18.2 特殊的平行四边形矩形的判定练习

要点感知 矩形的判定：①有__________个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线__________的平行四边形是矩形；③有__________个角是直角的四边形是矩形.

预习练习 如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有__________(填写序号).

知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形

1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是____________________.(写出一种情况即可)

2.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件____________________，使四边形ABCD为矩形.

}

3.(2014·百色)如图，已知点E，F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2.

(1)求证：△AED≌△CFB；

(2)若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形请说明理由.

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知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形

4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) =CD =BC =BC =BD

5.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是( ) =CO，BO=DO =BO=CO=DO

=BD，AO=CO =CO，BO=DO，AC⊥BD

6.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗请说明理由.

/

知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形 7.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( )

A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 ）

C.测量对角线是否垂直

D.测量其内角是否都为直角

8.平行四边形各内角的角平分线围成的四边形为( )

A.任意四边形 B.平行四边形 C.矩形 D.以上都不对

9.如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__________.

10.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各组条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的为( ) =CD,AD=BC,AC=BD =CO,BO=DO,∠A=90° #

C.∠A=∠C,∠B+∠C=180°,∠AOB=∠BOC D.∠A=∠C,∠B=∠D,∠A=∠B

11.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A= 30°,BC=2,AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )

3 B.33 3

12.（2013·呼和浩特）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________.

13.(2014·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.

%

(1)求证：△BOE≌△DOF；

(2)若OD=

…

1AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形请证明你的结论. 2

14.(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E、F，连接BE、CF.

(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__________，并证明;

(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.

【

挑战自我

15.(2013·张家界)如图，△ABC中,点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

（1）求证：OE=OF；

、

（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形并说明理由.

>

参

课前预习

要点感知 一 相等 三 预习练习 ①④ 当堂训练

1.答案不唯一，如AD=BC或AB∥CD等 2.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90° 》

3.(1)证明：∵DE∥BF，∴∠E=∠F.

又∵∠1=∠2，AE=CF， ∴△AED≌△CFB(AAS).

(2)四边形ABCD是矩形.理由如下：

∵△AED≌△CFB，∴AD=CB，∠EAD=∠FCB. ∴180°-∠EAD=180°-∠FCB，即∠DAC=∠BCA. ∴AD∥BC.

∴四边形ABCD为平行四边形. ∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°. ∴ABCD为矩形. 》

6.四边形EFGH是矩形.理由如下：

∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=BO=CO=DO.

∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点， ∴EO=FO=GO=HO. ∴OE=OG,OF=OH.

∴四边形EFGH是平行四边形. ∵EO+GO=FO+HO，即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. ;

课后作业 13.略.

14.(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一). 证明：∵BE∥CF，∴∠EBH=∠FCH.

∵点H是边BC的中点，∴BH=CH. 又∵∠EHB=∠FHC，∴△BEH≌△CFH.

(2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下：

∵△BEH≌△CFH，∴BH=CH，EH=FH. …

∴四边形BFCE是平行四边形. 又∵BH=EH，∴EF=BC. ∴四边形BFCE是矩形.

15.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，

∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC. 同理可证：OC=OE. ∴OE=OF.

(2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，

∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC. ∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.

而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°， ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°.

∴EF=CE2CF2=12252=13. ∴OC=

113EF=. 22 (3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.理由如下： 由(1)知OE=OF,当点O移动到AC中点时有OA=OC， ∴四边形AECF为平行四边形. 又∵∠ECF=90°， ∴四边形AECF为矩形.