高考数学复习点拨 空间直角坐标系的应用

空间直角坐标系是在平面坐标系的基础上，通过类比推广建立的，从而可以将“坐标法”推广到空间去解决空间几何体问题.利用空间直角坐标系解题时，依据几何体的特点建立适当的坐标系是解决问题的基础，合理、准确地求出相关点的坐标是解决问题的关键.与此同时，还要掌握空间直角坐标系中一些特殊点的坐标特点，主要有：

（1）点P在Ox轴上时，其坐标为(x，0)；点P0，0)；点P在Oy轴上时，其坐标为(0，y，在Oz轴上时，其坐标为(0，0，z)．

（2）点P分别在xOy坐标平面，yOz坐标平面或xOz坐标平面时，其坐标分别为P(x，y，，0)P(0，y，z)或P(x，0，z)．

（3）点P(x，y，z)关于x轴对称的点为Q1(x，y，z)；关于y轴对称的点为Q2(x，y，z)；关于z对称的点Q3(x，y，z)．关于xOy平面对称的点为Q4(x，y，z)；关于yOz平面对称的点为Q5(x，y，z)；关于xOz平面对称的点为Q6(x，y，z)．

下面举例说明其应用．

例1 已知A(2，3，4)，在y轴上求一点B，使AB7，则点B的坐标为． 解析：由题意，设点B的坐标为(0，y，0)，则(02)2(y3)2(04)27， 解得y329．

329，0)或B(0，329，0)． 故点B的坐标为B(0，

331)，，B(1，0，，5)C，1，2． 例2 已知点A(3，4（1）求线段AB中点D的坐标；

（2）证明：ACBC；

（3）求到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z所满足的条件． 解析：（1）设线段AB中点D的坐标为(x，y，z)， 31x，2303，3． 则y即D2，，2215z，2（2）由空间两点间的距离公式，得

3161， AC3(31)2(12)2441613， BC1(01)2(52)2441 / 3

22word

ACBC．

（3）点P(x，y，z)到A，B的距离相等，

则(x3)2(y3)2(z1)2(x1)2(y0)2(z5)2， 化简，得4x6y8z70， 即到A，B距离相等的点P满足的条件是4x6y8z70．

例3 已知A(1，211)，，B(4，2，，3)C(6，1，4)，求证：△ABC是直角三角形． 证明：

AB(14)2(22)2(113)289，

AC(16)2(21)2(114)275， BC(46)2(21)2(34)214，

ACBCAB．

222△ABC为直角三角形．

例4 如图1，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，

BAC90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点．求

BN的长．

解析：如图1，以C为坐标原点O，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0，1，0)，N(1，0，1)．

BN(10)(01)(10)3．

例5 如图2，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a2)．

（1） 求MN的长；

（2） 当a为何值时，MN的长最小． 解析：（1）如图2，以点B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 2222a，0，1a，Na，a，0可求得M22． 22222

222222MNaa0a1a0a2a1． 2222222 / 3

word 21a（2）由（1）知MN2， 2当a222时，MN，即M，N分别移动到AC，BF的中点时，

222． 2MN的长最小，最小值为3 / 3