第1课时两个计数原理习题和答案详解

解析 可分三类：

一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63种； 二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45种； 三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35种； ∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．

2．5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是( ) A．35 C．A32 答案 A

解析 第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1，2，3，4，5)，根据分步计算原理，不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35(种)．

b3．(2019·湖南衡阳模拟)若a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3，4}，则y＝x表示不同直线的

a条数为( ) A．8 C．14 答案 B

b

解析 若使表示不同的实数，则当a＝1时，b＝1，2，3，4；当a＝2时，b＝1，3；当a

ab

＝3时，b＝1，2，4；当a＝4时，b＝1，3.故y＝x表示的不同直线的条数共有4＋2＋3＋

a2＝11.

4．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A．5 C．6 答案 D

解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8，当公比为3时，可为1，3

3，9，当公比为时，可为4，6，9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，

2共有4×2＝8个．

B．4 D．8 B．11 D．16 B．53 D．C53 B．315种 D．153种

5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为( ) A．42 C．20 答案 A

解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．

6.(2019·山东日照模拟)将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( ) A．6种 C．18种 答案 A

解析 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后之相邻的空格可填6，7，8任一个，余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.

7．(2019·定州一模)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写办法有( )

A.288种 C．576种 答案 C

解析 依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576种．

8．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1B．204 D．920

B．144种 D．96种 B．12种 D．24种 B．30 D．12

解析 当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．

9．从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( ) A．56 C．53 答案 D

解析 在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个． 10．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( ) A．1 205秒 C．1 195秒 答案 C

解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍．而所有的闪烁共有A55＝120个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为5秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是120×(5＋5)－5＝1 195秒．

11．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( ) A．32个 C．36个 答案 A

解析 先把数字分成5组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个这样的子集．

12．(2019·衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________． 答案 182

B．34个 D．38个 B．1 200秒 D．1 190秒 B． D．52

解析 甲、乙中裁一人的方案有C21C83种，甲、乙都不裁的方案有C84种，故不同的裁员方案共有C21C83＋C84＝182种．

13．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线． 答案 22

解析 分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故5×4＝20种． 所以可以表示22条不同的直线．

14．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个． 答案 162

解析 一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数

1 有9×9＝81个，另外

2 × × × × 1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个． 15．(2019·东北三校联考)在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为______． 答案 20

解析 依题意可知：

当a＝1时，b＝5，6，两种情况； 当a＝2时，b＝5，6，两种情况； 当a＝3时，b＝4，5，6，三种情况； 当a＝4时，b＝3，5，6，三种情况； 当a＝5或6时，b各有五种情况． 所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20种情况．

16.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 答案 180

解析 按区域分四步：

第一步，A区域有5种颜色可选； 第二步，B区域有4种颜色可选； 第三步，C区域有3种颜色可选；

第四步，D区域也有3种颜色可选．

由分步乘法计数原理，可得共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．

17．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球． (1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？ (2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？ 答案 (1)11 (2)4

解析 (1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个，或B，C袋中各取一个．

∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．

(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个． ∴应有1＋3＝4种．

18．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？ 答案 36个

x≤y≤11，

解析 设较小的两边长为x、y且x≤y，则x＋y>11，

x、y∈N*.当x＝1时，y＝11； 当x＝2时，y＝10，11； 当x＝3时，y＝9，10，11； 当x＝4时，y＝8，9，10，11； 当x＝5时，y＝7，8，9，10，11； 当x＝6时，y＝6，7，8，9，10，11； 当x＝7时，y＝7，8，9，10，11； ……

当x＝11时，y＝11. 所以不同三角形的个数为

1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．