曲边梯形的面积与定积分

22、定积分

22．1 曲边梯形的⾯积与定积分【知识⽹络】

1． 了解定积分的实际背景。

2． 初步了解定积分的概念，并能根据定积分的意义计算简单的定积分。 【典型例题】[例1]（1）已知和式1

123(0)p p p pP n p n ++++

+>当n →+∞时，⽆限趋近于⼀个常数A ，则A 可⽤定积分表⽰为（）A ．dx x ?101B ．dx x p ?1

C ．dx x p ?10)1(D ．dx n x p10)(

（2）下列定积分为1是（ ）A ．dx x ?1

B ．dx x ?+1)1(C ．dx ?101

D ．dx ?1021

（3）求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的⾯积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为 （ ） A ．［0，］ B ．［0，2］C ．［1，2］ D ．［0，1］

（4）由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平⾯图形的⾯积，利⽤定积分应表达为． （5）计算=。

[例2]①利⽤定积分的⼏何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）3π40sin d x x ?； （2）01e d x

x -?； （3）1213ln d x x ?．

②利⽤定积分的⼏何意义，⽐较下列定积分的⼤⼩．10d x x ?，120d x x ?，130d x x ?。

[例3]计算下列定积分：121(1)(1)d 3x x -+?； 41(2)(3)d x x -+?；

20

(3)cos d x x π； 232

(4)d x x -?。

[例4] 利⽤定积分表⽰图中四个图形的⾯积：

(1)(2)(4)2． 1321

(tan sin )x x x x dx -++?=（ ）A ．0B 。1320

2(tan sin )x x x x dx ++?C ．0

3212(tan sin )x x x x dx -++?

D 。1

3202|tan sin |x x x x dx ++?

3． 设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分()d b af x x ?的符号（） A ．⼀定是正的B ．当0

4． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平⾯图形的⾯积为 （ ）A ．()[]dy y y ?--11B 。

()[]dx x x ?-+-2101C ．

()[]dy y y ?--2101

D 。()[]dx x x ?+--115． 和式111122n n n+++

++当n →+∞时，⽆限趋近于⼀个常数A ，则A ⽤定积分可表⽰为。6． 曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的⾯积可⽤定积分表⽰为．

7． 计算曲边三⾓形的⾯积的过程⼤致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试⽤该⽅法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x 2所围成的曲边三⾓形的⾯积。（下列公式可供使⽤：12+22+…+n 2=1(1)(21)6n n n ++）

8． 求由曲线1y x =+与1,3,0x x y ===所围的图形的⾯积.9． 计算20()f x dx ?，其中,2,01,()5,1 2.x x f x x ≤≤≤?

10．弹簧在拉伸过程中，⼒与伸长量成正⽐，即⼒F(x)=kx （k 是正的常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功。22、定积分

22．1 曲边梯形的⾯积与定积分A 组

1． 若()f x 是[,]a a -上的连续偶函数，则()d aa f x x -=?（ ）A ．0()d a

f x x -?B ．0C ．02()d af x x -?D ．0()d af x x ?

2． 变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（ ）A ．1)(t dt t vB ．dt t v s t ?+1

0)( C ．001

)(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-10)(

3． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平⾯图形的⾯积为（）

A ．()[]dy y y ?--101B ．()[]dx x x ?-+-2101C ．()[]dy y y ?

--2101

D ．()[]dx x x ?+--114． 设()0,()()0,.

h x a x b f x g x b x c >a f x dx A B =+?；④|()|ca

f x dx A B =-?。

其中所有正确的结论有。

5． 设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b 及x 轴所围成图形的⾯积称为函数f(x)在[a ，b]上的⾯积。已知函数y ＝sinnx 在[0，n π]（n ∈N *）上的⾯积为n2。 ①y ＝sin3x 在[0,32π

]上的⾯积为； ②y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π

]上的⾯积为。

6． 求由曲线1y x =-与0,3,0x x y ===所围的图形的⾯积。 7． 试根据定积分的定义说明下列两个事实： ①()()bbaa

cf x dx c f x dx =??；②(()())()()b b baaaf x

g x dx f x dx g x dx +=+。

8． 物体按规律2

4t x =（m ）作直线运动，设介质的阻⼒与速度成正⽐，且速度等于10（m/s ）时阻⼒为2（N ），求物体从x=0到x=2阻⼒所做的功的积分表达式．22、定积分

22．1 曲边梯形的⾯积与定积分B 组

1． 如果1kg ⼒能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，则⼒所作的功为 （ ）A ．0.18kg ·mB ．0.26kg ·mC ．0.12kg ·m

D ．0.28kg ·m 2． 已知b ＞a ，下列值：()ba

f x dx ?，|()|ba

f x dx ?，|()ba

f x dx ?|的⼤⼩关系为（ ）A ．|()b af x dx ?|≥|()|b af x dx ?≥()baf x dx ?B 。|()|b af x dx ?≥|()b af x dx ?|≥()baf x dx ?C ．|()|b af x dx ?= |()b af x dx ?|=()baf x dx ?D ．|()|b af x dx ?= |()b af x dx ?|≥()b

af x dx ?

3． 若()f x 与()g x 是[,]a b 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x =a , x =b 所围图形的⾯积（ ）A ．()()d b af x

g x x -?B ．(()())d b af x

g x x -? C ．(()())d ba g x f x x -?D ．(()())d baf xg x x -?

4． 给出下列命题：①若()ba f x dx ?＞0，b ＞a ，则f(x)＞0；②若f(x)＞0，b ＞a ，则()ba

f x dx ?＞0；③若()ba

f x dx ?=0，b ＞a ，则f(x)=0；④若f(x)=0，b ＞a ，则()ba

f x dx ?=0；⑤若|()|ba

f x dx ?=0，b ＞a ，则f(x)=0。

其中所有正确命题的序号为。 5．①20sin xdx π②0

给出下列定积分： 2

sin xdx π-?③23xdx -?④231x dx -?

其中为负值的有。

6． 求由曲线23,1,2,0y x y y x =+===所围图形的⾯积。7． 计算：2-?。

8． 试问下⾯的结论是否成⽴？ 若函数f(x)在区间[a ，b]上是单调增函数，则()()()()()ba

f a b a f x dx f b b a -≤≤-?。

若成⽴，请证明之；若不成⽴，请说明理由。参

22．1 曲边梯形的⾯积与定积分

【典型例题】 [例1]（1）B ． （2）C ． 3． B 。（4）2π0|cos |x dx ?或204cos xdx π。（5）π4

。提⽰：这是求单位圆落在第⼀象限内部分的⾯积。 [例2]①（1）正 (2)正 (3)负。 ②1d x x ?≥120d x x ?≥130d x x ?。[例3](1)

52； (2)452

；(3)0 ；(4)0。 [例4](1)?=adx x S 02

；(2)?-=21

2dx x S ； (3) ??------=012

22]1)1[(]1)1[(dx x dx x S ；(4)?=badx S ．【课内练习】1． C 。

2． A 。提⽰：被积函数为奇函数，且积分区间⼜关于原点对称，利⽤定积分的⼏何意义知，⾯积的代数和为0。 3． A 。 4． C 。 5． dx x ?+1011。6． dx x ?-12)1(。7．13

。提⽰：请参看教材P42~44。 8． 6。 9． 6。10．可⽤“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：202b

kb W kxdx ==?。

22．1 曲边梯形的⾯积与定积分A 组1． C 。

2． B 。 3． C 。4． ①③④。5． ①43；②2π3+。 6． 32-。

7． 定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。可尝

试⽤这四步进⾏说明或证明。 8． 变⼒作功公式中，F(x)是⽤x 表⽰的，⽽此题中只有x 对t 的关系式，故⾸先将F 表⽰出来．

依题意得：F ＝kv ，但这不是x 的函数，应将v ⽤x 表⽰． ∵v=x ＇=8t ，⽽4x t =， ∴x x x F 5

4458)(==． 另外，此题F 是与物体运动⽅向相反的，∴?-=20

dx x W ． B 组

1． A 。 2． B 。 3． A 。4． ②④⑤。 5． ②③。6．34

。 7． 2π。提⽰：问题即求上半圆的⾯积。

8． 结论成⽴。说明可按照定积分的定义进⾏。 本资料来源于《七彩教育

⽹》http://www.doczj.com/doc/bf6e1b2076232f60ddccda38376baf1ffc4fe328.html