广东省深圳市罗湖区七年级数学下册第4讲整式培优讲义新人教版

第04讲 整式

考点·方法·破译

1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.

2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.

4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析

【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.

【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.

解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；

⑵不是，因为代数式是与x的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；

⑷是，它的系数为3，次数为3. 2【变式题组】

01．判断下列代数式是否是单项式

02．说出下列单项式的系数与次数

【例２】 如果

与

都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、

n的值.

【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.

解：由题意得

【变式题组】

01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为

32，求这个单项式. 02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.

【例３】 已知多项式

⑴这个多项式是几次几项式？

⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？

【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.

解：⑴这个多项式是七次四项式；

(2)最高次项是

,二次项系数为－1，常数项是1.

【变式题组】

01．指出下列多项式的项和次数

⑴

(2)

02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项

⑴

(2)

是关于x的三次三项式，并且一次项系数

【例４】 多项式

为－7.求m+n－k的值

【解法指导】 多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.

解：因为

是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次

,一次项为－7x，常数项为5，

项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为

又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.

【变式题组】 01．多项式

是四次三项式，则m的值为（ ）

A．2 B．－2 C．±2 D．±1

02．已知关于x、y的多项式

不含二次项，求5a－8b的值.

03．已知多项式

多项式的次数相同，求n的值.

【例５】 已知代数式

的值是8,求

的值.

是六次四项式，单项式

的次数与这个

【解法指导】 由代入法.

解：由

得由

，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体

（3 【变式题组】

01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（ ）

A．28 B．－28 C．32 D．－32 02．（同山）若

,则

的值为_______________.

03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.

【例６】 证明代数式的值与m的取值无关.

【解法指导】 欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.

证明：原式＝

∴无论m的值为何，原式值都为4. ∴原式的值与m的取值无关. 【变式题组】 01．已知

02．若代数式

的值与字母x的取值无关，求a、b,且

的值与x无关，求a的值.

的值.

【例７】 （北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（ ）个

A．4 B．12 C．15 D．25

【解法指导】 首先写出符合题意的单项式＝7来确定x、y、z的值.

解：

为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝

,x、y、z都是正整数，再依x+y+z1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．

【变式题组】 01．已知m、n是自然数，

是八次三项式，求m、n值.

02．整数n＝___________时，多项式演练巩固·反馈提高

01．下列说法正确的是（ ）

是三次三项式.

A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二

项式

02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个

三位数是（ ）

A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b 03．若多项式

的值为1，则多项式

的值是（ ）

A．2 B．17 C．－7 D．7

04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ）

A． B． C． D．

05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）

A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定

06．若

是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.

07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座

位. 08．若

,则代数式xy+mn值为________.

09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作

量是____________. 10．(河北)有一串单项式

(1)请你写出第100个单项式； ⑵请你写出第n个单项式. 11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项

式值为32，求这个单项式. 12．（天津）已知x＝3时多项式

多少？

13．若关于x、y的多项式

与多项式

的系数

的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为

相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.

14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.

A：计时制：0.05元/分

B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）. 此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.

⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.

培优升级·奥赛检测 01．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即

,则下列等式

中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ） ①

②

③ ④

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④

02．已知

,那么在代数式

中，对任意的a、b，

对应的代数式的值最大的是（ ）

A． B． C． D．

03．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道

上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ） A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定 04．（广安）已知

_____________.

05．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租

金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元. 06．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，

______________.

07．已知

＝______________. 化简后的结果是

8．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，

若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.

11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________．

9．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子

所得到的不同长度值的线段种数：

当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只

有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；

当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.

(1) 观察图形，填写下表：

钉子数(n×n) 2×2 3×3 4×4 5×5

(2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；

(用式子或语言表述均可)

(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式. 10．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

1⑴当AP＝AD时（如图②）： D2PA1∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

21∴S△ABP＝S△ABD ．

2BC1图①∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

21∴S△CDP＝S△CDA ．

2DP∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP AS值 2 2+3 2＋3＋( ) ( ) B图②C

＝S四边形ABCD－＝S四边形ABCD－＝

1212S△ABD－

12S△CDA 12(S四边形ABCD－S△ABC) (S四边形ABCD－S△DBC)－

12S△DBC＋

12S△ABC ． 1⑵当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

31⑶当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；

61⑷一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写

n出求解过程；

mm问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：

nn___________．