计算机科学２００４Ｖｏ１． ３１Ｎ２． １０Ａ不完备信息系统一种新的粗糙集的性质”杨晓平 （浙江海洋学院信息学院舟山３１６００４）Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ａ ｎｅｗ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｅｔ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ， ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｌｏｗｅｒ ａｎｄ ｕｐｐｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｎ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｖｅｒｓｅ ｏｆ ｄｉｓｃｏｕｒｓｅ ｔｈａｎ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｒｏｕｇｈ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ，Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ， Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ 自从波兰数学家Ｐａｗｌａｋ提出粗糙集的概念与方法以来，粗糙集理论迅速发展，不完备信息系统作为粗糙集理论的一ｒ要研究方向，近年来取得了ＡＴ Ｕ（ｄ｝）且ｄ（｝－ ＡＴ，决策属性ｄ是完备的。如果（Ｕ，ＡＴ）是完备的信息系统，则Ｓ称为完备决策表。如果（Ｕ，ＡＴ）是不完备的，则Ｓ称为不完备决策表。 例１表１是一个不完备决策表Ｓ＝（Ｕ，ＡＴＵ（ｄ｝），其中Ｕ＝ （ＸＩ ，ｘｚ，．．．，Ｘ７） ．ＡＴ＝ （ａ，ｂ）是条件属性集，ｄ是决策属性。ａ，ｂ和ｄ分别表示收缩压，舒张压和血压。Ｖ，＝ （Ｈ， Ｎ， Ｌ） ，Ｖ６＝ ｛Ｈ，Ｎ，Ｌ｝ ，Ｖ，很多成果［［１－６１，特别随着计算机科学的发展，不完备信息系统更是成了信息恢复、模糊关系数据库、医疗诊断、知识发现、机器学习、粗糙数据分析等人工智能领域的基础概念。Ｋｒｙｓｚｋｉｅｗｉｃｚｃ，一‘〕提出Ｔ近似集的概念，替代完备信息系统中的等价类，得到了相应的粗糙集。本文提出了具有相同描述的支持集类构成的基本模块（称之为描述集类）以代替粗糙集中的相似类。所有的描述类构成了论域的覆盖，与相似＝（Ｈ，Ｎ，Ｌ｝，Ｈ，Ｎ和Ｌ分别表示各种压力的指标是高的，正常的和低的。在以下的讨论中， 记号ｎ表示逻辑“与”。若ｖＥＶａＥＡ，属性对（（ａ，ｖ）称为是Ａ的基本元。所有的Ａ基本元或者它的逻辑“与”ｎ连接称为Ａ描述，设ｔ为描述，若基本元（（ａ，ｖ）存在于ｔ中，我们简单地称（ａ， ｖ） Ｅｔ，若ｂ＇ ａＥＡ，（ａ，ｖ）Ｅｔ，则称ｔ为Ａ的全描述。ＩＩ ｔ １１ ＝（ｘＥＵ；ｖＥａ（ｘ）；（ａ，ｖ）Ｅｔ｝称为ｔ的支持集。如果ｔ和：是两个描述且Ａ（ｔ）门Ａ（ｓ）＝必，可以很容易地得到｝｝ｔＡｓ｝｝＝｝｝ｔＩＩ门ＩＩ‘ＩＩ。如果ＡＣＡＴ， 定义：ＦＤＥＳ （Ａ） ＝ （ｔ，ｔ是Ａ的描述；｝！ｔ ＩＩ ７｝＝Ｏ）对任意ｔ Ｅ ＤＥＳ （Ａ），如果Ａ（ｔ） ＝Ａ，则ｔ是完全的Ａ描述，定义为：ＦＤＥＳ （Ａ） ＝ （ｔ，ｔ是Ａ的完全描述｝集类相比有其更好的性质。）１基本概念设Ｓ＝（ Ｕ，ＡＴ）是一个信息系统，其中Ｕ为非空有限论域，Ｕ中的元素称为对象。ＡＴ是有限非空属性集。对于每一个ａＥＡ，ａ：Ｕ－Ｖ。且Ｖ ｘＥＵ，ａ（ｘ） Ｅ Ｖａ，称Ｖ，为属性ａ的值域。如果信息系统中的某些属性值缺省或部分知道，这样的系统称为不完备信息系统，属性值函数ａ （ｘ）可以定义为从Ｕ到Ｖ，的幂集的一个集值映射。如果ａ （ｘ）部分已知，比如说，如果知道ａ （ｘ）不是Ｖ。中ｂ，‘值，则ａ （ｘ）可表示为Ｖ。一｛ｂ，ｃ），表１不完备决策表Ｎ一ＨＮＬＨＨＬ三翔劝为介瓜为集理论。。６４。设Ｓ＝（ Ｕ，ＡＴ）是一个不完备信息系统，对于任意的ａＥＡＴ和ｖ Ｅ Ｖ，，如果ｖＥａ（ｘ） ｎａ（ｙ），也就是｛｛ｘ，ｙ｝Ｃ｝｝（ａ， ｖ）｝｝，ｘ和ｙ被称为关于属性ａ类似，同样，若ＡＣＡＴ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），ｘ，ｙＥＵ则ｘ和 ｛Ｈ｝ （Ｎ，Ｈ）（Ｎ，Ｈ） ｛Ｈ｝丈Ｌ，Ｎ） （Ｎ）ｙ被称为关于Ａ类似当且仅当｛ｘ，ｙ）Ｃ １１ ｔ １１，这些类似关系就把有限论域Ｕ分成了几个子集并作为基本模块（称为描述集），这些描述集类构成了Ｕ的一个覆盖，我们把它记成Ｕ／Ａ，即Ｕ／Ａ＝ （ＩＩ ｔ ＩＩ，ｔＥ ＦＤＥＳ （Ａ） ），包含ｘ的描述集类记为Ａ（ｘ），即Ａ（ｘ）＝｛ＩＩ ｔ ＩＩ：ｘＥ ＩＩ ｔ ＩＩ ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ）｝一个决策表（Ｄ，Ｔ）是一个信息系统Ｓ＝ （Ｕ，。）本课题获得国家自然科学基金项目（Ｎｏ． ６０３７３０７８）和浙江省教育厅科研计划项目（Ｎｏ． ２００２０９４０）资助。杨晓平副教授．研究方向为粗糙 例２在例１中，既然ｘ２， Ｘｓ和ｘ。的关于属性值都具有“Ｈ＂，则关于属性ａ它们都应属于同一个描述类！Ｉ （ａ，Ｈ） ＩＩ，即ＩＩ （ａ，Ｈ） １１二｛ｘ２，ｘｓ，ｘ６）。用ａ，ｂ，ＡＴ＝ （ａ，必的描述集类可表示以下各种分类：Ｕ／ （ａ｝＝｛１１ （ａ，Ｎ） ＩＩ，１１ （ａ，Ｈ） １１，１１ （ａ，Ｌ） ｝｝）＝（（ＸＩ，ｘ２， ｘ３，ｘ６，ｘ小（ｘ２，ＸＳ，ｘ６｝，｛ ｘ４，ｘ，｝｝ Ｕ／（ ｂ｝＝｛１１ （ｂ，Ｎ） １１，１１ （ｂ，Ｈ） １１，１１ （ｂ，Ｌ） １１｝ ＝（（ｘＩ，ｘ２，ｘ３，ｘｓ，ｘ，｝，（ｘ３，ｘ５，ｘ６｝，（ｘ４｝｝Ｕ／ＡＴ＝｛Ｉ Ｉ （ａ，Ｎ） Ａ （ｂ，Ｎ） １１，ＩＩ （ａ，Ｎ） Ａ （ｂ，Ｈ） １１，｝ ｝（ａ， Ｈ） Ａ （ｂ， Ｎ）｝】，｝｝（ａ，Ｈ） Ａ （ｂ，Ｈ） １１，｝ ｝（ａ，Ｌ） Ａ （ｂ， Ｌ）｝｝，｛｝（ａ，Ｌ） Ａ （ｂ， Ｎ） ＩＩ｝＝｛（ ｘ１，ｘ２ｒｘ３，ｘｙ｝，（ｘ３，ｘ６），（ｘ２，ｘ５｝，（ Ｘ５ ，Ｘ６｝，（ｘ，｝，（ｘ，｝｝。同时也容易看到： （ ａ｝（ｘ２）＝｛（ｘｉ，ｘ２，ｘ３，ｘｓ，ｘ小（ｘ２，ｘｓ，ｘ６｝｝定义１设ＸＣＵ和ＡＣＡＴ， Ｘ关于Ａ下近似和上近似分别记为ＡＴ （Ｘ）和不（Ｘ），其中ＡＴ（ ｘ）＝｛Ｉｌ１ｔ１｝！：ＩＩ ｔ ＩＩ ＣＸ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ）｝，ＡＴ （Ｘ）＝（ ＩＩ ｔ ＩＩ：｝｝川！ｎＸ：Ａ ０，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ）｝，不（ Ｘ）－ＡＴ（Ｘ）称为Ｘ关于Ａ的边界，记为ＢＮＡＴ（Ｘ） 注：这里所定的下近似和上近似集合，其中的元素是描述集类，而不是Ｕ的一个子集。例３在例１中， 设Ｘ＝（ｘ２，ｘｓ，ｘ６），经计算可得：（ａ｝二（Ｘ）二（（ｘ２．ｘｓ．ｘ６｝｝（ａ｝二（Ｘ）＝｛（ｘ ｘ２，ｘ３ＩＸ６ＩＸ７｝，（ｘ２，ｘｓ．ｘ６｝｝（ｂ｝二（Ｘ）二必（ｂ． ｝Ｔ （Ｘ）＝（（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ５，ｘ７｝，（ｘ３．ｘｓ，ｘ６｝｝ＡＴＴ（Ｘ）＝（（ｘｓ＋ｘ６），（ｘｚ，ｘｓ｝｝ＡＴＴ（Ｘ）＝｛（ｘｌ，ｘｚ，ｘ３，ｘ小（ｘ３，ｘ６｝，（Ｘｓ，ｘ６｝，（ｘ２，ｘｓ））Ｂ凡二（ Ｘ）＝｛（ＸＩ ９ＸＺ，ｘ３，ｘ７），（Ｘ３ ，Ｘ６）｝Ｋｒ ｙｓｚｋｉｅｗｉｃ：在文［２〕中给出Ｔ相似关系，简介如下：设ＡＣＡＴ ＳＩＭ （Ａ）＝（（ｘ，ｙ）ＥＵＸＵ｝Ｖ ａＥＡ，ａ （ｘ）门ａ（ Ｙ） ＝Ａ必｝ＳＡ（ Ｘ）＝（ＹＥＵＩ （ｘ， ｙ）ＥＳＩＭ（Ａ）｝称为ｘ的Ａ相似集。记：Ｕ／ＳＩＭ（Ａ）＝｛ ＷＡＳ ｌ ｘＥＵ）ＵＩＳＩＭ（Ａ）中的任何元素称为相容类，ＵＩＳＩＭ（Ａ）中的相容类一般不构成Ｕ的划分，它们构成Ｕ的覆当台ｎ们 ０ 定义２令Ｘ（－ｕ和ＡＣＡＴ，Ｘ关于Ａ的下近似，上近似和边界分别：Ａｓ Ｘ＝（ｘＥＵ｝ＳＡ（ｘ）ｇＸ）＝（ＸＥＸ｝ＳＡ（ｘ）ＣＸ｝ 不Ｘ＝（ ｘＥＵ！ＳＡ（ｘ） ｎ Ｘ－－，必）＝Ｕ（ＳＡ（ｘ）！ｘＥＸ） ＢＮＡ Ｓ（Ｘ）＝Ａ，（Ｘ）一鱼（Ｘ）２两种粗糙集的性质及比较 若Ａ是一个集类，即其中元素均为集合，则记ＵＡ为Ａ中集类的并，即若Ａ＝（ＢＢ２，－，Ｂ．），则ＵＡ＝Ｂ，ＵＢ２Ｕ…Ｕ Ｂ．性质１记 ＳＡ＝Ｕ／ＳＩＭ（Ａ）＝（ ＳＡ（ｘ） Ｉ ｘＣ－Ｕ）ＴＡ＝Ｕ／Ａ＝｛Ｉ Ｉ ｔ ＩＩ：ｔ Ｅ ＦＤＥＳ （Ａ）｝则对于ＴＡ中的每一个｝Ｉｔ１１，总有ＳＡ中的ＳＡ（ｘ），使｝｝ｔ ＩＩ ＣＳＡ（ｘ），我们把这个性质记为ＴＡＧＳＡ，由此可见以ＴＡ作为Ｕ的分类，基本模块更细小一些。证： ｅ ＩＩ ｔ｝｝ＥＴＡ，因｝｝ｔ｝｝非空，存在ｘＥ｝｝ｔ｝｝，下面只需证｝｝ｔ ＩＩ ＣＳＡ（ｘ）， 事实上，ｄ ｙＥ ＩＩ ｔ ＩＩ ｝ｘ，ｙ具有相同的Ａ完全描述，则（ｘ， ｙ） Ｅ ＳＩＭ（Ａ），所以ｙＥＳＡ（ｘ），于是｝Ｉｔ１１ＣＳＡ（ｘ）。性质２ 元（Ｘ）＝Ｕ｛ＩＩ ｔ ＩＩ：ＩＩ ｔ ＩＩ门Ｘ ＝Ａ必，ｔ Ｅ ＦＤＥＳ（ Ａ））二Ｕ不（ｘ），即不（ Ｘ）＝Ｕ不（Ｘ）。证： ｄ ｘＥ不（Ｘ），则ＳＡ（ｘ）门ｘ｝必，于是３ ｘｏＥＳＡ （ｘ）和ＸＯＥＸ，则ｘｏ， ｘ具有相同的Ａ完全描述，故３ ｔＥ ＦＤＥＳ （Ａ），使ｘｏ，ＸＥ｝】ｔ１１，则ｘｏ Ｅ｝｝ｔｉｉ ｎ ｘ，于是ｘＥ Ｕ｛｝｝ｔ！】：｝｝ｔ｝｝ｎｘ＝Ａ必，ｔ Ｅ ＦＤＥＳ （Ａ）｝。反之ＨｘＥＵ（｝】ｔ １Ｉ：ｉｉ ｔｉｉ ｎｘ＝Ａ必，ｔ Ｅ ＦＤＥＳ（Ａ）｝，有｝！ｔｏ｝｝门Ｘ并必，ｔｏ Ｅ ＦＤＥＳ （Ａ）｝，ｘＥ｝｝ｔｏ】｝。因｝｝ｔｏ｝｝门Ｘ＝Ａ必，则３ ｘ， Ｅ｝｝ｔｏ｝】ｎｘ，于是ｘｏ，ｘ Ｅ ｌｉｔ （１，且ｘｏＥＸ，即（ｘ，， ｘ） Ｅ ＳＩＭ（Ａ），从而ｘｏ ＥＳＡ （ｘ）门ＸＯ（１５，即ｆｌ ｘＥＡｓ（Ｘ）综上，性质２由此得证。性质３ ＳＡ（ｘ）＝Ｕ（｝卜｝｝，ｘＥ｝｝ｔ｝｝，ｔＥＦＤＥ，Ｓ（Ａ）｝即ＳＡ中的ｘ的相似类恰为ＴＡ中所有包含ｘ的类的并，即ＳＡ（Ｘ）＝ ＵＡ（ｘ），证： ｂ ｙＥＳＡ（ｘ），则ｘ，ｙ具有相同的Ａ的完全描述。即有ｔｏ Ｅ ＦＤＥＳ （Ａ），使ｘ，ｙＥ １１ ｔｏ！｝，所以（下转第９４页） 。６５。 ＤＵ）） ＝ Ｌｏ？，可知成立，转６）；６）输出最小约简ＲＥＤＵ： 输出最小约简为（ａ，ｂ，ｃ｝。法不需要分明矩阵；并且Ｒｏｕｇｈ集中数据约简的方法没有考虑到各等价关系之间的拓扑结构，而我们的方法使用一个反映各等价关系之间拓扑结构的率度幂图；综上所述，可见其效率较高。使用算法２： １）计算最小率度，构造率度幂图第。层：Ｌｏ ＝ Ｒａｔｅ（ＩＮＤ（Ａ））＝｝ＩＮＤ（Ａ） Ｉ／ＩＩＮＤ（Ｕ） Ｉ“二（１＋１＋１＋１＋１）／（５二５） ＝ ５／２５；结论（本文以Ｒｏ ｕｇｈ集发展的粒计算理论为基础建立了知识的率度概念，考虑到等价关系的空间拓扑结构而定义了率度幂图，并给出了在率度幂图中实现数据约简的两种算法。对算法的实现过程作了应用举例，得到和使用分明矩阵法数据约简相 ２）按宽度扩展分枝构成率度幂图下一层，图２显示了扩展过程，括号内为率度值，星号表示不能再扩展。 ３）从图２可知｛ａ，ｂ，ｅ），（ａ，ｂ，ｃ｝为最小约简。同的结果。最后和分明矩阵法作了简单比较。夕参考文献 这个结果和文〔４」中的分明矩阵法求所有最小 约简的结果相同。分明矩阵法的时间和空间复杂度１ Ｐａｗｌａｋ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ ［Ｊ］－ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ是关于信息系统Ｓ的大小成指数变化；文【５］中给出Ｉｎｆ ｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， １９８２，１１（５）：３４１－３５６２ Ｚａｄｅｈ Ｌ Ａ． Ｆｕｚｚｙ ｌｏｇｉｃ＝ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｗｏｒｄｓ ［Ｊ］．ＩＥＥＥ，求所有最小约简的时间复杂度为０（２１ＡＩＩＩＡＩＪＵＪＩ＇），３ ＰａｗｌＴｒ ａｎｓａｃｔａｋ Ｚ． ｉｏｎｓ Ｒｏｕｇｈ ｏｎ ＦｕｚＳｅｔｚｙ ｓ ＳｙｓｔＴｈｅｏｒｅｍｓ， ｅｔｉｃ１９９６，ａｌ Ａｓｐｅ４：ｃ１０３－１１１ｔｓ ｏｆ Ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ａｂｏｕｔ虽然率度幂图中所有结点数为２ ＪＡＩ，搜索率度幂图空Ｄａｔ ａ ［Ｍ］． Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ， Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，Ｂｏｓｔｏｎ，Ｌｏｎ－间也是成指数增长，但是不必搜索全部结点，可以根４刘清Ｒｏｕｇｈ集及Ｒｏｕｇｈ推理［ｄｏｎ， １９９１Ｍ］．北京：科学出版社，２００１．５１据率度进行剪枝，正如图２所示；分明矩阵法需要一＾－５３ ５刘业政．杨善林，马溪骏．粗糙集数据分析的计算方法［Ｊ］．合肥工个｝ＡＩＩＵＩ＇数量级的矩阵，随着属性Ａ和论域Ｕ的业大学学报（自然科学版）， 增加，其空间和时间复杂度急剧增加［［６１，而我们的算刘清，刘少辉，郑非．Ｒｏｕｇｈ逻辑及其在数据约简中的应用〔２００２，２５（２）Ｊ］．软件学报，２００１，１２（３）（上接第６５页）３，可以得到 ｙＥ Ｕ｛Ｉｌｔｌｌ：ｘＥＩｌｔｌｌ，ｔＥＦＥＳＥ（Ａ）｝Ａ，（Ｘ）ＣＵＡＴ（Ｘ）ＣＸＣＡＴ（Ｘ）＝Ａｓ（Ｘ）反之，Ｖ ｘＥ ｌｌｔｌｌ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），欲证ＳＡ（ｘ）；Ｑｌｌ ｔｌｌ。只从中我们可以清楚地看到用￣坠鱼（Ｘ）作为Ｘ的下需证Ｖ ＹＥ Ｉｌｔｌｌ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），ｘＥ Ｉｌｔｌｌ，一定有ＹＥＳＡ近似比Ａｓ （Ｘ）要好一些。（ｘ）即可。因为Ｖ ｙＥＩＩｔｉｌ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），ｘＥＩｌｔｌｌ，显结论 本文提出了以类似关系构成描述集类作然有ｘ，ｙＥ Ｉｌｔｌｌ且ｔ Ｅ ＦＤＥＳ （Ａ）。这说明ｘ，ｙ具有相为论域的分类的方法，定义了下上近似，构造了相应同的Ａ的完全描述，所以ＹＥＳ从ｘ），的粗糙集，对其性质作了研究，与已有的相似类方法综上，性质３得证。 相比较，可以看出相似类的构造：即每一个相似集都性质４ 是若干描述集的并，相似类作为论域的覆盖，有较多Ｕ｛Ｉ ｌｔｉｌ：ＩＩｔｌｌｇ；Ｘ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ）｝重叠部分，因此用描述集作为论域的分类的基本模ｃｘｃ Ｕ（Ｉｌｔｌｌ：Ｉｌｔｌｌ ｆｌｘ＝Ａ必，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ） ｝块，精度更高，所定义的下、上近似使边界更小，因此即以Ａ袱Ｘ）ＣＸＣ ＵＡＴ（Ｘ）。也可以更精确地近似刻画论域的子集。证： Ｖ ｘＥＩＩｔｉｌ，Ｉｌｔｌｌ＝Ｘ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），显然ｘＥＸ，参考文献 Ｖ ｘＥＸ，包含ｘ的Ａ完全描述记为ｔ，则ｘＥ ｌｌｔ１ Ｗｕ Ｗｅｉ－Ｚｈｉ，Ｍｉ Ｊｕ－Ｓｈｅｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｗｅｎ－Ｘｉｕ． Ｎｅｗ Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔ Ａｐ－ＩＩ。于是ｘＥ ＩＩｔｉｉ （１ Ｘ：ＡＯ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），ｐｒ ｏａｃｈ ｔｏ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ ｉｎ Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｙｓ－ｔ ｅｍｓ． Ｉｎ： ＩＥＥＥ ｐｒｏｃ． ｏｆ ｔｈｅ Ｓｅｃｏｎｄ Ｉｎｔｌ． Ｃｏｒｄ． ｏｎ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｌｅａｒｎ－所以ｘＥ Ｕ｛ Ｉｌｔ ｌｌ ： Ｉｌｔｌ旧Ｘ００，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ）｝，ｉ ｎｇ ａｎｄ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ， ２００３． １７１３＾－１７１８性质５２ Ｋｒｙｓｚｋｉｅｗｉｃｚ Ｍ． Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｙｓｔ ｅｍｓ． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９８，（１１２）３９－４９Ａｓ （Ｘ）Ｃ Ｕ｛Ｉｌｔｌｌ：ｌｌｔｌｌＣＸ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ），３ Ｋｒｙｓｚｋｉｅｗｉｃｚ Ｍ． Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ Ａｓｐｅｃｔｓ ｉｎ Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔ Ａｐ－Ａｓ （Ｘ）Ｃ ＵＡＴ（Ｘ）。ｐｒ ｏａｃｈ． Ｉｎ： Ｐｒｏｃ． ｏｆ ＪＣＩＳ＇９８． Ｒａｌｅｉｇｈ， ＮＣ． ＵＳＡ， １９９８， ２： ３７１￣３７４ 证： Ｖ ｘＥＡｓ（Ｘ），则有Ｓ抓ｘ）ＣＸ，由性质３，至４ Ｋｒｙｓｚｋｉｅｗｉｃｚ Ｍ． Ｒｕｌｅｓ ｉｎ Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｙｓ－ｔ ｅｒｎｓ． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９９，１１３：２７１－２９２少有一个！Ｉｔ． １１，使ｘＥＩＩｔｏＩＩ，ｔ．ＥＦＤＥＳ（Ａ）且｝Ｉｔ． １１ ９；ｓ．＂５ Ｍｉ Ｊｕ－Ｓｈｅｎｇ． Ｗｕ Ｗｅｉ－Ｚｈｉ， Ｚｈａｎｇ Ｗｅｎ－Ｘｉｕ． Ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｏ Ａｐ－（ｘ）ＣＸ，因此ｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｒｅｄｕｃｔｓ ｉｎ Ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｔａｂｌｅｓ． ＬｅｃｔｕｒｅＮｏｔｅｓ ｉｎ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ ２６３９，２００３． ２８３＾－２８６ｘＥ Ｕ（ＩＩｒＩＩ：ＩＩ ｔＩＩ ＣＸ，ｔＥＦＤＥＳ（Ａ） ｝６张文修，吴伟志，梁吉业，李德玉．粗糙集理论与方法．北京：科学从而Ａｓ （Ｘ）ＣＵＡＴ（Ｘ），从而结合上面性质２，性质出版社， ２００１・９４・
