初中数学教师学科知识竞赛

初中数学教师学科知识竞赛试卷

一、选择题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分．每小题的四个选项中有且只有一个选项是正

确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1

．如图，一个大长方形被两条线段 AB，CD 分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的面

积分别为9

8，6，5，那么图中阴影部分的面积为( )

A.

10C

2 B.

7C.D.15

2

3

8

2．如图，C 在以 AB 为直径的半圆⊙ O 上， I 是 ABC 的内心， AI , BIAⅠ Ⅱ

B

Ⅲ

的延长线分别交半圆⊙ O 于点 D，E，AB=6，则 DE 的长为（ ）(第 1 题D

)

A． 3

B． 3 2

C． 3 3

D． 5

C

D

E 3．对于每个 x ，函数 y 是 y 1

 2 x ,

y

2  x  2, y 3  3

2

x  12 I 则函数 y 的最大值是( )

A

这三个函数中的最小值.

O

B

A．4

B．6 C．8

D．

48

(第 2 题)

7

4．设有一几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（

）

52

2

A．4+

2

B．4+

32

2 2

2

1

2

C．4+ 

D．4+

2

3

1 1

主视图 左视图 俯视图

5．已知一个半径为 R，高为 h（h>2R）的无盖圆柱形容器装满水，缓缓倾斜45容器里的水恰好装满一个半径也为 R 的球形容器（球体的体积公式：V  4

 后，剩在圆柱形

3  R3 ），若 R=3， 则圆柱形容器的高 h 为（

） A．6 B．7

C．8

D．9

二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）

6．当 x 

21

 5

时,代数式xx1x2．

2 x  3x  4x  5的值为

7．如图，在 Rt△ ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接于△ ABC，且它的边长为 12，

则△

ABC 的周长为 .

8．两条渡轮分别从江的两岸同时开出，它们各自的速度分别是固定的，A

第一次相遇在距一岸 800 米处，相遇后继续前行，到对岸后立即返

F E

回（转向时间不计），第二次相遇在距另一岸 300 米处，则江面宽是

C

D B

米.

(第 7 题)

9．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠BAD=90º，AC⊥BD，AB=3CD，

D C

AC 则 = .

BD

10．已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋cx＋a＝0 的两个整数根恰好比

方程 x 2＋ax＋b＝0 的两个根都大 1，则 a＋b＋c 的值为

A

(第 9 题)

B

.

三、解答题（共 4 题，满分 50 分）

11．（12 分）已知抛物线 l : y  ax 2  bx  c(abc  0) ，它的顶点 P 的坐标是

b 4ac  b2 ( , ) ，与 y 轴的交点是 M (0, c) .我们称以 M 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P 的

2a 4a

抛物线为抛物线 l 的伴随抛物线，直线 PM 为 l 的伴随直线.

（1）请直接写出抛物线 y  2 x 2  4 x  1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：

伴随抛物线：

， 伴随直线： ；

（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y   x2  3 和 y   x  3 ，请直接写出这

条抛物线的解析式是

；

（3）求抛物线 l : y  ax 2  bx  c(abc  0) 的伴随抛物线和伴随直线的解析式.

（12． 12 分）“要想富，先修路”某地为实施辖区内偏远地区的开发，把一条原有的铁路延伸 了一段，并在沿途设立了一些新的车站，因此铁路局要印制 46 种新车票，这段路上新老车站 加起来不超过 20 个，那么该地新建几个车站？该地原有几个车站？

13．（12 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，且满足 AB=AC，

A E

D

（1）过点 A 作 AF ⊥BD 交 BD 于点 F ，求证：BF =CD +DF ．

（2）若 CD//AB ，过点 D 作 DE ⊥AB 交 AB 于点 E ，且 DE =DC ．

①求证： AD 2 2AE AB ；

②求 DC

AB 的值．

（15 分）按《省初中毕业生学业考试说明》中的要求进行编题，并给出答案。编一道选择题，难度值：0.6 左右，主要知识点：相似三角形.

14.

（14 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点

（不与点 A，D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于点 H，折痕为 EF，连结 BP,BH． （1）求证：∠APB=∠BPH．

（2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论．

（3）设 AP 为 x ，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最

小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

（第 14 题）

15．

温州市第四届初中数学教师学科知识竞赛——参

一、选择题 1．C

2．B

7．84

3．B

8．2100

（2 分）

4．A

3

9．

3

5．B

二、填空题 6．－15

10．29 或 -3

（2 分）

三、解答题 11. （1） y  2 x2  1 ，

y  2 x  1 ；

（2 分） （3 分）

（2） y  x2  2 x  3 ；

（3）伴随抛物线是： y  ax 2  c

b

伴随直线是： y  x  c （3 分）

2

12. 解：设原有车站 x 个，新车站有 y 个．则每个新车站需要印制的车票有（x+y－1）种，y 个

新车站要印（x+y－1)y 种新车票，对于 x 个老车站，要印 xy 种新车票． 根据题意，有(x+y－1)y+xy=46， （4 分） 即 y(2x+y－1)=46．

由于 46=1×46=2×23，

y1， ∴ (1)

2 x  y  1  46．

 y  2， (2) 

2 x  y  1  23．

（4 分）

 y  2，

因为 x，y 必须取正整数，加之新车站合起来不超过 20 个，则有  符合题  2 x  y  1  23．

x11， 意，解得 

 y  2．

（4 分）

A

即新建 2 个，原有 11 个．

E

D

O H

13.

（1）证明：在 BF 上截取 BK=CD，∵∠1=∠2，CA=BA，

∴△DCA≌△KBA，∴AK=AD，∵AF⊥BD，∴DF=KF，

∴BF=BK+KF=CD+DF；

（3 分）

1 B

F K 2

C

(第 13 题)

（2）①证明：过 A 作 AH⊥BC 交 BC 于点 H，∵CD//AB，∴AD=BC,∴∠DAE=∠ABH，

∵AB=AC ∴AD=BC=2BH，且 Rt△ DAE∽Rt△ ABH，

DA AB AD ∴  ，∵ BH  ， ∴ AD2  2 AE  AB （4 分）

AE BH 2

1 1

②设 CD= x ，AB= y ，则 DE= x ，AE= ( AB  CD)  ( y  x) 在 Rt△ DAE 中，

2 2 1 1

2222 AE  AB  AD  AE  DE ，即 2  ( y  x)  y  [ ( y  x)]2  x2

2 2

∴ 5 x 2  2 xy  3 y 2  0  ( x  y)(5 x  3 y)  0

CDx 3

∴ 5x  3 y ，∴   ，

AB y 5

（5 分）

15. （1）解：如图 1，∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP． 即∠PBC=∠BPH． 又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH． （3 分）

（2）（1 分） △ PHD 的周长不变为定值 8．

证明：如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q． 由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP． ∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH， ∴Rt△ BCH≌Rt△ BQH．∴CH=QH．

∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

（2 分）

（2 分）

(第 15 题)

（3）如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB． 又∵EF 为折痕， ∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△PBA． ∴EM=AP= x ． ∴在 Rt△ APE 中，（4﹣BE）2+ x 2=BE2．

x2

解得， BE  2  ．

8

（2 分）

(第 15 题)

x2

∴ CF  BE  ME  2   x ．又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，

8 1 1 x2 x2 x2

∴ s  (CF  BE)  BC  (2   x  2  )  4   2x  8 ．

2 2 8 8 2 1

配方得， s  (x  2)2  6 ，

2

（2 分）

∴当 x  2 时，S 有最小值 6．

（2 分）