【优化方案】高考数学总复习 第七章第1课时知能演练+轻松闯关 文.doc

【优化方案】高考数学总复习 第七章第1课时知能演

练+轻松闯关 文

π

1．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )

2

A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0 1解析：选D.直线2x－y－2＝0与y轴交点为A(0，－2)，所求直线过A且斜率为－，

2

1

∴l：y＋2＝－(x－0)，即x＋2y＋4＝0.

2

2．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 解析：选C.原直线可化为y＝－x＋，则k＝－＞0，＜0.故直线通过第一、三、四象限．

2

3．直线x＋ay－a＝0(a＞0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是( )

A．1 B．2 C.2 D．0

xy1

解析：选A.方程可化为＋＝1，因为a＞0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当aa1a

abcbabcba1

＝，即a＝1时取等号．

a4．(2011·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点； ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．

1

解析：①正确．设y＝2x＋，当x是整数时，y是无理数，(x，y)必不是整点．

2②不正确．设k＝2，b＝－2，则y＝2(x－1)，过整点(1,0)．

③正确．直线l经过无穷多个整点，则直线l必然经过两个不同的整点，显然成立；反之亦成立，设直线l经过两个整点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则l的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，令x＝x1＋k(x2－x1)(k∈Z)，则x∈Z，且y＝k(y2－y1)＋y1也是整数，故直线l经过无穷多个整点．

④不正确．由③知直线l经过无穷多个整点的充要条件是直线l经过两个不同的整点，设为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则直线l的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，

又∵直线方程为y＝kx＋b的形式，∴x2≠x1，

y2－y1y1x2－y2x111∴y＝x＋，∴k，b∈Q；反之不成立，若k，b∈Q，设y＝x＋，则xx2－x1x2－x134

3＝3y－，

4

3若y∈Z，则3y－∈/Z，即x∈/Z，即由k，b∈Q得不到y＝kx＋b经过无穷多个整点． 4⑤正确．直线y＝2(x－1)只经过整点(1,0)．

答案：①③⑤

5．设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

解析：直线2x＋y－b＝0在x轴上的截距为，

2

欲使直线2x＋y－b＝0与线段AB相交， 则需－1≤≤1，

2

解得－2≤b≤2. 答案：[－2,2]

一、选择题

2

1．(2012·东营质检)直线经过A(2,1)，B(1，m)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )

ππ

A．0≤α＜π B．0≤α≤或＜α＜π

42

ππππ

C．0≤α≤ D.≤α＜或＜α＜π

4422

2

m－12

解析：选B.直线l的斜率k＝＝1－m≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tanα≤1，

1－2

即tanα＜0或0≤tanα≤1，

ππ

所以＜α＜π或0≤α≤，故选B.

24

2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0

解析：选D.设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.故选D.

22

3．若直线(2m＋m－3)x＋(m－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( ) A．1 B．2

11C．－ D．2或－

22

2

解析：选D.当2m＋m－3≠0时，

4m－12

在x轴上的截距为2＝1，即2m－3m－2＝0，

2m＋m－31

∴m＝2或m＝－. 2

4．光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A．y＝3x－3 B．y＝－3x＋3 C．y＝－3x－3 D．y＝3x＋3

解析：选B.M点关于直线x＝1的对称点为M′(0,3)．

3－0∴k＝＝－3，由点斜式知y＝－3(x－1)

0－1

即直线方程为y＝－3x＋3，故选B.

bb

5．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )

1A．k≥ B．k≤－2

211C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ 22

解析：选D.由已知直线l恒过定点P(2,1)，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA11

＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.

22

二、填空题

6．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________． 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan60°＝3，又因为直线在y轴上的截距是5，由斜截式，得直线的方程为y＝3x＋5.

答案：y＝3x＋5

7．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．

a－1

解析：∵直线的斜率k＝，且直线的倾斜角为钝角，

a＋2

a－1∴＜0，解得－2＜a＜1. a＋2

答案：(－2,1) 8．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．

解析：AB所在直线方程为＋＝1，

34

xy1xy21∴·≤(＋)＝， 344344

∴xy≤3，当且仅当＝时取等号．

34

答案：3 三、解答题

9．求下列直线l的方程：

(1)过点A(2,1)，它的倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半； (2)过点A(2,1)和直线x－2y－3＝0与2x－3y－2＝0的交点．

xyxyβ33

解：(1)设直线l与l1的倾斜角分别为α、β，则α＝， 又tanβ＝－，则－＝244

2tanα1

，解得tanα＝3，或tanα＝－(舍去)． 2

1－tanα3

由点斜式得y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.

x－2y－3＝0，

(2)解方程组

2x－3y－2＝0，

x＝－5，

得

y＝－4，

即两条直线的交点坐标为(－5，－4)．

y－1x－2

由两点式得＝，即5x－7y－3＝0.

－4－1－5－2

10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的

1

方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.

6

解：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，

4

它在x轴、y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

k

4

由已知，得|(3k＋4)(－－3)|＝6，

k28

解得k1＝－或k2＝－.

33

所以直线l的方程为

2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，

1

则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

6

由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 11．(探究选做)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0. (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．

解：(1)证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0， ∴无论k取何值，直线过定点(－2,1)．

1

(2)令y＝0，得A点坐标为(－2－，0)，

k令x＝0，得B点坐标为(0,2k＋1)(k＞0)，

11

∴S△AOB＝|－2－||2k＋1|

2k1111

＝(2＋)(2k＋1)＝(4k＋＋4) 2k2k1

≥(4＋4)＝4. 2

11

当且仅当4k＝，即k＝时取等号．

k2

即△AOB的面积S的最小值为4，

1

此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，

2

即x－2y＋4＝0.