第五单元 四边形
与四边形有关的证明与计算巩固集训
1. (10分)(2017襄阳)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．
第1题图
2. (10分)(2017广西四市联考)如图，矩形ABCD的对角线AC，
BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
第2题图
3. (10分)(2017来宾)如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至F，使AH＝3FH，过F作FG⊥CD，垂足为G，过F作
BC的垂线交BC的延长线于点E.
(1)求证：△ADH∽△FGH； (2)求证：四边形CEFG是正方形．
1
第3题图
4. (14分)(2017常州)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)；
②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、
CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足________时，四边
形MNPQ是正方形；
(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．
①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形
ABCD的面积是________；
②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．
第4题图 答案
2
1. (1)证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， 同理可证AB＝BC， ∴AD＝BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴AC⊥BD，OD＝1
2BD＝3，
∴在Rt△AOD中，
cos∠ADB＝cos30°＝ODAD＝3
2
，
∴AD＝3×
23＝23.
2. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴在△ABE和△CDF中，
3
AB＝CD∠ABE＝∠CDF， BE＝DF∴△ABE≌△CDF(SAS) ， ∴AE＝CF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝ OB， ∵∠COD＝60°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴AO＝AB＝6， ∴AC＝12 ，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC＝AC2－AB2＝122－62＝63，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×63＝363. 3. 证明：(1)在正方形ABCD中，∠D＝90°， ∵GF⊥CD， ∴∠HGF＝90°， 又∵∠AHD＝∠FHG， ∴△ADH∽△FGH；
(2)在正方形ABCD中，AD＝CD，∠BCD＝90°＝∠∵FG⊥CD，FE⊥BE， ∴∠FGC＝∠CEF＝90°，
GCD，4
∴四边形CEFG是矩形，
FHGHFG1
由(1)得△FGH∽△ADH，则＝＝＝，
AHDHAD3
又∵H为CD的中点，
11
∴CH＝DH，GH＝DH＝CH，
332211
∴CG＝CH＝×CD＝CD，
33231
∵GF＝AD，
3∴CG＝GF，
∴四边形CEFG是正方形． 4. 解：(1)①矩形；
【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形．
②AC⊥BD；
【解法提示】如解图①，∵四边形ABCD是等角线四边形，∴AC＝BD，∵M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴MN11
＝PQ＝AC，PN＝MQ＝BD，∴MN＝PQ＝PN＝MQ，∴四边形
22
MNPQ是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要
四边形MNPQ有一个角是直角，又易知MN∥PQ∥AC，PN∥QM∥BD，∴要使四边形MNPQ是正方形需要AC⊥BD.
5
第4题解图①
(2)①3＋221；
【解法提示】∵AD＝BD， ∴点D在AB的垂直平分线上， ∵四边形ABCD是等角线四边形， ∴AC＝BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5，∴BD＝5，
如解图②，取AB的中点为M，作四边形ABCD连接DM，BD，则MD⊥AB，在Rt△ADM中，AD＝BD＝5，AM＝BM＝2，由勾股定理得DM＝52－22＝21.
∴S四边形
111
ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DM＋BC·BM＝222
1
×4×21＋×3×2＝3＋221；
2
第4题解图②
②如解图③，设AE与BD交于点O， 过D作DH⊥AE于点过B作A⊥AE， 则S四边形
111
ABED＝S△AED＋S△ABE＝AE·DH＋AE·BG≤222
AE·BD.
6
12∵AE＝BD，∴S四边形ABED≤AE，
2
∴当AE最大，且BD⊥AE时，等号成立，四边形ABED的面积最大，此时延长AC交⊙C于E，则AE最大为5＋1＝6， 12
∴四边形ABED的最大面积为×6＝18.
2
第4题解图③
7
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