2008年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析文件-新版.doc

参与试题解析

一、选择题（共 10 小题，每小题5 分，满分 50 分） 1．（ 5 分）（2008 ?浙江）已知 a 是实数， A．1 B．﹣1 C． D．﹣

【考点】 复数代数形式の混合运算．

【分析】 化简复数分母为实数，复数化a+bi（a、b 是实为数）明确分类即可． 【解答】 解：由

是纯虚数，

是纯虚数，则a=（

）

则 故选A ．

且 ，故 a=1

【点评】 本小题主要考查复数の概念．是基础 ．题

2．（ 5 分）（2008?浙江）已知 U=R，A={x|x ＞0} ，B={x|x ≤﹣1} ，则（ A∩?UB）∪（ B∩?UA ） =（

）

D．{x|x ＞0 或 x≤﹣1}

A．? B．{x|x ≤0} C．{x|x ＞﹣1} 【考点】 交、并、补集の混合运算． 计算．

【解答】 解：∵ U=R ，A={x|x ＞0} ， B={x|x ≤﹣1} ， ∴CuB={x|x ＞﹣1} ，CuA={x|x ≤0} ∴A ∩CuB={x|x ＞0} ，B∩CuA={x|x ≤﹣1}

∴（ A∩CuB）∪（ B∩CuA）={x|x ＞0 或 x≤﹣1} ， 故选D．

【点评】 此题主要考查一元二次不等式の解法及集合の交集及补集运算，

一元二次不等式の

解法及集合间の交、并、补运算布高考中の常考内容，要认真掌握，并确保得分．

2

2

【分析】 由题意知 U=R ，A={x|x ＞0} ，B={x|x ≤﹣1} ，然后根据交集の定义和运算法则 行进

3．（ 5 分）（2008 ?浙江）已知 a，b 都是实数，那么 “a A．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件の判断． 【专 】题常规题型．

2

2

＞b

”是 “a＞b”の（

）

2 2 2 2

【分析】 首先由于 “a ＞b

”不能推出 “a＞b”；反之， 由“a＞ b”也不能推出 “a 是“a＞ b”の既不充分也不必要条件．

2

2

＞b ”．故 “a

＞b ”

【解答】 解：∵ “a ＞b

”既不能推出 “a＞b”；

2

2

反之，由 “a＞b”也不能推出 “a ＞b

2

．”2

∴“a ＞b

是” “a＞b”の既不充分也不必要条件．

故选D．

【点评】 本小题主要考查充要条件相关知识．

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1

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4．（ 5 分）（2008 ?浙江）在（ x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の展开式中，含 x

项の系数是（ ） A．﹣15 B．85

C．﹣120

D．274

【考点】 二项式定理の应用．

【分析】 本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问 ．题

本题可通过选括号 （即 5 个括号

中 4 个提供 x，其余 1 个提供常数）の思路来完成．

4 【解答】 解：含 x

の项

是由（ x﹣1）（ x﹣2）（ x﹣3）（ x﹣4）（ x﹣5）の 5 个括号中 4 个括 号出 x仅1 个括号出常数 4 ∴展开式中含 x

の项の系数是（﹣1） +（﹣2）+（﹣3）+（﹣4） +（﹣5）=﹣15． 故选A ．

【点评】 本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项の系数．

5．（ 5 分）（2008 ?浙江）在同一平面直角坐标系中，函数 （x∈[0，の图象和直线の交点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．4

【考点】 函数 y=Asin （ωx+φ）の图象变 ．换【分析】 先根据诱导公式行进化简，再由 x の范围求出

の范围，再由正弦函数の图象可得

到答案．

【解答】 解：原函数可化为： y=cos（ ）（ x∈[0，2π]）=

，x∈[0，2π] ．

当 x∈[0，2π]时， ∈[0，π] ，其图象如图， 与直线y= の交点个数是 2 个． 故选C．

【点评】 本小题主要考查三角函数图象の性质问题．

6．（ 5 分）（2008?浙江）已知 {an} 是等比数列， a2=2，a5= ，则a1a2+a2a3+⋯ +anan+1=（

n﹣n﹣n﹣n﹣

A．16（1﹣4

） B ．16（1﹣2 ） C． （1﹣4 ） D． （1﹣2

）

【考点】 等比数列の前 n项和． 【专算计】题题．

【分析】 首先根据 a2 和 a5 求出公比 q，根据数列 {a nan+1} 每项の特点发现仍是等比数列，且 首项是 a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．

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4 の

2π]）

）

2

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【解答】 解：由

数列{a nan+1} 仍是等比数列：其首项是

，解得 ．

a1a2=8，公比为 ，

所以，

故选： C．

【点评】 本题主要考查等比数列通项の性质和求和公式の应用． 律，充分挖掘有效信息．

应善于从题设条件中发现规

7．（5 分）（2008 ?浙江）若双曲线 则双曲线の离心率是（ A．3

B．5

C．

【考点】 双曲线の定义． 【专题】 计算题．

） D．

の两个焦点到一条准线の距离之比为 3：2，

【分析】 先取双曲线の一条准线，然后根据题意列方程，整理即可． 【解答】 解：依题意，不妨取双曲线の右准线 则左焦点 F1 到右准线の距离为

，

，

右焦点 F2 到右准线の距离为

，

可得 ，即 ，

∴双曲线の离心率 故选 D．

．

【点评】 本题主要考查双曲线の性质及离心率定义．

8．（5 分）（2008 ?浙江）若 A．

B．2

C．

D ．﹣2

，则 tanα=（ ）

【考点】 同角三角函数基本关系の运用． 【分析】 本小题主要考查三角函数の求值问题， 【解答】 解：∵ cosα+2sinα=﹣

，

需要把正弦和余弦化为正切和正割，

两边平

方，根据切割の关系进行切割互化，得到关于正切の方程，解方程得结果．

3

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∴cosα≠0，

两边同时除以 cosα得 1+2tanα=﹣，

2

2

2

∴（ 1+2tanα）

=5sec α=5（1+tan α），2

∴tan

α﹣4tanα+4=0， ∴tanα=2． 故选B．

【点评】 同角三角函数之间の关系， 其主要应用于同角三角函数の求值和同角三角函数之间

の化简和证明． 在应用这些关系式子の时候就要注意公式成立の前提是角对应の三角函数要

有意义．

9．（ 5 分）（2008 ?浙江）已知 ， 是平面内两个互相垂直の单位向量，若向量满足（ ﹣

）?（﹣）=0，则| |の最大值是（ ）

A．1

B．2

C．

D．

【考点】 平面向量数量积の坐标表示、模、夹角． 【专轴压】题题．

【分析】 本小题主要考查向量の数量积及向量模の相关运算问 ，题所给出の两个向量是互相

垂直の单位向量，这给运算来带很大方便，利用数量积为零の条件要时移项变化． 【解答】 解：．∵ ，

∵ ，

∴

，

∵cosθ∈[﹣1， 1] ， ∴ の最大值是 ．

故选C．

【点评】 启发学生在理解数量积の运算特点の基础上， 逐步把握数量积の运算律，

引导学生

注意数量积性质の相关问题の特点， 以熟练地应用数量积の性质， 本题也可以利用数形结合，

2

2

2

，对应の点 A，B 在圆x

2 =2 上即可．

+y =1 上，对应の点 C 在圆x +y

10．（5 分）（ 2008?浙江） 如图， AB 是平面 a の斜线段， A为斜足， 若点 P 在平面 a 内运动，使得 △ABP の面积值定为，则 点动

P の轨迹是（

）

A．圆B．椭圆C．一条直线D ．两条平行直线

【考点】椭圆の定；义平面与圆柱面の截线． 【专轴压】题题；转化思想．

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4

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【分析】 根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得 得，点 P の轨迹为一以 AB 为轴线の圆柱面，与平面 得答案．

P 到直线 AB の距离为定值，分析可 αの交线， 分析轴线与平面の性质， 可

【解答】 解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面の问题，

因为三角形面积为定值， 以 AB 为底， 则底边长一定， 从而可得 P 到直线 AB の距离为定值， 分析可得，点 P 在以 AB 为轴线の圆柱面与平面 由平面与圆柱面の截面の性质判断，可得 故选： B．

【点评】 本题考查平面与圆柱面の截面性质の判断，注意截面与圆柱の轴线の不同位置时， 得到の截面形状也不同．

二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分）

11．（4 分）（2008?浙江）已知平面内三点 A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则 a= 6

【考点】 平行向量与共线向量．

【分析】 利用向量坐标の求法求出两个向量の坐标， 量共线の充要条件列出方程求出 【解答】 解：

a．

将三点共线转化为两向量共线，

利用向

αの交线上，且 α与圆柱の轴线斜交，

P の轨迹为椭圆；

由已知知

所以 2（a+3）=6×3 解得 a=6 故答案为： 6

【点评】 本题考查向量坐标の求法、向量共线の坐标形式の充要条件．

12．（4 分）（2008?浙江）已知 F1、F2 为椭圆 A、B 两点，若 |F2A|+|F2B|=12 ，则|AB|= 【考点】 椭圆の简单性质．

【专题】 计算题；圆锥曲线の定义、性质与方程． 【分析】 运用椭圆の定义，可得三角形 长．

【解答】 解：椭圆

=1 の a=5，

8 ．

=1 の两个焦点，过 F1 の直线交椭圆于

ABF 2 の周长为 4a=20，再由周长，即可得到 AB の

由题意の定义，可得， |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a， 则三角形 ABF 2 の周长为 4a=20， 若|F2A|+|F2B|=12 ， 则|AB|=20 ﹣12=8． 故答案为： 8

【点评】 本题考查椭圆の方程和定义，考查运算能力，属于基础题．

5

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13．（4 分）（2008?浙江）在 △ABC 中，角 A、B、C 所对の边分别为 a、b、C、若（ ﹣c）cosA=acosC，则 cosA=

．

b

【考点】 正弦定理の应用；两角和与差の正弦函数． 【专题】 计算题．

【分析】 先根据正弦定理将边の关系转化为角の正弦值の关系， 式化简可得到 由（ （ ∴

sinBcosA=sinB ，进而可求得 cosA の值．

【解答】 解：由正弦定理，知

b﹣c）cosA=acosC 可得 sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC ， sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA

再运用两角和与差の正弦公

=sin（A+C ）=sinB ， ∴cosA= 故答案为：

【点评】 本题主要考查正弦定理、 两角和与差の正弦公式の应用． 忆能力和综合运用能力．

14．（4 分）（2008?浙江）如图，已知球 O の面上四点 A、B、C、D，DA ⊥平面 ABC ，AB ⊥BC， DA=AB=BC=

，则球 O の体积等于

π ．

考查对三角函数公式の记

．

【考点】 球の体积和表面积；球内接多面体． 【专题】 计算题．

【分析】 说明 △CDB 是直角三角形， △ACD 是直角三角形，球の直径就是 即可求出球の体积．

【解答】 解：AB ⊥BC，△ABC の外接圆の直径为 AC，AC=

，

3

CD，求出 CD，

由 DA ⊥面 ABC 得 DA ⊥AC，DA⊥BC，△CDB 是直角三角形， △ACD 是直角三角形， ∴CD 为球の直径， CD=

故答案为： π．

【点评】 本题是基础题，考查球の内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出 直径，是本题の突破口，解题の重点所在，考查分析问题解决问题の能力．

2 15．（4 分）（2008?浙江）已知 t 为常数，函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间 [0，3]上の最大值为 2， 则 t= 1 ．

=3，∴球の半径 R= ，∴V 球= πR

= π．

CD 是球の

6

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【考点】 分段函数の解析式求法及其图象の作法． 【专轴题压】题．

【分析】 本题应先画出函数の大体图象， 象后不难发现函数の最大值只能在

2

利用数形结合の方法寻找解题の思路． 画出大体图

x=1 或 x=3处取得，因此分情况讨论解决此． 题

【解答】 解：记g（x）=x﹣2x﹣t， x∈[0，3]， 则y=f （x）=|g（x） |，x∈[0，3]

f（x）图象是把函数 g（x）图象在 x轴下方の部分翻折到 其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在 x=3 或 x=1处取得

2

x轴上方得到，

（1）当在 x=3处取得最大值时f （3）=|3﹣2×3﹣t|=2， 解得 t=1 或 5，

当 t=5时，此时， f（0） =5＞2 不符条件，

当 t=1时，此时， f（0） =1，f（1）=2，符合条件．

2

（2）当最大值在 x=1处取得时f （1）=|1﹣2×1﹣t|=2， 解得 t=1 或﹣3，

当 t=﹣3时， f（ 0）=3＞ 2 不符条件，

当 t=1 此时， f（ 3）=2， f（1）=2，符合条件． 上综t=1 时 故答案为： 1．

【点评】 本题主要考查二次函数の图象性质和绝对值对函数象の影响变图化．

16．（4 分）（2008?浙江）用 1，2，3，4， 5，6组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相 邻两个数字の奇偶性不同，且 【考点】 分步乘法计数原理． 【专算题计】题；压轴题．

【分析】 欲求可组成符合条件の六位数の个数， 先将 3、5 排列，第二步：再将 中即可．

【解答】 解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将 3、5 排列，共有

2

A2

1 和 2 相邻．这样の六位数の个数是 40 （用数字作答） ．

只须利用分步计数原理分三步计算： 第一步：

4、6 插空排列，第三步：将 1、2 放到 3、5、4、6 形成の空

种排法．

种排法；

2

2A 2 种排法；

1 C5

第二步：再将 4、6 插空排列，共有

2

第三步：将 1、2 放到 3、5、4、 6 形成の空中，共有 由分步乘法计数原理得共有 答案： 40

?2A2 ?C5 =40（种）． A2

2

1

【点评】 本题考查の是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分 成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同の方法，做第 种不同の方法．那么完成这件事共有

2 步有 m2 种不同の方法 ⋯ 做第 n 步有 mn

N=m1 ×m2×⋯ m×n 种不同の方法．

17．（4 分）（2008?浙江）若 a≥0，b≥0，且当时，恒有 ax+by≤1，则以 a、b为坐标 の点 P（a，b）所形成の平面区域の面积等于 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域． 【专轴题压】题；图表型．

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1 ．

7

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【分析】 先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域の关系画出其

表示の平面区域，再利用求最优解の方法，结合题中条件： 【解答】 解：令 z=ax+by， ∵ax+by ≤1 恒成立，

“恒有 ax+by ≤1”得出关于 a，b

の不等关系，最后再据此不等式组表示の平面区域求出面积即可．

即函数 z=ax+by 在可行域要求の条件下， zmax≤1 恒成立． 当直线ax+by﹣z=0过点（ 1，0）或点（ 0，1）时， 0≤a≤1，0≤b≤1． 点 P（ a，b）形成の图形是边长为1 の正方形．

2

∴所求の面积S=1

故答案为： 1

=1．

【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组， 出可行域、求出关键点、定出最优解． 三、解答题（共 5 小题，满分 72 分） 18．（12 分）（2008 ?浙江）如图，矩形 ∠BCF= ∠CEF=90°，AD= （Ⅰ）求证： AE ∥平面 DCF ； （Ⅱ）当 AB の长时值何为，二面角

A﹣EF﹣C の大小为60°？

．

以及简化思想和数形结转の单合の

思想， 属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见の问类问这，题题一般要分三步：画

ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，

【考点】 直线与平面平行の判定；与二面角有关の立体几何综合题． 【专算题计】题；证明题；综合题．

【分析】（Ⅰ）过点 E 作 EG⊥CF 并 CF 于 G，连接 DG ，证明 AE 平行平面 DCF 内の直线 DG，即可证明 AE ∥平面 DCF；

8

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（Ⅱ）过点 B 作 BH⊥EF 交 FE の延长线于 H，连接 AH ，说明∠ AHB 为二面角 A﹣EF﹣C の平面角，通过二面角

A﹣EF﹣C の大小为 60°，求出 AB 即可．

【解答】（Ⅰ）证明：过点 E 作 EG⊥CF 并 CF 于 G，连接 DG，可得四边形 BCGE 为矩形． 又 ABCD 为矩形，

所以 AD ⊥∥EG，从而四边形 ADGE 为平行四边形，故 AE ∥DG ． 因为 AE ? 平面 DCF，DG? 平面 DCF，所以 AE ∥平面 DCF． （Ⅱ）解：过点 B 作 BH ⊥EF 交 FE の延长线于 H，连接 AH ． 由平面 ABCD ⊥平面 BEFG，AB ⊥BC，得 AB ⊥平面 BEFC， 从而 AH ⊥EF，

所以∠ AHB 为二面角 A﹣EF﹣C の平面角． 在 Rt△EFG 中，因为 EG=AD= 又因为 CE⊥EF，所以 CF=4， 从而 BE=CG=3 ． 于是 BH=BE ?sin∠BEH= 因为 AB=BH ?tan∠AHB ，

所以当 AB= 时，二面角 A ﹣EF﹣G の大小为 60°． 【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．

【点评】 由于理科有空间向量の知识， 在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用， 考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量の方法解决立体几何问题也有其相对の缺 陷，那就是空间向量の运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而 且空间向量方法证明平行和垂直问题の优势并不明显， 空间向量为解题の工具，要注意综合几何法の应用．

所以在复习立体几何时， 不要纯粹以

这为

．

．

【点评】 本题主要考查空间线面关系、 空间向量の概念与运算等基础知识， 象能力和推理运算能力．

同时考查空间想

19．（14 分）（2008?浙江）一个袋中有若干个大小相同の黑球、白球和红球．已知从袋中任 意摸出 1 个球，得到黑球の概率是 ．

（Ⅰ）若袋有 10 个球，从袋中任意摸出 の数学期望 Eξ．

3 个球，记得到白球の个数为

ξ，求随机变量 ξ

；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球の概率是

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（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出 种颜色の球个数最少．

2 个球，至少得到 1 个黑球の概率不大于 ．并指出袋中哪

【考点】 离散型随机变量及其分布列； 【专算题计】题；应用题；证明题；压轴题．

【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出

等可能事件の概率； 离散型随机变量の期望与方差．

2 个球， 至少得到 1 个白球の概率是 ，列出关系式，

得到白球の个数， 从袋中任意摸出 3 个球， 白球の个数为ξ，根据题意得到变量可能の取值， 应对合结

の事件，写出分布列和期望． （II ）设出两种球の个数， 根据从袋中任意摸出

2 个球， 至少得到 1 个黑球の概率不大于

得到两个未知数之间の关系，得到白球の个数比黑球多，白球个数多于 ，红球の个数少于 ，得到袋中红球个数最少．

【解答】 解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球 ”为事件 A，

设袋中白球の个数为x， 则

，

得到 x=5． 故白球有 5 个．

随机变量 ξの取值为0，1，2，3， ∴分布列是

∴ξの数学期望 ． （Ⅱ）证明：设袋中有 n 个球，其中 y 个黑球，由题意得

，

∴2y＜n，2y≤n﹣1， 故

．

记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球 ”为事件 B，

则

．

∴白球の个数比黑球多，白球个数多于 ，红球の个数少于 ．

故袋中红球个数最少．

10

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，

【点评】 本题主要考查排列组合、 对立事件、 相互事件の概率和随机变量分布列和数学 期望等概念，同时考查学生の逻辑思维能力和分析问题以及解决问题の能力．

20．（15 分）（2008 ?浙江）已知曲线 C 是到点 和到直线 距离相等の

点の轨迹， l 是过点 Q（﹣ 1，0）の直线， M 是 C 上（不在 l 上）の动点； A、B 在 l 上， MA ⊥l，MB ⊥x 轴（如图）． （Ⅰ）求曲线 C の方程； （Ⅱ）求出直线 l の方程，使得

为常数．

【考点】 轨迹方程；直线の一般式方程． 【专题】 计算题；压轴题．

【分析】（I）设 N（x，y）为 C 上の点，进而可表示出 |NP|，根据 N 到直线 |NP|进而可得曲线 C の方程． （II ）先设

2

の距离和

，直线 l ：y=kx+k ，进而可得 B 点坐标， 再分别表示出 |QB|，|QM|，

2

2

求得 k．

|MA| ，最后根据 |QA| =|QM| ﹣|AM|

【解答】 解：（I）设 N（x，y）为 C 上の点，则

，

N 到直线 の距离为 ．

由题设得 ，

化简，得曲线 C の方程为 ．

（II ）设 ，直线 l：y=kx+k ，则 B（x，kx+k ），从而 ．

11

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在 Rt△QMA 中，因为= ，

．

所以 ，

∴ ，

．

当 k=2时， ，

从而所求直线l 方程为2x﹣y+2=0 ．

【点评】 本题主要考查求曲线轨迹方程， 基本思想方法和综合解题能力．

两条直线の位置关系等基础知识， 考查解析几何の

21．（15 分）（2008 ?浙江）已知 a 是实数，函数 （Ⅰ）求函数 f（x）の单； 间区调（Ⅱ）设g（a）为f（ x）在区间[0，2] 上の最小值． （i ）写出 g（a）の表达式；

（ii ）求 aの取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2． 【考点】 利用导数研究函数の单调性； 函数の最值；不等式の证明． 【专算题计】题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）求出函数の定义域 值得到函数の即可． 间区调单（Ⅱ） ①讨 若论（x）在

a≤0，f（x）在 [0，2]上单调递增，所以

上单调递减，在

g（a）=f （0）=0；若 0＜ a＜6，f

；

[0，+∞），求出 f′（x），因为a为实数，论a≤0，（x＞ 0） 讨

a＞0，令 f'（x）=0，得到函数驻点讨论x 取

得到 f′（x）＞ 0 得到函数の单调递增区间；若

函数解析式の求解及常用方法；

利用导数求闭区间上

上单调递增，所以

12

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若 a≥6， f（x）在 [0，2]上单调递减，所以 分段函数，写出即可； 6；若 a≥6，解得

② 令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若

．则求出 a の取值范围即可．

．得到 g（a）为 0＜a＜ 6，解得 3≤a＜

【解答】 解；（Ⅰ）解：函数の定义域为[0，+∞）， 若 a≤0，则f'（x）＞ 0，f（x）有单调递增区间[0， +∞）． 若 a＞0，令 f'（x）=0，得

，当时， f'（x）＜ 0，

（x＞0）．

当时， f'（x）＞ 0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．

（Ⅱ）解：（ i）若 a≤0，f（x）在 [0，2]上单调递增，所以 若 0＜a＜6，f（x）在 所以 所以

上单调递减，在

g（a）=f （0） =0． 上单调递增，

．若 a≥6，f（ x）在 [0， 2]上单调递减，

．

综上所述， 改天

（ii ）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若 a≤0，无解．若 0＜a＜6，解得 3≤a＜6． 若 a≥6，解得

【点评】 本题主要考查函数の性质、

．故 a の取值范围为 求导数の应用等基础知识，

．

同时考查分类讨论思想以及

综合运用所学知分析问识题和解决题问の能力．

2

2

（n∈N?）．记

22．（16 分）（2008 ?浙江）已知数列 {an} ， an≥0，a1=0，an+1

+an+1﹣1=an

Sn=a1+a2+⋯ +an．

．

求证：当 n∈N?时， （Ⅰ） an＜an+1； （Ⅱ） Sn＞n﹣2． （Ⅲ） Tn＜3．

【考点】 不等式の证明；数列の求和；用数学归明不等式． 证法纳【专明题证】题；压轴题．

?

【分析】（1）对于 n∈N时の命题，考虑利用数学归明； 证法纳

2

2

（2）由 ak+1 +ak+1﹣1=ak ，对k 取 1，2，⋯ ，n﹣1时の式子相加得 Sn，最后对Sn进行放缩 即可证得．

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（3）利用放缩法由 ，得 ≤ （ k=2，3，⋯ ，n﹣1，

n≥3），

【解答】（Ⅰ）证明：用数学归明． 证法纳

2

≤ （a≥3），即可得出结 ．论

① 当 n=1时，因为a2 是方程 x +x﹣1=0 の正根，所以 a1＜a2．

*

② 假设当 n=k（k∈N

2

2

）时， ak＜ ak+1，

2

2

因为ak+1﹣ak +ak+2﹣1）﹣（ ak+1 +ak+1﹣1）=（ak+2﹣ak+1）（ ak+2+ak+1+1）， =（ ak+2 所以 ak+1＜ak+2．

即当 n=k+1时， an＜ an+1 也成立．

*

根据 ① 和② ，可知 an＜ an+1对任何 n∈N

立． 2 2 （Ⅱ）证明：由 ak+1 +ak+1﹣1=ak ，k=1，2，⋯ ，n﹣1（n≥2），

2

2

2 2

都成

得 an +（a2+a3+⋯ +an）﹣（ n﹣1）=a1 ．

因为a1=0，所以 Sn=n﹣1﹣an ．

2

由 an＜an+1 及 an+1=1+an﹣2an+1 ＜ 1 得 an＜1， 所以 Sn＞n﹣2． （Ⅲ）证明：由

，得：

，

所以 ，

故当 n≥3时， 又因为T1＜T2＜T3， 所以 Tn＜3．

，

【点评】 本题主要考查数列の递推关系，数学归纳法、不等式明等基础证知识和基本技能， 同时考查逻辑推理能力．

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