二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数据110.11，逢2进1，其权的大小顺序为22、21、20、2-1、2-2。对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：
〔aa...a...a〕2
(n-1)
(n-2)
0
(-m)
=a(n-1) * 2 (n-1)+ a(n-2) *2(n-2) + ...a * 2(0)...+a(-m)* 2(-m)
二进制数据一般可写为：〔a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)〕2。
注意：
1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。
2.a(n-1)中的(n-1)为下标，输入法无法打出所以用括号括住，防止混淆。 3.2^2表示2的平方，以此类推。
【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。
解：〔111.01〕2=(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)
二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。
二进制运算
二进制数据的算术运算的根本规律和十进制数的运算非常相似。最常用的是加法运算和乘法运算。
有四种情况： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 ps:0 进位为1
【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和
解： 1 1 0 1 +1 0 1 1 ------------------- 1 1 0 0 0 2.二进制乘法运算
有四种情况： 0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1
【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之积
解： 1 1 1 0 × 1 0 1
----------------------- 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
------------------------- 1 0 0 0 1 1 0
(这些计算就跟十进制的加或者乘法一样，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了)
3. 二进制减法 0－0=0，1－0=1，1－1=0，10－1=1。
4. 二进制除法 0÷0=0，0÷1=0，1÷1=1，1÷0=0〔无意义〕
5. 二进制拈加法
拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。
拈加法运算与进展加法类似，但不需要做进位。此算法在博弈论〔Game Theory〕中被广泛利用
计算机中的十进制小数转换二进制
计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。 比方0.65换算成二进制就是：
0.65 * 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘二取整 0.3 * 2 = 0.6 取0， 留下0.6继续乘二取整 0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整 0.2 * 2 = 0.4 取0， 留下0.4继续乘二取整 0.4 * 2 = 0.8 取0， 留下0.8继续乘二取整 0.8 * 2 = 1.6 取1， 留下0.6继续乘二取整 0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整 .......
一直循环，直到到达精度限制才停顿〔所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等〕。
这时，十进制的0.65，用二进制就可以表示为：1010011。
还值得一提的是，在目前的计算机中，除了十进制是有符号的外，其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。在现实生活和记数器中，假设表示数的“器件〞只有两种状态，如电灯的“亮〞与“灭〞，开关的“开〞与“关〞。一种状态表示数码0，另一种状态表示数码1，1加1应该等于2，因为没有数码2，只能向上一个数位进一，就是采用“满二进一〞的原那么，这和十进制是采用“满十进一〞原那么完全一样。
1+1=10， 10+1=11， 11+1=100，
100+1=101，101+1=110，110+1=111，111+1+=1000，……
可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，……。
二进制同样是“位值制〞。同一个数码1，在不同数位上表示的数值是不同的。
如11111，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。
所谓二进制，也就是计算机运算时用的一种算法。二进制只由一和零组成。 二进制是世界上第一台计算机上用的算法，最古老的计算机里有一个个灯泡，当运算的时候，比方要表达“一〞，第一个灯泡会亮起来。要表达“二〞，那么第一个灯泡熄灭，第二个灯泡就会亮起来。 二进制就是等于2时就要进位。
0=00000000 1=00000001 2=00000010 3=00000011 4=00000100 5=00000101 6=00000110 7=00000111 8=00001000 9=00001001 10=00001010 ……
即是逢二进一，二进制广泛用于最根底的运算方式，计算机的运行计算根底就是基于二进制来运行。只是用二进制执行运算，用其他进制表现出来。其实把二进制三位一组分开就是八进制, 四位一组就是十六进制。
进制转换
十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法：二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法
1．二进制与十进制间的互相转换：
〔1〕二进制转十进制
方法：“按权展开求和〞 例： 〔1011.01〕2 =〔1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^(-1)+1×2^(-2) 〕10 =〔8+0+2+1+0+0.25〕10 =〔11.25〕10 规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十 分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。
注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。 （2）十进制转二进制
十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列〞〔除二取余法〕 例： 〔89〕10 =〔1011001〕2 89÷2 ……1 44÷2 ……0 22÷2 ……0 11÷2 ……1 5÷2 ……1 2÷2 ……0 1
十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序排列〞〔乘2取整法〕 例： (0．625)10= (0．101)2 0.625X2=1.25 ……1 0.25 X2=0.50 ……0 0.50 X2=1.00 ……1
2.八进制与二进制的转换：
二进制数转换成八进制数：
从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位为一组用一位八进制数的数字表示，缺乏3位的要用“0〞补足3位，就得到一个八进制数。 八进制数转换成二进制数：
把每一个八进制数转换成3位的二进制数，就得到一个二进制数。
八进制数字与二进制数字对应关系如下： 000 -> 0 100 -> 4 001 -> 1 101 -> 5 010 -> 2 110 -> 6 011 -> 3 111 -> 7
例：将八进制的37.416转换成二进制数：
3 7 ． 4 1 6 011 111 ．100 001 110 即：〔37.416〕8 =〔11111.10000111〕2
例：将二进制的10110.0011 转换成八进制：
0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 2 6 . 1 4 即：〔10110.011〕2 = 〔26.14〕8
3．十六进制与二进制的转换：
二进制数转换成十六进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每4位为一组用一位十六进制数的数字表示，缺乏4位的要用“0〞补足4位，就得到一个十六进制数。 十六进制数转换成二进制数：把每一个十六进制数转换成4位的二进制数，就得到一个二进制数。
十六进制数字与二进制数字的对应关系如下： 0000 -> 0 0100 -> 4 1000 -> 8 1100 -> C 0001 -> 1 0101 -> 5 1001 -> 9 1101 -> D 0010 -> 2 0110 -> 6 1010 -> A 1110 -> E 0011 -> 3 0111 -> 7 1011 -> B 1111 -> F 例：将十六进制数5DF.9 转换成二进制：
5 D F ． 9 0101 1101 1111 ．1001
例：将二进制数1100001.111 转换成十六进制：
0110 0001 ． 1110 6 1 ． E
即：〔1100001.111〕2 =〔61.E〕16 二进制、十六进制、十进制的快速转换
8421法
记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。 下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值〔中间略过部分〕
仅4位的2进制数快速计算方法 十进制值 十六进值
1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B 1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9
....
0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0
二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。
如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)： 1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011 F D ， A 5 ， 9 B
反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？
先转换F：看到F，我们需知道它是15〔可能你还不熟悉A～F这五个数〕，然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。
接着转换 D：看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。 所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1101
由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。
比方，十进制数 1234转换成二制数，假设要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较屡次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:
被除数 计算过程 商 余数 1234 1234/16 77 2 77 77/16 4 13 (D) 4 4/16 0 4
结果16进制为： 0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1101 0010。 其中对映关系为：
0100 -- 4 1101 -- D 0010 -- 2
同样，假设一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。 下面举例一个int类型的二进制数：
01101101 11100101 10101111 00011011 我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B
原码、反码、补码
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码。
原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0〞表示正，“1〞表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码一样；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
原码10010= 反码11101 〔10010，1为符号码，故为负〕 (11101) 二进制= -13 十进制 补码表示法规定：正数的补码与其原码一样；负数的补码是在其反码的末位加1。 1、原码、反码和补码的表示方法
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如： 符号位 数值位
[+7]原= 0 0000111 B [-7]原= 1 0000111 B
注意：a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127 反码
（2） 反码：
正数：正数的反码与原码一样。
负数：负数的反码，符号位为“1〞，数值部分按位取反。
例如： 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B [-7]反= 1 1111000 B 注意：a. 数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=00000000B [- 0]反=11111111B b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127 补码
〔3〕补码的表示方法
1〕模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。 例如，
时钟是以12进制进展计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上 〔正拨〕12的整数位或减去〔反拨〕12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为〔下午〕2点钟〔14=14-12=2〕。
从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格〔加上2小时〕，即2点〔0-10=-10=-10+12=2〕。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此
可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；
因此，在以12为模的系统中，但凡减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了〔注：计算机的硬件构造中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法〕。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与存放器都有一定字长的限制〔假设字长为8〕，因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码〞。
2）补码的表示：
正数：正数的补码和原码一样。 负数：负数的补码那么是符号位为“1〞。并且，这个“1〞既是符号位，也是数值位。数 值部分按位取反后再在末位〔最低位〕加1。也就是“反码+1〞。 例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B [-7]补= 1 1111001 B 补码在微型机中是一种重要的编码形式， 请注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进展运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c. 假设字长为8位，那么补码所表示的范围为-128～+127；进展补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2．原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均一样，不需转换。 在此，仅以负数情况分析。 〔1〕原码，求补码
例：某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。 解：由[X]原=10110100B知，X为负数。
求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反； 求其补码时，再在其反码的末位加1。 1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反 1 +1
1 1 0 0 1 1 0 0 补码
故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。 〔2〕补码，求原码
分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。
例：某数X的补码11101110B，试求其原码。 解：由[X]补=11101110B知，X为负数。 采用逆推法
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 1 1 0 1 1 0 1 反码〔末位减1〕
1 0 0 1 0 0 1 0 原码〔符号位不变，数值位取反〕 1．3．2 有符号数运算时的溢出问题 请大家来做两个题目：
两正数相加怎么变成了负数？？？
1）
〔+72〕+〔+98〕=？ 0 1 0 0 1 0 0 0 B +72 + 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98 1 0 1 0 1 0 1 0 B -86
两负数相加怎么会得出正数？？？ 2〕
〔-83〕+〔-80〕=？ 1 0 1 0 1 1 0 1 B -83 + 1 0 1 1 0 0 0 0 B -80 0 1 0 1 1 1 0 1 B +93
考虑：这两个题目，按照正常的法那么来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？ 答案：这是因为发生了溢出。
假设计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1
当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进展加法运算时，假设运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出如今两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算，假设次高位〔数值部分最高位〕形成进位参加最高位，而最高位〔符号位〕相加〔包括次高位的进位〕却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位参加最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。
而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位〔正数减负数，差超出范围〕，或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位〔负数减正数，差超出范围〕，也会出现溢出。
在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动去除，而过程是一样的，没有必要去除。故需设去除各部分及去除全部的按钮。测试时注意最大、最小正负数。用户使用时注意讲解不会溢出：当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000...，它不是负数，故不会溢出。
在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全一样；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码那么是反码的最低位加一。注意符号位不变。
总结
提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某〞，而不是只显示数值。 1.原码的求法:
(1)对于正数,转化为二进制数,在最前面添加一符号位(这是规定的),用1表示负数,0表示
正数.如:0000 0000是一个字节,其中左边第一个0为符号位,表示是正数,其它七位表示二进制的值.其实,机器不管这些,什么符号位还是值,机器统统看作是值来计算. 正数的原码、反码、补码是同一个数!
(2)对于负数,转化为二进制数,前面符号位为1.表示是负数. 计算原码只要在转化的二进制数前面加上相应的符号位就行了.
2.反码的求法:对于负数,将原码各位取反,符号位不变.
3.补码的求法:对于负数,将反码加上二进制的1即可,也就是反码在最后一位上加上1就是补码了.
二进制的逻辑运算 根本概念
逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。二进制数1和0在逻辑上可以代表“真〞与“假〞、“是〞与“否〞、“有〞与“无〞。这种具有逻辑属性的变量就称为逻辑变量。
计算机的逻辑运算的算术运算的主要区别是：逻辑运算是按位进展的，位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联络。
逻辑运算主要包括三种根本运算：逻辑加法〔又称“或〞运算〕、逻辑乘法〔又称“与〞运算〕和逻辑否认〔又称“非〞运算〕。此外，“异或〞运算也很有用。
算法
逻辑加法〔“或〞运算〕
逻辑加法通常用符号“+〞或“∨〞来表示。逻辑加法运算规那么如下：
0+0=0， 0∨0=0 0+1=1， 0∨1=1 1+0=1， 1∨0=1 1+1=1， 1∨1=1
从上式可见，逻辑加法有“或〞的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1那么逻辑加为1。
逻辑乘法〔“与〞运算〕
逻辑乘法通常用符号“×〞或“∧〞或“·〞来表示。逻辑乘法运算规那么如下：
0×0=0， 0∧0=0， 0·0=0 0×1=0， 0∧1=0， 0·1=0 1×0=0， 1∧0=0， 1·0=0 1×1=1， 1∧1=1， 1·1=1
不难看出，逻辑乘法有“与〞的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。
逻辑否认〔非运算〕
逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规那么为： 0=1 非0等于1 1=0 非1等于0
异或逻辑运算〔半加运算〕
异或运算通常用符号\"⊕\"表示，其运算规那么为：
0⊕0=0 0同0异或，结果为0 0⊕1=1 0同1异或，结果为1 1⊕0=1 1同0异或，结果为1 1⊕1=0 1同1异或，结果为0
即两个逻辑变量相异，输出才为1
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