中考数学重难点专题

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一元二次方程与二次函数

第一部分 真题精讲

【例1】

已知：关于x的方程mx23(m1)x2m30．

⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数y21mx3(m1)x2m1的图象关于y轴对称．

①求二次函数y1的解析式；

②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象

经过点(5，0)，且在实数范围内，对于x的同一个

值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数y3ax2bxc的解析式．

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【例2】 关

于

x的一元二次方程

(m21)x22(m2)x10.

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（

2）点

A1，1是抛物线

y(m21)x22(m2)x1上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【解析】：

【例3】

已知P（3,m)和Q（1，

m）是抛物线

y2x2bx1上的两点．

（1）求b的值；

（2）判断关于x的一元二次方程2x2bx1=0是

否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线y2x2bx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值． 【解析】

【例4】已知抛物线yax24ax4a2，其中a是常数．

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（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若a25，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【例5】

已知：关于x的一元二次方程

m1x2m2x10（m为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛

物线ym1x2m2x1总过x轴上的一个

固定点；

（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程

m1x2m2x10有两个不相等的整数根，

把抛物线ym1x2m2x1向右平移3个

单位长度，求平移后的解析式．

【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分 发散思考

【思考1】.已知关于

x的一元二次方程

2x24xk10有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x24xk1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

y12xbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,

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平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题. 【思考2】已知：关于

x的一元二次方程

x22(2m3)x4m214m80

（1）若m0,求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察. 【思考3】

已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式(kc)2b2abakc的值；

（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知

条件,从而无从下手导致失分. 【思考4】 . 已知：关于

x的一元二次方程

x2(2m1)xm2m20．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足

xm21x21m1，求m的值．

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出x1，x2,

发现x1，x2都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

解：（1）由题意得，168(k1)≥0． ∴k≤3． ∵k为正整数，

∴k1，2，3． （2）当k1时，方程2x24xk10有一个

根为零；

当k2时，方程2x24xk10无整数根；

当k3时，方程2x24xk10有两个非零的整数根．

综上所述，k1和k2不合题意，舍去；k3符

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合题意．

当k3时，二次函数为y2x24x2，把它的

图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为

y2x24x6．

（3）设二次函数y2x24x6的图象与x轴交

于A、B两点，则A(3，0)，B(1，0)． 依题意翻折后的图象如右思考一图所示．

当直线y12xb经过A点时，可得b32； 当直线y12xb经过B点时，可得b12．

由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为

12b32． 【思考2解析】 证

明：

=2(2m3)2-4（4m214m8）=8m4

m0, 8m40.

∴方程有两个不相等的实数根。 2）x=2(2m3)8m42=(2m3)2m1

∵方程有两个整数根，必须使2my 1为整数且m为整数． 8 又∵12＜m＜40， 6 4 252m181. 2 ∴ 5＜2m1＜9． 4A 2 O B 2 4 2x 令2m16,m3542. 6令2m17,m24. 8 令2m18,m632.

∴m=24 【思考3解析】

解：由 kx=x+2，得(k－1) x=2. 依题意 k－1≠0.

∵ (a－kc)20,

∴Δ=(a－kc)+4ac(k－1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,

∵ 抛物线y=ax－bx+kc与x轴有交点, ∴ Δ1=(－b)－4akc =b－4akc0. (b2－4ac)－(b2－4akc)=4ac(k－1). 由证法一知 k－1>0, ∴ b－4ac> b－4akc0.

∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

综上, 方程②有两个不相等的实数根.

2

22

2

22

2∴ x. 【思考一图】

k1∵ 方程的根为正整数，k为整数, ∴ k－1=1或k－1=2. ∴ k1= 2, k2=3.

（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc的图象经过点（1，0），

∴ 0 =a－b+kc, kc = b－a . ∴

2222222【思考4解析】 (kc)bab(ba)babb2ababab22（1）(2m1)4(mm2) akca(ba)aba2a2ab1. =

aba2 4m24m14m24m8 90

（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac.

由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.

( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a－b+kc =0, 故 b=a+kc.

Δ=b－4ac= (a+kc)－4ac=a+2kac+(kc)2－4ac = a－2kac+(kc)+4kac－4ac =(a－kc)2+4ac(k－1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k－1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k－1>0. ∴ 4ac(k－1)>0.

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2

2

2

2

2

不论m取何值，方程总有两个不相等实数根

（

2

）

由

原

方

程

可

得

x1，2(2m1)9(2m1)3 22 ∴ x1m2，x2m1 ∴ x1x23

m2 m1m2 ∴ 31

m1 又∵ x1x21 ∴ m4 － 经检验：m4符合题意． ∴ m的值为4．