．
【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点， ∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根， ∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点， 又∵﹣∴﹣
＞0，a＞0 =﹣
+
＞0
＞0，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣∴A符合条件， 故选A． 二.填空题
11．在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为 【考点】弧长的计算．
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π cm．
【分析】根据弧长公式L=【解答】解：L==π．
故答案为：π．
12．比较大小：8cos31° ＞
进行求解．
（填“＞”，“=”，“＜”）．
【考点】锐角三角函数的增减性． 【分析】分别求出8cos31°与
的近似值，再比较即可．
≈5.9161，
【解答】解：∵8cos31°≈8×0.8572=6.8576，∴8cos31°＞故答案为：＞．
的．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，3
），反比例函数y=的图象与菱形对
．
角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是 ﹣12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
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【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由顶点C的坐标为（﹣3，3），可求
得OC的长，可得∠BOC=60°，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB=30°，继而求得DB的长，则可求得点
D的坐标，又由反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵顶点C的坐标为（﹣3，3∴OE=3，CE=3
，
），
∴∠BOC=60°， ∵四边形ABOC是菱形， ∴OB=OC=∵DB⊥x轴， ∴DB=OB•tan30°=6×
=2
， ），
=6，∠BOD=∠BOC=30°，
∴点D的坐标为：（﹣6，2
∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点， ∴k=xy=﹣12
．
．
故答案为：﹣12
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14．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长
作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 5 ．
【考点】二次函数的最值；正方形的性质．
【分析】设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可． 【解答】解：作MG⊥DC于G，如图所示： 设MN=y，PC=x，
根据题意得：GN=5，MG=10﹣2x，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2=MG2+GN2， 即y2=52+（10﹣2x）2． ∵0≤x≤10，
∴当10﹣2x=0，即x=5时，y2最小值=25， ∴y最小值=5．即MN的最小值为5； 故答案为：5．
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三.解答题
15．计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣
﹣2sin60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算即可． 【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣=1+﹣2=
16．解方程：
+
=﹣1．
﹣3
﹣2×
﹣2sin60°
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（2+x）2+3（2﹣x）=x2﹣4 整理得：4+4x+x2+6﹣3x=x2﹣4，
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解得：x=﹣14，
经检验x=﹣14是分式方程的解．
17．已知：如图，△ABC．
求作：直线MN，使MN经过点A，MN∥BC．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，注意描黑）
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【分析】直接利用作一角等于已知角的方法得出MN的位置即可． 【解答】解：如图所示：MN即为所求．
18．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
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（1）补全条形统计图．
（2）户外活动时间的众数和中位数各是多少？
（3）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？为什么？ 【考点】条形统计图；扇形统计图；中位数；众数．
【分析】（1）根据锻炼时间为1小时的人数及其百分比求得总人数，再乘以0.5小时的百分比可得其人数，即可补全图形； （2）根据众数和中位数的定答可得；
（3）求出本次调查中学生参加户外活动的平均时间即可判断． 【解答】解：（1）被调查的学生总数为32÷40%=80人， ∴0.5小时的人数为80×20%=16人， 补全图形如下：
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（2）户外活动时间的众数时1小时，达到32人， 中位数为第40、41个数据的平均数，即
=1小时；
（3）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是
=1.175小时，
∴符合要求．
19．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：BE=CE．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【分析】欲证明BE=CE，只要证明△EAB≌△EDC即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵EA=ED， ∴∠EAD=∠EDA， ∴∠EAB=∠EDC， 在△EAB和△EDC中，
，
∴△EAB≌△EDC， ∴EB=EC．
20．有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A．菱形，B．平行四边形，C．线段，D．角，将这四张卡片背面朝上洗匀后 （1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是
；
（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明．
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【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）判断菱形，平行四边形，线段及角中轴对称图形的个数，即可得到所求的概率；
（2）找出四个图形中中心对称图形的个数，列表得出所有等可能的情况数，找出两张都为中心对称图形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图形；角，轴对称图形，
则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是； 故答案为：；
（2）列表如下：其中A，B，C为中心对称图形，D不为中心对称图形，
A ﹣﹣﹣ （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） ﹣﹣﹣ （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） ﹣﹣﹣ （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） ﹣﹣﹣
A B C D
所有等可能的情况有12种，其中都为中心对称图形的有6种， 则P=
21．光大路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖路基的长度y（m）与工作时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：
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=．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）预测完成1620m的路基工程，需要工作多少天？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）本题图形分为两段（2，80）为转折点，①前段为正比例函数，②后段为一次函数；
（2）把完成1620m的路基工程代入（1）的函数关系式即可求出需要工作的天数．
【解答】解：（1）①当0≤x＜2时，设y与x的函数关系式为y=kx（k≠0）， ∵（1，40）在图象上， ∴40=k，
∴y与x的函数式为y=40x（0≤x＜2）；
②当x≥2时，设y与x的函数式为y=kx+b（k≠0）， 依题意得解得
，
，
∴y与x的函数式为y=35x+10（x≥2）， ∴y与x的函数关系式为y=
；
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（2）当y=1620时，35x+10=1620， 解得x=46．
答：需要工作46天．
22．如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．
【考点】相似三角形的应用；相似三角形的性质．
【分析】作CE⊥PQ交AB于D点，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得电视塔到公路南侧所在直线的距离．
【解答】解：如图所示，作CE⊥PQ于E，交AB于D点， 设CD为x，则CE=60+x， ∵AB∥PQ， ∴△ABC∽△PQC， ∴
=
，即
=
，
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解得x=300， ∴x+40=340 米，
答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是340 米．
23．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若CF=1，
=，求⊙O的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．
【分析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；
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（2）根据（1）中的结论，再根据锐角三角函数和三角形相似的知识即可求出圆的半径长．
【解答】（1）证明：连接OE， ∵AC与圆O相切， ∴OE⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线， ∴OE=BF， 又∵OE=BD， ∴BF=BD；
（2）解：设OA=3x，则AB=5x，BO=2x， ∴BD=4x， ∵CF=1，BD=BF， ∴BC=4x﹣1， ∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴
，
29 / 37
∵∴即
=，
， ，
解得，x=1.5， ∴2x=3，
即⊙O的半径是3．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W1与抛物线W2关于直线x=﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W2的表达式．
（2）连接BC，在直线x=﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x=﹣1上一点，点Q是抛物线W1上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得点A、B的坐标，然后利用对称性可得到E、D的坐标，故此W2可看作是W1向左平移8个单位得到；
（2）连结BF交x=﹣1与H．然后求得直线FB的解析式，在求得当x=﹣1时，对应的y值，从而可得到点H的坐标；
（3）当DP为平行四边形的对角线时，设点P的坐标为（﹣1，a），Q（x，y），依据中点坐标公式可知Q（1，a﹣4），然后将点Q的坐标代入W1的解析式可求得a的值；当DP为平行四边形的边时．设点P的坐标为（﹣1，a），由PQ∥DF且PQ=DF可知点Q的坐标为（﹣3，a+4），然后将点Q的坐标代入W1的解析式可求得a的值．
【解答】解：（1）令y=0得：0=﹣x2+6x﹣5，解得x=1或x=5， ∴A（1，0），B（5，0）． ∵点E与段B关于x=﹣1对称， ∴点E（﹣7，0）． ∴AE=8．
∴W2可由W1向右平移8个单位得到．
∴抛物线W2的表达式为y=﹣（x+8）2+6（x+8）﹣5，即y=﹣x2﹣10x﹣21．
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（2）如图1所示：连结BF交x=﹣1与H．
∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4， ∴C（3，4）．
∵点F与点C关于x=﹣1对称， ∴FH=CH，F（﹣5，4）．
∴当点F、H、B在一条直线上时，HC+BH有最小值，即△BCH的周长最小． 设BF的解析式为y=kx+b，将点B和点F的坐标代入得：﹣，b=2．
∴直线BF的解析式为y=﹣x+2． 当x=﹣1时，y=∴H（﹣1，
，解得：k=
．
）．
（3）当DP为平行四边形的对角线时，设点P的坐标为（﹣1，a），Q（x，y）． ∵平行四边形的对角线互相平分，
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∴，，
∴x=1，y=a﹣4． ∴Q（1，a﹣4）．
将点Q的坐标代入W1的解析式得：a﹣4=﹣1+6﹣5，解得a=4． ∴Q（1，0）．
当DP为平行四边形的边时．设点P的坐标为（﹣1，a）． ∵平行四边形的对边平行且相等， ∴PQ可看作由DF平移得到． ∴点Q的坐标为（﹣1﹣2，a+4）．
将点Q的坐标代入W1的解析式得：a+4=﹣9+6×（﹣3）﹣5，解得a=﹣36． ∴Q（﹣3，﹣32）．
综上所述，点Q的坐标为（1，0）或（﹣3，﹣32）时，以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
25．问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图1，△ABC中，AB=AC，正方形MNEF的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．
（2）如图2，△ABC中，BC=12，∠B=45°，AD⊥BC于点D，AD=8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）． 问题解决
（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于
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点D，请以点D为位似中心作正方形MNPQ，使得点M、N、P、Q在正方形ABEC的各边上．
要求：①写出作法，证明四边形MNPQ是正方形； ②求出正方形MNPQ的面积．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）如图1中，延长BF交AC于F′，作F′E′∥EF交BC于E′，作F′N′∥BC交AB于N′，作N′M′∥EF交BC于M′，正方形M′N′F′E′即为所求．
（2）如图2中，正方形MNEF的顶点M、F在BC上，且DM=2DF．延长DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延长DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即为所求．设正方形M′N′E′F′的边长为x，由N′E′∥BC，推出△AN′E′∽△ABC，可得
=
，解方程即可．
（3）作正方形MNEF，使得MN∥AD，MN交BC于P，EF交BC于Q，且PN=PM，PD=2DQ，延长DE交AC于E′，延长DN交AB于N′，延长DM交BE于M′，延长DF交EC于F′，连接M′N′，N′E′，E′F′，F′M′，则四边形M′N′E′F′即为所求．设E′F′交BC于G，M′N′交BC于H．首先证明四边形M′N′E′F′是平行四边形，再证明有一个角是直角，邻边相等即可．
【解答】解：（1）如图1中，请以点B为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′F′E′如图所示．
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（2）如图2中，以点D为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′E′F′如图所示．
正方形MNEF的顶点M、F在BC上，且DM=2DF．延长DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延长DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即为所求．
设正方形M′N′E′F′的边长为x， ∵N′E′∥BC， ∴△AN′E′∽△ABC， ∴∴x=
=
， ，
．
∴正方形M′N′E′F′的边长为
（3）如图3中，
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作正方形MNEF，使得MN∥AD，MN交BC于P，EF交BC于Q，且PN=PM，PD=2DQ，延长DE交AC于E′，延长DN交AB于N′，延长DM交BE于M′，延长DF交EC于F′，连接M′N′，N′E′，E′F′，F′M′，则四边形M′N′E′F′即为所求．设E′F′交BC于G，M′N′交BC于H． 由题意AB=AD=8，DC=4， ∴AD=2DC，
∵△BCE是由△ABC翻折得到，PN=PM，QE=QF， ∴根据对称性可知，E′F′∥AE∥M′N′， ∵EQ：DQ=3：2， ∴E′G：DG=3：2， ∵E′G：GC=AD：DC=2：1，
∴AE′：E′C=DG：GC=4：3，同理可证AN′：BN′=4：3， ∴AN′：BN′=AE′：E′C，
∴E′N′∥BC，同理可证M′F′∥BC，
∴四边形M′N′E′F′是平行四边形，易知∠M′N′E′=90°， ∴四边形M′N′E′F′是矩形， ∵EN∥E′N′，EF∥E′F′，
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∴EN：E′N′=DE：DE′=EF：E′F′， ∵EN=EF，
∴N′E′=E′F′，
∴四边形M′N′E′F′是正方形．设边长为a， ∵N′E′∥BC， ∴△AN′E′∽△ABC，
∴=，
∴a=
∴正方形M′N′E′F′的边长为
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