2020年山东省新高考数学模拟试卷(十一)

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十一）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设集合A{x|0x2„4}，B{x|x1}，则AIB( ) A．(1，2]

B．(1，0)(0，2] D．(1，0)(0，2)

C．[2，)2．（5分）“a2”是“复数zA．充分不必要条件 C．充要条件

(a2i)(1i)(aR)为纯虚数”的( )

iB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

ln(x24x4)3．（5分）函数f(x)的图象大致为( )

(x2)5A． B．

C． D．

34．（5分）已知sin(2x)，sin4x的值为( )

45A．

7 25B．7 25C．1 D．2

5．（5分）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p2是素数，素数对(p,p2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为( )

1A．

3B．

1 41C．

5D．

1 60时，f(x)x3，6．（5分）已知定义在(3,3)上的函数f(x)满足f(x1)f(1x)，且x…第1页（共19页）

则f(x)27f(1x)0的解集为( ) A．

1B．(3,)

23C．(2,)

23D．(，3)

27．（5分）某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：

甲说胡老师不是上海人，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．

听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师( ) A．一定是南昌人

B．一定是广州人

C．一定是福州人

D．可能是上海人

x2y28．（5分）设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一

ab点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1||PF2|4a，则双曲线的离心率是( ) A．

2 3B．5 2C．6 2D．10 2二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，其20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选时的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知函数f(x)cos2x3sin2x，则下列说法正确的是( ) A．f(x)的周期为 B．xC．[D．[

3

是f(x)的一条对称轴

,]是f(x)的一个递增区间

36,]是f(x)的一个递减区间 6310．（5分）已知a，b为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列说法正确的有(

)

A．若，，则// C．若a，b，ab，则

B．若a//，b，则ab D．若a，ab，则b//

11．（5分）在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是( ) uuur2uuuruuur|AC|ACgABA．

uuur2uuuruuur|BC|BAgBCB．

第2页（共19页）

uuuruuuruuurCD C．|AB|2ACguuuruuuruuuruuuruuur2(ACgAB)(BAgBC)uuur2D．|CD| |AB|12．（5分）若函数f(x)满足：对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有函数值f（a），f（b），f（c）(0,)也是某个三角形的三边长，则称函数f(x)为“保三角形函数“．下面四个函数中保三角形函数有( ) A．f(x)x2(x0) C．f(x)sinx (0xB．f(x)x(x0)

4)

D．f(x)cosx(0x)

2三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

rrrrrrr13．（5分）已知向量a(x,2)，b(2,1)，c(3,2x)，若ab，则|bc| ．

14．（5分）若直线3x4y120与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的内切圆的标准方程为 ．

15．（5分）在《九章算术》第五卷《商功》中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥．已知球O内接方锥PABCD的底面ABCD过球心O，若方锥PABCD的体积为

2，则球O的半径为 ，表面积为 ． 3a416．（5分）已知函数f(x)(xa)2(ex)2，若存在x0，使得f(x0)„2，则实数a的

ee1值为 ．

四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积Sb2a2c2ac．

33c，4（1）求a和角B；

（2）如图，BD平分ABC，且DAB45，AD6，求CD的长．

18．（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点．

（1）证明：EF//平面BCC1B1．

第3页（共19页）

（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值．

2a10，2(anan2)5an1，19．（12分）已知等比数列{an}为递增数列，且a5数列{bn}满足：

2b1a1，bn1bna1．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cnanbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

20．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的． （1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；

（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入x（单位：万元） 销售收益y（单位：万元） 表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．

2 3 2 7 1 2 3 4 5 ˆ回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为bxyii1nninxynx2ˆ． ˆybx，axi12i第4页（共19页）

21．（12分）已知椭圆C:3xy过点P(1,)，左、右焦点分别是F1，F2过1(ab0)2a2b222F2的直线与椭圆交于M，N两点，△F1MN的周长为8b．

（1）求椭圆C的方程；

rrr（2）若点D满足F1DF1MF1N，求四边形F1MDN面积的最大值． ax2x22．（12分）已知函数f(x)ln(x1)，其中a为常数．

(x1)2（1）当1a„2时，讨论f(x)的单调性；

11（2）当x0时，求g(x)xln(1)ln(1x)的最大值．

xx

第5页（共19页）

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十一）

参与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）设集合A{x|0x2„4}，B{x|x1}，则AIB( ) A．(1，2]

B．(1，0)(0，2] D．(1，0)(0，2)

C．[2，)【解答】解：A{x|2剟x2，且x0}； AIB(1，0)(0，2]．

故选：B．

2．（5分）“a2”是“复数zA．充分不必要条件 C．充要条件 【解答】解：复数z(a2i)(1i)(aR)为纯虚数”的( )

iB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

(a2i)(1i)a2(a2)ia2(a2)i(aR)为纯虚数，

ii则a20，a20．  “a2”是“复数z(a2i)(1i)(aR)为纯虚数”的充要条件．

i故选：C．

ln(x24x4)3．（5分）函数f(x)的图象大致为( )

(x2)5A． B．

C．

D．

第6页（共19页）

【解答】解：函数f(x)定义域为x2；

lnt2ln[(x2)2]，令x2t，则函数f(t)5； f(x)(x2)5t函数f(t)为奇函数，排除B，C；

且当t0即x2时，函数f(t)0有且只有一个零点，排除D． 故选：A．

34．（5分）已知sin(2x)，sin4x的值为( )

45A．

7 25B．7 25C．1 D．2

3【解答】解：已知sin(2x)，

45cos(42x)1sin2(42x)， 457， sin4xcos(4x)2cos2(2x)12425故选：A．

5．（5分）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p2是素数，素数对(p,p2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为( )

1A．

3B．

1 41C．

5D．

1 6【解答】解：依题意，10以内的素数共有4个，从中选两个共包含C426个基本事件， 而10以内的孪生素数有(3,5)，(5,7)两对，包含2个基本事件， 所以从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率P故选：A．

221． 2C4630时，f(x)x3，6．（5分）已知定义在(3,3)上的函数f(x)满足f(x1)f(1x)，且x…则f(x)27f(1x)0的解集为( ) A．

1B．(3,)

23C．(2,)

23D．(，3)

2【解答】解：Qf(x1)f(1x)， 令xx1， f(x)f(x)，

第7页（共19页）

函数f(x)为奇函数，

Qx…0时，f(x)x3，

f(x)x3，x(3,3)，

f(x)27f(1x)x327(1x)30，

x3[3(x1)]3， Qf(x)x3为增函数，

x3(x1)，

3x

3， 2故选：C．

7．（5分）某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：

甲说胡老师不是上海人，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．

听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师( ) A．一定是南昌人

B．一定是广州人

C．一定是福州人

D．可能是上海人

【解答】解：在A中，若胡老师是南昌人，则甲说的全不对，乙说对了一半，丙说的全对，满足条件，

故胡老师有可能是南昌人，但不能说一定是南昌人，故A错误；

在B中，若胡老师是广州人，则甲说的全不对，乙说的全不对，丙说的全对，不满足条件，故B错误；

在C中，若胡老师是福州人，则甲说对一半，乙说的全不对，丙说的全不对，不满足条件，故C错误；

在D中，若胡老师是上海人，由甲说的对一半，乙说的全不对，丙说的全对，满足条件，故D正确．

第8页（共19页）

故选：D．

x2y28．（5分）设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一

ab点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1||PF2|4a，则双曲线的离心率是( ) A．

2 3B．5 2C．6 2D．10 2【解答】解：点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半， 可得PF1PF2，

可设P为双曲线右支上一点， 可得|PF1||PF2|2a， 又|PF1||PF2|4a， 解得|PF1|3a，|PF2|a， 可得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即为9a2a24c2， 可得ec10． a2故选：D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，其20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选时的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知函数f(x)cos2x3sin2x，则下列说法正确的是( ) A．f(x)的周期为 B．xC．[D．[

3

是f(x)的一条对称轴

,]是f(x)的一个递增区间 36,]是f(x)的一个递减区间 63【解答】解：Qf(x)cos2x3sin2x2sin(2x)，

6f(x)的周期为，故A正确；

2Qf()2sin()2，x是f(x)的一条对称轴，故B正确；

33365当x[,]时，2x[，]，函数f(x)在[，]上不单调，故C错误；

3666636第9页（共19页）

当x[，]时，2x[，]，函数f(x)在[，]单调递减，故D正确． 6362263故选：ABD．

10．（5分）已知a，b为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列说法正确的有(

)

A．若，，则// C．若a，b，ab，则

B．若a//，b，则ab D．若a，ab，则b//

【解答】解：a，b为两条不同直线，，，为三个不同平面，

A．，，则//或相交，因此不正确； B．a//，b，则ab，因此正确； C．a，b，ab，则，正确；

D．a，ab，则b//，或b．因此不正确．

故选：BC．

11．（5分）在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是( ) uuur2uuuruuurA．|AC|ACgAB

uuur2uuuruuurB．|BC|BAgBC

uuur2uuuruuurCD C．|AB|ACguuuruuuruuuruuuruuur2(ACgAB)(BAgBC)uuurD．|CD| |AB|2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【解答】解：Q|AC|2ACgABACg(ACAB)0ACgBC0，A是正确的，同理B也正确，

uuur2uuur2uuur2uuur2|AB||AC|g|BC|，通过等积变换判断为正确 对于D答案可变形为|CD|g故选：C．

12．（5分）若函数f(x)满足：对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有函数值f（a），f（b），f（c）(0,)也是某个三角形的三边长，则称函数f(x)为“保三角形函数“．下面四个函数中保三角形函数有( ) A．f(x)x2(x0) C．f(x)sinx (0xB．f(x)x(x0)

4)

D．f(x)cosx(0x)

2c，b„c， 【解答】解：任给三角形，设它的三边长分别为a，则abc，不妨假设a„c，b，

对于f(x)x2，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但323252，

第10页（共19页）

所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故①不是“保三角形函数”； 由于ababc，所以②是“保三角形函数”； 对于f(x)sinx，x(0,)，abc0，

4f（a）f（b）sinasinb2sinababcc， cos2sincossincf（c）

2222所以③f(x)sinx，x(0,)是“保三角形函数”；

4对于f(x)cosx，x(0,)，

2若ab55，c，由f（a）f（b）2cos， cosf（c）12121212所以④f(x)cosx，x(0,)不是“保三角形函数”．

2故选：BC．

三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

rrrrrrr13．（5分）已知向量a(x,2)，b(2,1)，c(3,2x)，若ab，则|bc| 26 ．

rr【解答】解：Qab； rragb2x20；

x1； rc(3,2)；

rrbc(5,1)； rr|bc|26．

故答案为：26．

14．（5分）若直线3x4y120与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的内切圆的标准方程为 (x1)2(y1)21 ．

【解答】解：在直线3x4y120中，令x0代入3x4y120得，y3，则A(0,3)， 令y0代入3x4y120得，x4，则B(4,0) 设AOB的内切圆的圆心(a,b)，

因为内切圆与x、y轴都相切，所以abr， 又内切圆与直线3x4y120相切，所以ar|3a4b12|916，

化简解得，a1或a3 （舍去），圆心为(1,1)，半径为1，

第11页（共19页）

所以AOB的内切圆的方程为：(x，1)2(y1)21， 故答案为：(x1)2(y1)21．

15．（5分）在《九章算术》第五卷《商功》中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥．已知球O内接方锥PABCD的底面ABCD过球心O，若方锥PABCD的体积为

2，则球O的半径为 1 ，表面积为 ． 3【解答】解：设球O的半径为R，由题意可得正方形的中心为棱锥外接球的球心， 底面AB2R，棱锥的高OPR， 故VPABCD12R322(2R)gR， 333所以R1，

故球的表面积S4． 故答案为：1，4．

a416．（5分）已知函数f(x)(xa)2(ex)2，若存在x0，使得f(x0)„2，则实数a的

ee1e21值为 2 ．

e1a【解答】解：函数f(x)(xa)2(ex)2，

ea函数f(x)可以看作是动点M(x,ex)与动点N(a,)之间距离的平方，

e1动点M在函数yex的图象上，N在直线yx的图象上，

e问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

第12页（共19页）

1，解得x1， e112所以曲线上点M(1,)到直线yx的距离最小，最小距离d，

2eee14则f(x)…2，

e1由yex得，yex根据题意，要使f(x0)„44，则， f(x)0e21e21a1e21ee． e，解得a2a1e1此时N恰好为垂足，由kMNe21故答案为：2．

e1四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积Sb2a2c2ac．

33c，4（1）求a和角B；

（2）如图，BD平分ABC，且DAB45，AD6，求CD的长．

【解答】（本题满分为12分） 解：（1）因为b2a2c2ac，

a2c2b21所以cosB，

2ac2因为B(0,)， 所以B2， 3133又因为SacsinBc，

24所以a3．6分

（2）因为BD平分ABC， 所以ABDCBD60，

在ABD中，DAB45，AD6，ABD60， 由正弦定理可得：BD

ADgsin452，

sin60第13页（共19页）

在BCD中，CBD60，BCa3，BD2， 由余弦定理可得：CD2BD2BC22BDgBCgsin607， 所以CD7．12分

18．（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点．

（1）证明：EF//平面BCC1B1．

（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：Q直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB， 可以以A1为顶点建立空间坐标系如图，

QACAB4，AA16，

点E，F分别为CA1与AB的中点， 取B1C1中点D，

A1(0，0，0)，D(2，2，0)，E(2，0，3)，

F(0，2，6)，

在Rt△A1B1C1中，A1DB1C1， A1D平面BCC1B1，

uuuurA1D为平面BCC1D1的一个法向量， uuuruuuur而EF(2,2,3)，A1D(2,2,0)， uuuruuuurEFgA1D440，

第14页（共19页）

uuuruuuurEFA1D，

又EF平面BCC1B1，

EF//平面BCC1B1；

（2）易知A(0，0，6)，B1(0，4，0) uuuruuuurAF(0,2,0)，B1F(0,2,6)，

r设n(x,y,z)是平面AEF的一个法向量， rruuu则ngAF2y0， rruuungEF2x2y3z0，

取x1，则y0，z2， 32r即n(1,0,)，

3设B1F与平面AEF所成角为， rruuuu则sin|cosn,B1F|

rruuuungB1Fr| |ruuuu|n||B1F|4134033130， 65故B1F与平面AEF所成角的正弦值为3130． 65

2a10，2(anan2)5an1，19．（12分）已知等比数列{an}为递增数列，且a5数列{bn}满足：

2b1a1，bn1bna1．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

第15页（共19页）

（2）设cnanbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）设公比为q的等比数列{an}为递增数列，

2a10，2(anan2)5an1， 且a5则：22q25q0， 整理得：2q25q20， 解得：q2或

1， 2由于数列为递增数列， 故q2，

2a10， 且a5所以：a52a10a5q5， 解得：a525，

25所以：a142，

2故：an2g2n12n．

数列{bn}满足：2b1a1，bn1bna1． 所以：b11，bn1bn2

故：数列{bn}是以b11为首项，2为公差的等差数列． 所以：bn12(n1)2n1． （2）Cnanbn(2n1)2n， Tn1g213g22(2n1)2n①， 2Tn1g223g23(2n1)2n1②，

①②得：

Tn1g212g222g232g2n(2n1)g2n1，

2(2n1)Tn2g2(2n1)g2n1，

21整理得：Tn(2n3)2n16．

20．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，

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并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的． （1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；

（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入x（单位：万元） 销售收益y（单位：万元） 表格中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．

2 3 2 7 1 2 3 4 5 ˆ回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为bxyii1nninxynx2ˆ． ˆybx，axi12i

【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知(0.080.10.140.120.040.02)m1，m2；

（2）由（1）可知个小组依次是[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)， 其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04， 故可估计平均值为10.1630.2050.2870.2490.08110.045； （3）空白处填5．

由题意，x3，y3.8，

xiyi69，

i15xi255，bi1569533.81.2，

55532a3.81.230.2，

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y关于x的回归方程为y1.2x0.2．

3x2y221．（12分）已知椭圆C:221(ab0)过点P(1,)，左、右焦点分别是F1，F2过

2abF2的直线与椭圆交于M，N两点，△F1MN的周长为8b．

（1）求椭圆C的方程；

rrr（2）若点D满足F1DF1MF1N，求四边形F1MDN面积的最大值．

3x2y2【解答】解：（1）Q椭圆C:221(ab0)过点P(1,)，

2ab左、右焦点分别是F1，F2过F2的直线与椭圆交于M，N两点，△F1MN的周长为8b． 31221由题意得a，解得a24，b21， 4b4a8bx2椭圆C的方程为y21．

4（2）由（1）可知，F2的坐标为(3,0)， 直线MN的斜率不为0，

设直线MN的方程为xmy3，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x22y1联立4，得(4m2)y223my10，

xmy323m1，y1y2，且△0恒成立， 24m4m2uuuuruuuuruuuurQ点D满足F1DF1MF1N， y1y2四边形F1MDN为平行四边形，设其面积为S，

则S2SVF1MN2(SVMF1F2SVNF1F2)

112(|F1F2|g|y1||F1F2|g|y2|)|F1F2|(|y1||y2|)，

22Qy1y20，|y1||y2||y1y2|，

S|F1F2|g|y1y2|23|y1y2|，

23m24m21， |y1y2|(y1y2)4y1y2()44m24m2(4m2)221)， 令tm21(t…第18页（共19页）

则S83tt18383„4，

9(t3)2t26t9t6t当且仅当t3，即m2时，S有最大值4． 四边形F1MDN面积的最大值为4．

ax2x22．（12分）已知函数f(x)ln(x1)，其中a为常数．

(x1)2（1）当1a„2时，讨论f(x)的单调性；

11（2）当x0时，求g(x)xln(1)ln(1x)的最大值．

xxx(x2a3)ax2xf(x)(x1)． 【解答】解：（1）由f(x)ln(x1)，得

(x1)2(x1)2当1a当a当a3时，f(x)在(1,2a3)，(0,)上为增函数，f(x)在(2a3,0)上为减函数； 23时，f(x)在(1,)上单调递增； 23时，f(x)在(1,0)，(2a3,)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减； 211（2）Qg(x)xln(1)ln(1x)，

xx1g(x)g()，则g(x)在(0,)上的最大值等价于在(0，1]上的最大值，

xg(x)(1112， )ln(1x)lnx2xx1x112， )ln(1x)lnx2xx1x22x2x则h(x)3[ln(1x)]． 2x(x1)记h(x)g(x)(1由（1）的结论可得：h(x)在(0，1]上单调递减，则h(x)…h（1）0， 则g(x)在(0，1]上单调递增，g(x)的最大值为g（1）2ln2．

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