新误差理论讲课

一 测量与误差

一 ~1 测量

一~1.1直接测量 ？ 一~1.2间接测量 ？

一 ~2 测量误差

一 ~2.1测量误差 = 测量值—真值 （绝对误差）

2.2相对误差 = 测量误差 ／真值

2.3百分误差 =（测量值—公认值）／公认值

一 ~3 误差来源：

一~3.1模型问题 ~ 3.2仪器问题

~ 3.3 随机问题

二 测量不确定度和测量结果的表示

二 1 测量不确定度

不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度 它给出测量结果的不能确定程度的评判范围。

二 1.1不确定度的A类分量（A类不确定度）计为机问题通常考虑正态分布）：

在相同的条件下，对某物理量x 作n 次独立测量，得到的 x

值为

x1uA （随

，

x2，

x3，„„

nxn，

suA(x)t/2(n1)n （(1)

(x)sns(xi1ix)2(n1) 服从

t(n1))分布）

1nxxi

ni1式中的t/2(n1)就称为“t因子”，它与测量次数和“置信概率”有关。所谓“置信概率”是指真值落在xuA(x) 范围内的概率。t因子的数值可以根据测量次数和置信概率查

表得到，例如n=16，n-1=15查t0.05/2(n1)2.131则

2(xx)ii1n真值落在x2.131n(n1)概率为95%

* P(10.05)0.95

2(xx)ii1n又t(0.1/2)(n1)1.753真值落在x1.753n(n1)概率为90%

当测量次数较少或置信概率较高时，t >1；当测量次数n10且置信概率为68.3%时，t1；在大多数普通物理教学实验中，为了简便，一般就取t =1.

二~1.2 B类不确定度计为uB

若对某物理量x 进行单次测量，那么B类不确定度由测量不确定度

uB1（x）和仪器不确定度uB2 (x)两部分组成。

测量不确定度uB1（x）是由估读引起的，通常取仪器分度值 d 的 110或1，有时也取1，视具体情况而定；特殊情况下，

52可取 uB1=d ,即：

d/10d/5uB1d/2 通常取仪器分度值d d有时甚至更大。

例如用分度值为1mm的米尺测量物体长度时，在较好地消除视差的情况下，测量不确定度可取仪器分度值的 uB1（X）= 110110，即

*1mm=0.1mm；但在示波器上读电压值时，如果

荧光线条比较宽、且可能有微小抖动，则测量不确定度可取仪器分度值的1，若分度值为0.2V，那么测量不确定度uB1

2（X）=1*0.2V=0.1V。又如，用肉眼观察远处物体成像的方

2法粗测透镜的焦距，虽然所用钢尺的分度值只有1mm，但此时测量不确定度uB1（X）可取数毫米，甚至更大。

仪器不确定度uB2 (x) 是由仪器本身的特性所决定的，它定为：

auB2(x) c （2）

其中，a是仪器说明书上所标明的“最大误差”或“不确定度限值”，C是一个与仪器不确定度 的概率分布特性有关的常数，称为“置信因子”。仪器不确定度的概率分布通常有正态分布、均匀分布和三角分布以及反正弦分布、两点分布

等。对于正态分布、均匀分布和三角分布，置信因子C分别取3、3和6。如果仪器说明书上只给出不确定限值（即

最大误差），却没有关于不确定度概率分布的信息，则一般

auB2(x)可用均匀分布处理，即 3 。

有些仪器说明书没有直接给出其不确定限值，但给出了仪器的准确度等级，则其不确定度限值a需经计算才能得到。如指针式电表的不确定度限值等于其满量程值乘以等级，例如满量程为10 V 的指针式电压表，其等级为1级，则其不确定度限值a=10V*1%=0.1V。又如电阻箱的不确定度限值等于示值乘以等级再加上零值电阻，由于电阻箱各档的等级是不同的，因此在计算时应分别计算，例如常用的ZX21型电阻箱，其示值为360.5，零值电阻为0.02，则其不确定限值

a=(300*0.1%+60*0.2%+0*0.5%+0.5*5%+0.02)=0.47

表：某些常用实验仪器的a

仪器名称 钢板尺 量程 150 mm 500 mm 1000 mm 最小分度值 1mm 1mm 1mm a 0.1mm 0.15mm 0.20mm

钢卷尺 游标卡尺 1m 2m 125mm 1mm 1mm 0.02mm 0.01mm 0.1mg 0.8mm 1.2mm 0.02mm 0.004mm 1.3mg（满量程） 1.0mg（半量程） 0.7mg （1|3程） 螺旋测微计 0~25mm 分析天平 200g

二~1.3 不确定度的合成 单次测量 uB(x)多次测量 u(x)u(x)u(x) u(x)u(x) （3）

2A2B22B12B2二~1.4 测量结果的表示

测量结果常表示为

xxu(x)

u(x)ur100%，

x二~1.5 不确定度传递

在间接测量时，待测量（即复合量）是由直接测量的量通过计算而得的，若yf(x1,x2,x3,...,xN)，且各x i相互独立，

则测量结果y的标准不确定度u(y)的传递公式为：

f2u(y)u(xi) （4）

i1xi2N2由（4）式可以得到一些常用的不确定度传递公式如下： 加减法：

yx1x2，

222则 u(y)u(x1)u(x2)

，

x1y对乘除法：yx1x2，或 x2则

22u(y)u(x1)u(x2)yxx12nyx对乘方（或开方）：，

2

则

u(y)u(x)ynx

测量结果也表示为：

22

ffu(f)

u(f)ur100%

f31me=(9.10938970.0000054)10kg

ur0.59106100%

二 2.2 有效数字及其运算规则

除了以上两种常用的不确定度表示法外，还有一种更为简略的表示法，叫做不确定度的有效数字表示法。所谓有效数字，是指一个数值中，从第一个非0数字算起的所有数字。例如，x0.0035中的3是第一个非0数字，因此 x有两位有效数字：3和5，小数点前后的三个0都是表示数量级的，不是有效数字。又如，x3.500有四位有效数字3，

5，0，0都是有效数字，其中的两个0虽然对该数的大小并无意义，但它却表示这个数的准确程度可达到小数点后的第三位，即x的值约在3.495和3.504之间，它与x3.5是显然不同的。后者表示小数点后的第一位数（即5）就是可疑的，不确定的。测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，而测量结果的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐,即测量结果的末位有效数字是不确定的（特殊情况下，不确定度的有效数字可取两位，即测量值的末两位有效数字

都是不确定的）。这样，根据测量值的不确定度，可以决定测量值的有效数字位数。

在计算数据时，当有效数字位数确定后，须进行数字修约，修约规则为：四舍六入五成双“五成双”的意思是遇到被舍数字恰为“50”或只有“5”一位数字时，则“5”有时入，有时不入，应使有效数字末位保持为偶数，这样可使舍和入的机会均等，从而避免在处理较多数据时因入比舍多而带来的问题。

例如：经计算所得的长度值为x3.54825m，若不确定度为0.0003m，则应取测量值的结果为x3.5482m；若不确定度为

0.002m，则应取测量值的结果为

x3.548m；若不确定度为0.05m，则应取测量值的结果

为x3.55m；若不确定度为0.1m，则应取测量值的结果

3为x3.5m（如以毫米为单位，则应写成3.510mm,不可

写成3500mm）.这样，从测量值的有效数字，就可大约知道它的不确定度，这就是不确定度的有效数字表示法，显然，这只是一种简略的表示法，在严格的定量实验中，应采用有确定度的一般表示法或百分比表示法。

虽然测量最后结果的不确定度，一般只取一位有效数字，但在运算过程中，不确定度一般要取两位或更多，中间过程测量值的有效数字也应适当多取一些，以免过早舍入，造成不合理的结果。

有效数字的运算有一定的规则，最简单和常用的规则是： 当两个数相加减时，有效数字的位数应对齐；当两个数相乘除时，有效数字的位数应与有效数字少的一致。 例如，x1.832m（共有4位有效数字，末位在小数点后第3位），

y1.69m（共有3位有效数字，末位在小数点第2 位）

xy3.52m（末位取小数点后第xy0.14m (末位取小数点后第2位)；

则：

22位）；

xxy3.10m（共取3位有效数字）1.08（共取3

y位有效数字）

不确定度的计算样例

例题 单摆法测重力加速度

4g2lT

2T11.4425sT21.4445sT31.4475s

uB2(T)0.001(s)

uA(T)(TT)ii1323(31)220.0015(s)

u(T)uA(T)uB2(T)0.0018(s)

T(1.44480.0018)(s)

L152.64(cm) L252.68(cm) L352.70(cm) uB2(L)0.01 (cm)

uA(L)2(LiL)i133(31)20.018(cm)2

u(L)uA(L)uB2(L)0.021(cm)

L52.6710.021(cm)

d11.910(cm)

d11.908(cm)

d31.908(cm)

uB2(d)a/30.002/3 (cm)

2(dd)ii13uA(d)

3(31)0.00067(cm)

u(d)uA(d)uB2(d)0.0013(cm)

22d1.90870.0013cm

u(d/2)u(d)/20.00065(cm)u(l)u2(d/2)u2(L)0.021(cm)

lLd/2

l(51.7170.021)cm

2u(T)2u(l)2u(g)g(T,l)()()0.025(m/s2)

Tlg(9.7810.025) (m/s) 或

2

g(9.780.03) (m/s)

2