考数学试卷
考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上
x2y21的渐近线方程是() 1.双曲线
4924x B.yx 3939C.yx D.yx
24A.yB距离为4,2.平面上定点A、动点C满足|CA||CB|3,则CA的最小值是( )
A.
137 B. C. D.5 222x24y21右支交于不同的两点, 则实数k的取值范围3.直线ykx2与双曲线99是( )
151 B.k 262551C.k D.k或k
662A.k4.椭圆6xy6的长轴端点坐标为( ) A.(1,0),(1,0) B.(6,0),(6,0) C.(6,0),(6,0) D.(0,6),(0,6)
5.已知双曲线xmy1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值是( ) A.
222211 B.4 C. D.4 44y2x21上一点P到焦点F1的距离等于6,点P到另一个焦点F2的距离6.若椭圆
10036是( )
A.20 B.14 C.4 D.24
x2y27.已知P是以F1,F2为焦点的双曲线221上的一点,若PF1PF20,
ab试卷第1页,总4页
tanPF1F22,则此双曲线的离心率等于( )
A.5 B.5 C.25 D.3
8.已知点F1,F2是椭圆x22y22的两个焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么
|PF1PF2|的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.22
9.以O为中心,点F1,F2为椭圆两个焦点,椭圆上存在一点M,满足| MF1|=2| MO|=2| MF2|,则该椭圆的离心率为( ).
A.
2366 B. C. D. 2334x2y21上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若10.点P是椭圆
169|PF1||PF2|12,则F1PF2的大小为( )
A.
52 B. C. D. 6336x2y21的左、右焦点, A为短轴一端点, 弦AB过左11.点F1、F2分别为椭圆63焦点F1, 则ABF2的面积为 ( )
A.46 B.43 C.3 D.4
x2y21的右支上一点,M是圆(x5)2y24上一点,12.点P是双曲线点N916的坐标为(5,0),则|PM||PN|的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
x2y21,xyc恒成立,13.如果实数x,y满足则c的取值范围是____________. 214.一条渐近线方程为y3x,焦点(4,0),则双曲线的标准方程为______________.
x2y21的虚轴顶点,F1,F2其焦点,P是双曲线上一15.已知B1,B2是双曲线45点,圆C是PF1F2的内切圆,则CB1B2的面积为____________.
试卷第2页,总4页
x2y216.若方程1 所表示的曲线为C,给出下列四个命题:
4tt1①若C为椭圆,则1t4;
②若C为双曲线,则t4或t1; ③曲线C不可能是圆; ④若1t5,曲线C为椭圆,且焦点坐标为(52t,0); 2⑤若t1,曲线C为双曲线,且虚半轴长为1t.
其中真命题的序号为____________.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
x2y17.过椭圆 求线段|AB|1的右焦点作斜率为2的直线交椭圆于A,B两点,
43的长度。
2x2y2018.过椭圆C:221(ab0)的右焦点F1作一条倾角为45的直线交椭圆于
abA、B两点,若满足AF11F1B2
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆C的左焦点F2到直线AB的距离为2,求椭圆C的方程。
x2y21有相同的焦点,实半轴长为3. 19.已知双曲线C与椭圆84(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:ykx2与双曲线C有两个不同的交点A和B,且OAOB2(其
中O为原点),求k的取值范围.
20.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且一条渐近线与直线3xy20平行,若点(2,3)在双曲线上,求双曲线的标准方程。
y2x2521.双曲线C的方程为221(a0,b0),离心率e,顶点到渐近线的距离
ab2为25. 5(1)求双曲线C的方程;
(2)点P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一,
1二象限.若APPB,[,2],求△AOB面积的取值范围。
322.已知椭圆的中心在原点,一个长轴端点为P(0,2),离心率e3,过P分别作2试卷第3页,总4页
斜率为k1,k2的直线PA,PB,交椭圆于点A,B。 (1)求椭圆的方程;
(2)若k1k22,则直线AB是否经过某一定点?
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参
1.C 【解析】
试题分析:由方程可知a24,b29a2,b3,渐近线方程为y3x 2考点:双曲线性质 2.C 【解析】
试题分析:∵动点C满足|CA|-|CB|=3,且|AB|=4>3 ∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支
设A在B的左边,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立坐标系,可得
x2y2A(-2,0),B(2,0),设双曲线方程为221(a>0,b>0)
abx2y23722
1 ∴a= ,c=2,得b=c−a= ,双曲线方程为972244设C(m,n),得|CA|=(m+2)+n=(m+2)+ ∵C点横坐标m≥∴当且仅当m=
2
2
2
2
7421929(m-1)= m+4m+ 49943, 234972
时,|CA|的最小值为,得|CA|的最小值是 242考点:双曲线的简单性质
3.B 【解析】
试题分析:双曲线的渐近线方程为y=±
1x, 2x24y21,相切y可得(1-4k2)x2-16kx-25=0 由y=kx+2与双曲线99x24y21右支交于不同的两点, ∵y=kx+2与双曲线991k2∴
256k210014k20∴51k 62考点:直线与双曲线相交问题 4.D 【解析】
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y21a26a6,所以顶点为(0,6),(0,6) 试题分析:6xy6x6222考点:椭圆性质 5.C 【解析】
y21 试题分析:由题意可得,双曲线的方程可化为x1m2虚轴长是实轴长的2倍即∴m=1=4 m1 4考点:双曲线的简单性质 6.B 【解析】
试题分析:由方程可知a2100,b236a10,b62a20,由椭圆定义可知点P到另一个焦点F2的距离是20-6=14 考点:椭圆方程及性质 7.A 【解析】
试题分析:∵PF1F22, 1PF20,tanPF∴|PF2|=2|PF1|,∴| PF2|-| PF1|=| PF1|=2a,| PF2|=4a, ∴4a+16a=4c,∴c=5a,∴e=5 2
2
2
考点:双曲线的简单性质 8.C 【解析】
试题分析:∵O为F1F2的中点,
∴PF1PF2|2PO 1PF22PO,可得|PF当点P到原点的距离最小时,|OP|达到最小值,|PF1PF2|同时达到最小值.
x2y21 ∵椭圆x2y2化成标准形式,得222∴a=2且b=1,可得a=2,b=1
因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离,即|OP|最小值为b=1
22
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∴|PF1PF2|2PO的最小值为2
考点:椭圆的简单性质 9.C 【解析】
试题分析:延长MO与椭圆交于N, ∵MN与F1F2互相平分,
∴四边形MF1NF2是平行四边形,
∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,
222222
∴MN+F1F2=MF1+MF2+NF1+NF2, ∵MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a,
24a,NF2=MF1= aa,F1F2=2c, 334422422222
∴(a)+(2c)2=(a)+(a)+(a)+(a),
33333NF1=MF2=
26c22∴2,∴e
a333考点:椭圆的简单性质 10.C 【解析】
x2y21上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点, 试题分析:∵P是椭圆
169∴|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=27 ∵|PF1|•|PF2|=12,
2
∴(|PF1|+|PF2|)=,
22
∴|PF1|+|PF2|=40,
在F1PF2=1PF2中,cos∠F∴F1PF240281,
21223
考点:椭圆的简单性质
11.D 【解析】
x2y21,∴椭圆的左焦点F1(-3,0)试题分析:∵椭圆方程是,右焦点F2(3,630)
设A为上端点,得A(0,3),求得AF1的斜率k=1,得直线AF1的方程为y=x+3 x2y21消去x,得3y223y30 将直线AF1的方程与椭圆63答案第3页,总9页
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解之可得yA=3,yB=-
3 3∵椭圆的焦距|F1F2|=23 ∴ABF2的面积S=
1|F1F2|•|yA-yB|=4 2考点:椭圆的简单性质 12.D 【解析】
x2y21可知a29,b216,c225a3,c5,试题分析:由圆(x5)2y24的916圆
心
为
左
焦
点
Q5,0,由双曲线定义可知
|PM||PN||PM|PQ2a|PM|PQ2ar2a7,则|PM||PN|的
最大值为7
考点:双曲线定义及性质 13.(3,) 【解析】 试
题
分
析
:
由
x2y212可设
x2cyosx,ysx3,i ny最大值为si则c的取值范围是(3,) 考点:参数方程求最值
x2y21 14.
412【解析】
ba3x2y222c41 试题分析:由题意可知可得a4,b12,所以双曲线方程为
412c2a2b2考点:双曲线方程及性质 15.25 【解析】
试题分析:双曲线方程可知a24,b25a2,b5,c3,设内切圆与PF1,F1F2,PF2答案第4页,总9页
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切点分别为M,N,QPMPQ,FMF1N,F2NF2Q1F1NF2NPF1PF22a4F1NF2N2c6F1N5xN2,CB1B2的面积为S12bxN25 2考点:双曲线性质 16.②④⑤ 【解析】
4t05试题分析::①若C为椭圆,则t10,∴1<t<4且t≠,故①不正确;
24tt1②若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t>4或t<1,故②正确;
5时,曲线C是圆,故③不正确; 25④若1<t<,曲线C为椭圆,此时焦点在x轴上,且焦点坐标为(±52t,0),故
2③t= ④正确;
⑤若t<1,曲线C为双曲线,此时焦点在x轴上,且虚半轴长为1t,故⑤正确. 综上真命题的序号为②④⑤
考点:圆锥曲线的共同特征;命题的真假判断与应用 17.
60 192【解析】
试题分析:将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理及弦长公式AB1k解 试
题
解
析
:
联
立
x1x2求
y2(x1){23x4y212得
19x232x40,则
|AB|560 32216191919考点:直线与椭圆相交问题
x2y221 18.(1)(2)973【解析】
试题分析:(1)将直线方程椭圆方程联立,得到关于A,B点坐标的关系式,将其代入
1AF1F1B可得到a,b,c的方程,从而求得离心率;(2)由椭圆C的左焦点F2到直线AB
2的距离为2可得到a,b,c的关系式,与(1)中结论联立可求得a,b,c的值,从而得到椭圆
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方程
试题解析:(1)联立{xyc222222bxayab4
2cb2b4,y1y22得(ab)y2cbyb0y1y22 22abab2222又因为AF112F1B,得y22y1 得a2b28c2e 23x2y22c2,a3 椭圆方程为(2)直线AB:xyc0,则1
9722c考点:椭圆方程及性质
x233y21(2)k(1,)(,1) 19.(1)333【解析】
x2y2试题分析:(1)设双曲线的方程为221 (a>0,b>0),由已知易求a,c,根据a,
abb,c的平方关系即可求得b值;(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,则由OAOB2,可得x1x2y1y2k21x1x2
2kx1x222,联立方程组消掉y,根据韦达定理即可得到关于k的不等式,注意
判别式大于0,解出即得k的范围
x2y221(a0,b0)2ab试题解析:(1)解:设双曲线的方程为a3,c2b1, x2y21. 故双曲线方程为322x2(13k)x62kx90 ykx2y1得(2)解:将代入
3213k2012k,203由得且k1 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OAOB2得
x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)=(k21)x1x22k(x1x2)2
(k21)1962k2k3.2k222213k13k,得3
答案第6页,总9页
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21332又k1,k1,即k(1,)(,1)
333考点:直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程
y21 20.x32【解析】
y2,将点(2,3)的坐标代入可求得λ的值 试题分析:依题意可设出曲线方程为x32y2b492221 试题解析:由3 及221得a1,b3得双曲线方程为xa3ab考点:双曲线方程及性质
y28
21.(1)x21.(2)[2,].
34【解析】
试题分析:(Ⅰ)先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程,进而根据顶点到渐近线的距离求得a,b和c的关系,进而根据离心率求得a和c的关系,最后根据c=ab综合得方程组求得a,b和c,则双曲线方程可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得渐近线方程,设A(m,
222m),B(-n,2n),根据APPB,得P[点的坐标代入双曲线方程化简整理m,n与λ的关系,2],3式,设∠AOB=2θ,进而根据直线的斜率求得tanθ,进而求得sin2θ,进而表示出|OA|,得到△AOB的面积的表达式,根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值,△AOB面积的取值范围可得
试题解析:(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点(O,a)到渐近线axby0的距离为25 ,5∴
aba2b225ab25,即,5c5ab25a2,,c5由得b1,∴双曲线C的方程为5c,[a2c5,c2a2b2y2x21. 4(Ⅱ)设直线AB的方程为ykxm,由题意知|k|2,m0. 由{
ykxmy2x
答案第7页,总9页
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得A点的坐标为(ykxmm2mm2m得B点的坐标为(,),由{,).
y2x2k2k2k2k由APPB得P点的坐标为(m12m1(),()), 12k2k12k2ky24m2(1)22将P点坐标代入x1得.设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐244k标为(0,m).
1mm14m211SAOB=m()()1. 222k2k24k2S()111()1,[,2],23设在
1,131,2上是减函数,在
上是减函数
当1时,△AOB的面积取得最小值2,当∴△AOB面积的取值范围是[2,].
81时,△AOB的面积取得最大值
3.38
3
考点:双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
y2x21(2)直线AB恒过点(0,6) 22.(1)4【解析】
y2x2试题分析:(1)设椭圆的方程为221(a>b>0),根据题意建立关于a、b的方程组
ab解出a、b之值,即可得到椭圆的方程;(2)由题意得直线PA方程为y=k1x-2,与椭圆方程消去y得到关于x的方程,解出A点坐标含有k1的式子,同理得到B点坐标含有k2的式子,利用直线的两点式方程列式并结合k1k2=2化简整理,可证出AB方程当x=0时y=-6,由此可得直线AB必过定点Q(0,-6).
y2x21 试题解析:(1)易得椭圆的方程4(2)直线PA,PB的方程分别为yk1x2,yk2x2.由yk1x2y4x4,2k182222 得
2(k14)x24k1x0,解得x0或x4k1k142,于是A(4k12k14k14),同理
B(4k22k24k24,2k2822)。
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直线PA,PB的方程分别为yk1x2,yk2x2.由yk1x6y4x4,2k182222 得
(k14)x4k1x0,解得x0或x224k1k142,于是A(24k12k14k14),同理
B(4k222k24k22k18,2k282222k122k12(k12)2,2),由k2得B(2 直线AB:)。kABk1k1k11k11422(k12)4ky2(x21),
k1k14k14令x0得y2k18k14228(k12)k14226,则直线AB恒过点(0,6)
考点:恒过定点的直线;椭圆的标准方程
答案第9页,总9页
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