截长补短法巧解20131125

截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 方法一（好想不好证）

CFDE截长补短法有多种方法。 截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例：

CFDEHGPBA

在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数

量关系；

HGPBA

方法二（好证不好想）

CFDEHGPBMA

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

ABFDCE

例1.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45o。

求证：EF=DE+BF 解：（简单思路）

ABFGDCE

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o AD=AB 又DG=BF

所以ADGABF（SAS） GAD=FAB AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAF+FAB =DAF+GAD=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90o-45o=45o

GAE=FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以EAGEAF（SAS） EF=GE=GD+DE=BF+DE （1）变形a

ABEDCF

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 变形a解：（简单思路）

ABGEDCF

EF= BF-DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得

ADE=ABG=90o AD=AB 又DE=BG

所以ADEABG（SAS） EAD=GAB AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB =DAG+EAD=GAE 所以GAF=GAE-EAF =90o-45o=45o

GAF=EAF=45o 又AG=AE AF=AF

所以EAFGAF（SAS） EF=GF=BF-BG=BF-DE （2）变形b

FABDCE

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45o。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

变形b解：（简单思路）

FABDCEG

EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。 由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o AD=AB 又DG=BF

所以ADGABF（SAS） GAD=FAB AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB =BAF+GAB=GAF 所以GAE=GAF-EAF =90o-45o=45o

GAE=FAE=45o 又AG=AF AE=AE

所以EAGEAF（SAS） EF=EG=ED-GD=DE-BF （3）变形c

AFEBjCD

正三角形ABC中，E在AB上，F在ACEDF=45o。

DB=DC，BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

变形c解：（简单思路）

AFEBCGD

EF=BE+FC

延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。 由ABC是正三角形得

ABC=ACB=60o 又DB=DC，BDC=120o 所以DBC=DCB=30o

DBE=ABC+DBC=60o+30o=90o ACD=ACB+DCB=60o+30o=90o 所以GCD=180o-ACD=90o

DBE=DCG=90o 又DB=DC，BE=CG

所以DBEDCG（SAS） EDB=GDC DE=DG

又DBC=120o=EDB+EDC

=GDC+EDC=EDG 所以GDF=EDG-EDF =120o-60o=60o

GDF=EDF=60o

又DG=DE

DF=DF

所以GDFEDF（SAS）

EF=GF=CG+FC=BE+FC （4）变形d

ABFDCE

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，

EAD=15o，FAB=30o。AD=3 求AEF的面积 变形d解：（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。 过E作EHAG.前面如（1）所证， ADGABF，EAGEAF

GAD=FAB=30o，SEAG=SEAF 在RtADG中，GAD=30o，AD=3

AGD=60o，AG=2

设EH=x

在RtEGH中和RtEHA中

AGD=60

o，HAE=45o

HG=33x，AH=x

AG=2=HG+AH=33x+x,EH=x=3-3

SEAF=SEAG=EHAG2=3-3.

ABOEDC

例2.正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，

点E在BD上，AE平分DAC。 求证：AC/2=AD-EO 解：（简单思路）

ABGOEDC

过E作EGAD于G

因为四边形ABCD是正方形

ADC=90o，BD平分ADC，ACBD 所以ADB=ADC/2=45o

因为AE平分DAC，EOAC，EGAD 所以EAO=EAG，

DGE=AOE=AGE=90o又AE=AE， 所以AEOAEG（AAS） 所以AG=AO，EO=EG 又ADB=45o，DGE=90o 所以DGE为等腰直角三角形 DG=EG=EO

AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2

（2）加强版

NABFEDMC

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。 请问MN、AD、EF有什么数量关系？

（2）加强版解：（简单思路）

NQABPGFEDMC

MN/2=AD-EF

过E作EGAD于G，作EQAB于Q， 过B做BPMN于P

按照（2）的解法，可求证， GNEFNE（AAS） DGE为等腰直角三角形 AG=AD-DG=AD-EF，

因为四边形ABCD为正方形，

ABC=GAQ=BCM=90o BD平分ABC，BC=BA

ABD=ABC/2=45o，又EQB=90o

EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45o

因为GAQ=EGA=EQA=90o 所以四边形AGEQ为矩形， EQ=AG=AD-EF，EQ//AG QEN=ENG

又ENG=ENF，所以QEN=ENF

由BC=BA，BCM=BAN=90o，CM=AN， 所以BCMBAN（SAS） BM=BN，CBM=ABN

ABC=90o=ABM+CBM =ABM+ABN=MBN，又BM=BN 所以MBN为等腰Rt三角形， 又BP斜边MN于P，

所以NPB为等腰Rt三角形。

BP=MN/2，PNB=45o。

BNE=ENF+PNB BEN=QEN+QEB

又QEN=ENF，PNB=QEB=45o 所以BNE=BEN BN=BE，

又PNB=QEB=45o=NBP=EBQ 所以BEQBNP（SAS）

EQ=BP

因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2 所以AD-EF=MN/2。