19.3.1矩形教案

一、教学目标

（一）知识与技能

掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联

系．

（二）过程与方法

会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． （三）情感、态度与价值观

渗透运动联系、从量变到质变的观点． 二、教学重、难点

重点：矩形的性质．

难点：矩形的性质的灵活应用． 三、教学准备

多媒体课件。 四、教学方法

自主、合作、探究法。 五、教学过程 (一) 复习导入

创设情景：

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、

活动衣架、篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，

观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直

角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本节课题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也

叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面

等都有矩形形象．

探究：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套

在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化

的？

② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他

内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交

于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=1AC=1BD．因此

22可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

(二) 新课教授

例1．（教材P95例1）已知：如图，矩形ABCD的

两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对

角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分． ∴ OA=OB． 又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB是等边三角形．

∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4 cm =8cm． 例2．（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，

对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的

计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD

中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6； 则 AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积

公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

例3． 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF

⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

分析：CE、EF分别是BC、AE等线段上的一部分，若AF

＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．

∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

(三) 例题讲解

例1．（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，

二是 ．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形

两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 。

（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．

解析：（1）矩形定义的两个条件：一是四边形有一个角是直

角，二是四边形是平行四边形。（2）利用矩形对角线的性质知，两条对角线相交所得的四个角的度数分别为60°、60°、120°、120°。（3）矩形的边长分别为5cm，5cm，53cm，53cm． 例2．

（1）下列说法错误的是（ ） （A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等

（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共

有（ ）

（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对 解析：（1）C （2）D

例3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平

分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

解析：利用矩形的性质来处理。

证明：∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°. ∴∠BAO=60°

又AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°. ∴∠AEO=∠BAO－∠BAE=15°.

（四）巩固练习

1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，

较短边的长为（ ）．

(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm

(D)5cm

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、

∠B的度数．

3．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，

且AB=AE，求证：∠CBE的度数．

答案：

1．C 2．∠A =60°、∠B =30° 3. 30°

（五）全课小结

1.掌握矩形的定义及性质。

2.会用矩形的性质求相关的角的度数。 六、板书设计

19.3矩形 情境引入： 矩形的定义： 矩形的两个性质 性质1 性质2 例题讲解： 例1 例2 课堂练习： 小结： 矩形的定义及性质 作业布置 七、对应练习

1.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一

个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么

菱形周长的最大值是 ．2．矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形

的最大面多少 平方单位．

3.矩形ABCD中，AD =4cm，AB=10cm，按如图方法折叠，使点B于点D重合，折

痕为DE，求DE的长.

答案

1.16；2.；3. DE=5.8 八、教学反思

学生在小学阶段已经学习了长方形和正方形的相关知识，而

矩形就是长方形和正方形，所以学生对矩形的基本知识已经有一定的了解，而且通过前一章探究平行四边形有关知识的培养，学生具有一定的思考和探究的能力。所以本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生能力，促进学生发展。

分析教材时注意到小学中长方形、正方形与本节课所学矩形

之间的关系，但对于长方形和正方形之间是否有包含关系这个问题，请教了许多老师、专家，包括小学的数学教研员，也上网查阅，但说法不一，所以还是没弄清楚。因此，在课堂中没有去强调这个问题。至今还是个疑问。 九、知识链接

陈景润

陈景润出生在贫苦的家庭，母亲生下他来就没有奶汁，靠向邻居借熬米汤活过来。快上学的年龄， 因为当邮局小职员的父亲的工资

太少，供大哥上学，母亲还要背着不满两岁的小妹妹下地干活挣钱。这样， 平日照看3岁小弟弟的担子就落在小景润的肩上。

稍大一点，挤出帮母亲下地干活的空隙，忙着练习写字和演算。母亲见他学习心切， 就把他送进了城关小学。别看他长得瘦小，可十分用功，成绩很好，因而引起有钱人家子弟的嫉妒，对他拳打脚踢。他打不过那些人，就淌着泪回家要求退学，妈妈抚摸着他的伤处说：“孩子，只怨我们没本事，家里穷才受人欺负。你要好好学，争口气，长大有出息，那时他们就不敢欺负咱们了！” 小景润擦干眼泪，又去做功课了。

此后，他再也没流过泪，把身心所受的痛苦，化为学习的动力，成绩一直拔尖，终于以全校第一名的成绩考入了三元县立初级中学。在初中，他受到两位老师的特殊关注：一位是年近花甲的语文老师，原是位教授，他目睹日本人横行霸道，却节节退让，感到痛心疾首，只可惜自己年老了，就把希望寄托于下一代身上。他看到陈景润勤奋刻苦，年少有为，就经常把他叫到身边，讲说中国5000年文明史，激励他好好读书，肩负起拯救祖国的重任。

老师常常说得满眼催泪，陈景润也含泪表示，长大以后，一定报效祖国！另一位是不满30岁的数学教师，毕业于清华大学数学系，知识非常丰富。陈景润最感兴趣的是数学课，一本课本，只用两个星期就学完了。老师觉得这个学生不一般，就分外下力气，多给他讲，并进一步激发他的爱国热情，说：“一个国家，一个民族，要想强大，自然科学不发达是万万不行的，而数学又是自然科学的基础。”从此，陈景润就更加热爱数学了。一直到初中毕业，都保持了数学成绩全优的记录。

祖国光复后，陈景润考入福州英华书院念高中。在这里，他有幸遇见使他终生难忘的沈元老师。沈老师曾任清华大学航空系主任，当时是陈景润的班主任兼教数学、英语。沈老师学问渊博，循循善诱，同学们都喜欢听他讲课。有一次，沈老师出了一道有趣的古典数学题：

“韩信点兵”。大家都闷头算起来，陈景润很快小声回答：“53人”全班为他算得速度之快惊呆了，沈老师望着这个平素不爱说话、衣服槛楼的学生问是怎么得出来的?陈景润的脸羞红了，说不出话，最后是用笔在黑板上写出了方法。沈老师高兴地说：“陈景润算得很好，只是不敢讲，我帮他讲吧！” 沈老师讲完，又介绍了中国古代对数学贡献，说祖冲之对圆周率的研究成果早于西欧1000年，南宋秦九韶对“联合一次方程式”的解法，也比意大利数学家欧拉的解法早500多年。沈老师接着鼓励说：“我们不能停步，希望你们将来能创造出更大的奇迹，比如有个‘哥得猜想’， 是数论中至今未解的难题，们把它比做皇冠上的明珠，你们要把它摘下来!”课后，沈老师问陈景润有什么想法，陈景润地说：“我能行吗?”沈老师说：“你既然能自己解出‘韩信点兵’，将来就能摘取那颗明珠：天下无难事，只怕有心人啊!”那一夜，陈景润失眠了，他立誓：长大无论成败如何，都要不惜一切地去努力！