2013年考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．1、设cosx1xsin(x)，(x)2，当x0时,(x)( ）

（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小

（C）与x同阶但不等价的无穷小 (D）与x是等价无穷小

【答案】（C）

【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】

1cosx1xsin(x)，cosx1x2

211xsin(x)x2,即sin(x)x

22当x0时，(x)0，sin(x)(x)

1x,即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 222、已知yf(x)由方程cos(xy)lnyx1确定,则limn[f()1]（ )

nn(x)（A）2 （B)1 （C)—1 （D）-2

【答案】（A）

【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★

【详解】当x0时,y1。

2f()12f(2x)1f(2x)f(0)limn[f()1]limnlim2lim2f(0) nnx0x01nx2xn方程cos(xy)lnyx1两边同时对x求导,得

sin(xy)(yxy)1y10 y将x0，y1代入计算，得 y(0)f(0)1

1

所以,limn[f()1]2，选（A）。

nxsinx[0,)3、设f(x)，F(x)f(t)dt,则( ）

02[,2]2n（A）x为F(x)的跳跃间断点 (B）x为F(x)的可去间断点 （C）F(x)在x处连续不可导 (D）F(x)在x处可导 【答案】（C）

【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】

F(0)sintdt2sintdtsintdt2,F(0)2,

002F(0)F(0)，F(x)在x处连续.

F()limxx0f(t)dtf(t)dt0x0，F()limxx0f(t)dtf(t)dt0x2,

F()F()，故F(x)在x处不可导.选（C)。

11xe1(x1)4、设函数f(x)，若反常积分f(x)dx收敛，则（ ）

11xe1xlnx（A)2 （B)2 （C）20 （D）02

【答案】(D)

【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】由

1f(x)dxf(x)dx1e1eef(x)dx

e1f(x)dx收敛可知，f(x)dx与ef(x)dx均收敛。



e1f(x)dx1e11dxdx收敛,所以112 ，是瑕点，因为x1111(x1)(x1)2

ef(x)dxe11dx(lnx)xln1x，要使其收敛，则0

e所以，02，选D. 5、设zxzzy( ） f(xy)，其中函数f可微,则

yxyx（A）2yf(xy) (B)2yf(xy) （C）【答案】（A）

【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★

22f(xy) (D）f(xy) xxzyy2z12f(xy)f(xy),f(xy)yf(xy) 【详解】

yxxxxxzzxyy21[2f(xy)f(xy)][f(xy)yf(xy)] yxyyxxx

11f(xy)yf(xy)f(xy)yf(xy)2yf(xy)，故选（A）. xx6、设Dk是圆域D(x,y)x2y21位于第k象限的部分，记

Ik(yx)dxdy(k1,2,3,4)，则（ ）

Dk（A）I10 （B)I20 (C）I30 (D）I40 【答案】（B)

【考点】二重积分的性质;二重积分的计算 【难易度】★★

【详解】根据对称性可知,I1I30.

I2(yx)dxdy0(

D2yx0),I4(yx)dxdy0(

D4yx0）

因此,选B。

7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆,则（ ） (A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 (B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

3

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

【考点】等价向量组 【难易度】★★

【详解】将矩阵A、C按列分块，A(1,,n)，C(1,,n)

由于ABC，故(1,b11,n)bn1,nb1n1b1n(1,bnnbnnn

,n)

即1b111bn1n,即C的列向量组可由A的列向量组线性表示。

由于B可逆，故ACB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.

11a12008、矩阵aba与0b0相似的充分必要条件是( ）

1a1000(A)a0,b2 (B）a0,b为任意常数 （C)a2,b0

（D）a2,b 为任意常数

【答案】（B)

【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★

【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵,它们相似的充要条件是有相同的特征值.

2001a1由0b0的特征值为2，b，0可知，矩阵Aaba的特征值也是2，b,0. 0001a11因此,2EAaaa1110a2a4

12a4a20a0

02ba02ba21

101将a0代入可知,矩阵A0b0的特征值为2,b，0。

101此时,两矩阵相似,与b的取值无关，故选(B).

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分。请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

ln(1x)1)x . 9、lim(2x0x【答案】e

【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】

12ln(1x)ln(1x)lim(2)lim[1(1)x0x0xx1x1ln(1x)1ln(1x)1(1)xxx]limex01ln(1x)(1)xxe1ln(1x)lim(1)x0xx

其中，lim121ln(1x)xln(1x)(1)limlimx0xx0x0xx211x11xlim

x02x(1x)2x2故原式=e

10、设函数f(x)x11etdt,则yf(x)的反函数xf1(y)在y0处的导数

dxdy . y0【答案】11e1

【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★

【详解】由题意可知,f(1)0

5

f(x)

dydx1dx1exdxdydy1exy0dxdyx111e1。

11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为rcos3(是 。 【答案】

66)，则L所围平面图形的面积

 12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】面积S

1621cos61sin66266r()dcos3dd() 0026226120xarctant,12、曲线上对应于t1点处的法线方程为 .

2yln1t【答案】yxln240

【考点】由参数方程所确定的函数的导数

【难易度】★★★

1(1t2)22t22dydydy/dt1t1 t，故【详解】由题意可知,

1dxt1dxdx/dt21t11曲线对应于t1点处的法线斜率为k当t1时，x11. 14，yln2。

法线方程为yln2(x

4),即yxln240。

3x2xx2x2x13、已知y1exe,y2exe，y3xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3

个解，则该方程满足条件yx00，yx01的解为y . 【答案】ye

3xexxe2x

6

【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★

3xxx【详解】y1y2ee，y2y3e是对应齐次微分方程的解。

由分析知，yxe是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为yC1(e3x*2xex)C2exxe2x，C1,C2为任意常数。

由yx00,yx01可得 C11，C20. 通解为ye3xexxe2x。

14、设A(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式,Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A 。

【答案】-1

【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★

【详解】aijAij0AijaijAAAAAAAE 等式两边取行列式得AAA0或A1 当A0时，AA0A0(与已知矛盾) 所以A1。

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤。 15、(本题满分10分)

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n和a的值。 【考点】等价无穷小;洛必达法则 【难易度】★★★

nT*T*T23cos6xcos4xcos2x11cosxcos2xcos3x4【详解】lim limnnx0x0axax3cos6xcos4xcos2x6sin6x4sin4x2sin2xlimlim x0x04axn4anxn11

7

lim36cos6x16cos4x4cos2x

x04an(n1)xn2故n20，即n2时，上式极限存在。 当n2时,由题意得

1cosxcos2xcos3x36cos6x16cos4x4cos2x36164lim1 nx0x0ax8a8aa7 limn2,a7

16、（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形,Vx,Vy分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 【考点】旋转体的体积 【难易度】★★

133【详解】根据题意,Vx(x)dxx05a1325a3035a3 5Vya076762xxdxx3a3.

77013a67353因Vy10Vx，故a10a3a77。

75

17、（本题满分10分）

设平面区域D由直线x3y，y3x，xy8围成，求【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★

2xdxdyD

1y3xx2yxx6【详解】根据题意 , 3xy8y6y2xy8故

xdxdyD220dxxx2dydxx323x68x328132416x2dyx4(x3x4)128303333 28

26

18、(本题满分10分）

设奇函数f(x)在[1,1]上具有二阶导数，且f(1)1，证明： （Ⅰ）存在(0,1),使得f()1；

（Ⅱ）存在(1,1)，使得f()f()1。 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★

【详解】(Ⅰ）由于f(x)在[1,1]上为奇函数，故f(0)0

令F(x)f(x)x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且

F(1)f(1)10,F(0)f(0)00。由罗尔定理，存在(0,1)，使得F()0,即f()1。

xxxx（Ⅱ）考虑f(x)f(x)1e(f(x)f(x))e(ef(x))e

[exf(x)ex]0

令g(x)ef(x)e，由于f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，

xxf()f()1，g()g()0.由罗尔定理可知,存在(1,1)，使得g()0，

即f()f()1. 19、（本题满分10分）

求曲线xxyy1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★

【详解】设M(x,y)为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d构造拉格朗日函数 Fxy(xxyy1)

223333x2y2 9

Fx2x(3x2y)0x12由Fy2y(3yx)0 得 

y133Fxxyy1022点(1,1)到原点的距离为d112，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1),它们到原点的距

离都是1。因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为2,最短距离为1。 20、（本题满分11分） 设函数f(x)lnx1 x(Ⅰ）求f(x)的最小值； （Ⅱ)设数列xn满足lnxn11，证明limxn存在，并求此极限.

nxn1【考点】函数的极值;单调有界准则

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由题意，f(x)lnx令f(x)0，得唯一驻点x1

当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。

所以x1是f(x)的极小值点，即最小值点，最小值为f(1)1. （Ⅱ）由（Ⅰ)知lnxn故数列xn单调递增. 又由lnxn111x1，x0f(x)22 xxxx11111，又由已知lnxn1，可知，即xn1xn xnxn1xnxn111，故lnxn10xne，所以数列xn有上界。 xn1所以limxn存在，设为A.

n在lnxn111两边取极限得 lnA1 xn1A10

在lnxn111两边取极限得 lnA1 xnA所以lnA11A1即limxn1。

nA

21、（本题满分11分） 设曲线L的方程为y121xlnx(1xe)满足 42（Ⅰ）求L的弧长;

（Ⅱ）设D是由曲线L，直线x1,xe及x轴所围平面图形,求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长;定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ)设弧长为S，由弧长的计算公式，得

See11(y)2dxe1ee1111111(x)2dx1(x)2dx(x)2dx

1122x22x22x111211e2 (x)dx(xlnx)122x4241（Ⅱ)由形心的计算公式，得

e121x(xlnx)dxdxxdy10D42 xe1112dxdy(xlnx)dxdxdy1D04214112121e(ee)3(e42e23)1616422。 313114(e7)e12122xdxdy1121xlnx420121xlnx420e22、(本题满分11分） 设A1a01，B,当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵

101bC。

【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★

x1C【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设x3

11

x2。由ACCAB可得 x4

1ax110x3x2x1x4x3x2ax30axaax1x20101124 整理后可得方程组 ① x41b1bxxx1134x2ax3b0110001100a10b0000110000010 a1b由于矩阵C存在,故方程组①有解。对①的增广矩阵进行初等行变换：

01a0a10a101101a0011010b01a1a001a方程组有解，故a10，b0,即a1，b0。

10当a1,b0时，增广矩阵变为0001111100

00000000x3,x4为自由变量,令x31,x40，代入相应齐次方程组，得x21,x11

令x30,x41，代入相应齐次方程组，得x20,x11

TTT故1(1,1,1,0)，2(1,0,0,1)，令x30,x40，得特解(1,0,0,0) T方程组的通解为xk11k22(k1k21,k1,k1,k2)（k1,k2为任意常数）

所以Ck1k21k1.

k1k2

23、(本题满分11分)

a1b12设二次型f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)(b1x1b2x2b3x3)，记a2,b2

ab33(Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2；

22（Ⅱ)若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y1y2

TT【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩

12

【难易度】★★★ 【详解】(Ⅰ）证明：

f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)

a1x1b1x12(x1,x2,x3)a2(a1,a2,a3)x2(x1,x2,x3)b2(b1,b2,b3)x2

axbx3333x1(x1,x2,x3)(2TT)x2xTAx，其中A2TT

x3所以二次型f对应的矩阵为2。 （Ⅱ)由于,正交，故0 因,均为单位向量，故

TTTTT1，即T1.同理T1

A2TTA(2TT)2TT2

由于0,故A有特征值12。

A(2TT)，由于0，故A有特征值21

又因为r(A)r(2)r(2)r()r()r()1123， 所以A0,故30。

22三阶矩阵A的特征值为2,1，0.因此，f在正交变换下的标准形为2y1y2。

TTTTTT 13