2014高考数学一轮汇总训练《等比数列及其前n项和 》理 新人教A版

第三节 等比数列及其前n项和

[备考方向要明了]

考 什 么 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系.

[归纳·知识整合]

1．等比数列的相关概念 相关名词 定义 通项公式 前n项和公式 等比中项 [探究] 1.b＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？

提示：b＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b＝ac.

1

2

2

2

2

怎 么 考 1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等． 2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等. 等比数列{an}的有关概念及公式 an＋1an**＝q(q是常数且q≠0，n∈N)或＝q(q是常数且q≠0，n∈N且n≥2) anan－1an＝a1qn－1＝am·qn－m na1 q＝1Sn＝a11－qna1－anq＝ q≠11－q1－q 设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±ab

2．如何理解等比数列{an}与指数函数的关系？ 提示：等比数列{an}的通项公式an＝a1qxn－1

可改写为an＝·q.当q>0，且q≠1时，ya1qn＝q是一个指数函数，而y＝·q是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝·q的图象上的一群孤立的点．

2．等比数列的性质

(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q则am·an＝ap·aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap.

(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)＝Sm(S3m－S2m)(m∈N，公比q≠－1)．

(3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k*

2

2

a1

qxa1qx，„为等比数列，公比为q.

[自测·牛刀小试]

1．在等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是( ) A．递增数列 C．常数列

B．递减数列

D．无法确定数列的增减性

k解析：选D 当a1>0,0＋„＋log3a10＝( )

A．12 C．8

B．10 D．2＋log35

解析：选B ∵数列{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋„＋log3a10＝log3(a1·a2·„·a10) ＝log3(a5a6)＝5log3a5a6＝5log39＝10.

3．(教材习题改编)在等比数列{an}中，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.

a5－a1＝15，

解析：∵

a4－a2＝6，

2

5

a1∴a1

q4－1＝15，q3－q＝6.

q4－15

∴q－1≠0，3＝. q－q2

12

∴2q－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2.

2当q＝2时，a1＝1，∴a3＝a1q＝4.

2

2

12

当q＝时，a1＝－16，∴a3＝a1q＝－4.

2答案：4或－4

4．在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a3＋2a3a5＋a5＝25， 即(a3＋a5)＝25，又an>0，故a3＋a5＝5. 答案：5

5．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为q，则4＝q.即q＝±2. 当q＝2时，插入的三个数是2，2,22. 当q＝－2时，插入的三个数是－2，2，－22. 答案：2，2,22或－2，2，－22

4

2

2

2

等比数列的基本运算

[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1

＋a10＝( )

A．7 C．－5

B．5 D．－7

2

(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a5＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

(3)(2012·浙江高考)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，

S4＝3a4＋2，则q＝________.

[自主解答] (1)设数列{an}的公比为q，

a4＋a7＝2，由

a5·a6＝a4·a7＝－8，

a4＝4，

得

a7＝－2，

a4＝－2，

或

a7＝4，

a1＝－8，

所以31

q＝－，2

a1＝－8，所以

a10＝1，

a1＝1，

或3

q＝－2，

a1＝1，或a10＝－8，

所以a1＋a10＝－7.

3

(2)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2an·q＝5an·q， 即2q－5q＋2＝0， 1

解得q＝2或q＝(舍去)．

2又∵a5＝a10＝a5·q， ∴a5＝q＝2＝32. ∴32＝a1·q，解得a1＝2. ∴an＝2×2

n－14

5

5

2

5

2

2

＝2，故an＝2.

2

nn(3)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q－q－3＝0，

3

解得q＝或q＝－1(舍去)．

23n[答案] (1)D (2)2 (3) 2—————

——————————————

等比数列运算的通法

与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等

na1，q＝1，n－1

比数列的通项公式an＝a1·q(a1q≠0)及前n项和公式Sn＝a11－qn，q≠11－q

有

五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果．

1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝( ) A.1

16

1B. 81D. 2

1C. 4

(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( ) A.C.15

233 4

B.D.31 417 2

12

解析：(1)选B 在等比数列{an}中，a4＝a3a5，又a4＝a3a5，所以a4＝1，故q＝，所以

2

4

a7＝.

a1q·a1q＝1，3

18

(2)选B 显然公比q≠1，由题意得

a11－q31－q＝7，

a1＝4，9，解得

或1

q＝1

2

，

a1＝

q＝－3，

(舍去)

5故Sa41－11－q125315＝1－q＝＝. 1－14

2

等比数列的判定与证明

[例2] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)在(1)的条件下证明an

2n是等差数列，并求an.

[自主解答] (1)证明：∵由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5， ∴b1＝a2－2a1＝3. 由Sn＋1＝4an＋2，①

知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，② ①－②得an＋1＝4an－4an－1， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)． 又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.

∴{bn}是首项b1＝3，公比q＝2的等比数列． (2)由(1)可得bn－1

n＝an＋1－2an＝3×2，

∴

an＋1an3

2

n＋1－2n＝4

. ∴数列an13

2n

是首项为2，公差为4的等差数列．

∴an1331

2n＝2＋(n－1)4＝4n－4. an＝(3n－1)×2n－2.

5

———————————————————

等比数列的判定方法

(1)定义法：若

an＋1an**

＝q(q为非零常数，n∈N)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N)，anan－1

则{an}是等比数列．

(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an＋1＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·q(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·q－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．

注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.

2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

5

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋是等比数列．

4

nn*

2

*

解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.

依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·2，

52

即5＝b1×2，解得b1＝.

4

55n－1n－3

所以{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝×2＝5×2.

445

4

(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝

2

2

1－21－2

＝5×2

nn－2

55n－－，即Sn＋＝5×244

.

5

45×2n－155

所以S1＋＝，＝n－2＝2.

4255×2

Sn＋

4

Sn＋1＋

6

55

因此Sn＋是以为首项，以2为公比的等比数列.

42

等比数列的性质及应用

[例3] (1)在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，则

a41·a42·a43·a44＝________.

(2)已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，n∈N，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6

＝6，则S12＝________.

[自主解答] (1)法一：a1·a2·a3·a4＝a1·a1q·a1q·a1q＝a1·q＝1，①

a13·a14·a15·a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q＝8，②

a41·q4816

由②÷①，得46＝q＝8⇒q＝2，

a1·q2

3

4

6

*

又a41·a42·a43·a44＝a1q·a1q·a1q·a1q＝a1·q＝a1·q·q＝(a1·q)·(q)＝1·2＝1 024.

法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，

10

404142434166160461610

设公比为q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·q＝1·q＝8，

3

3

即q＝2.

∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q＝2＝1 024.

10

10

a4＋a5＋a6a1·q3＋a2·q3＋a3·q336

(2)法一：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q＝，a1＋a2＋a3a1＋a2＋a33

即q＝2.

故S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝(a1＋a2＋a3)＋(a1·q＋a2·q＋a3·q)＋(a1·q＋a2·q＋a3·q)＋(a1·q＋a2·q＋a3·q)＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q＋(a1＋a2＋a3)q＋(a1＋a2＋a3)q＝(a1＋a2＋a3)(1＋q＋q＋q)＝3×(1＋2＋2＋2)＝45.

法二：设等比数列{an}的公比为q， 则

2

3

3

6

9

3

6

9

3

3

3

6

6

6

9

9

9

3

a4＋a5＋a6363

＝q＝，即q＝2.

a1＋a2＋a33

因为S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝9，

S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12，

所以S12－S6a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12

＝＝ S6a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6

a1·q6＋a2·q6＋a3·q6＋a4·q6＋a5·q6＋a6·q6

a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6

＝q＝4.

7

6

所以S12＝5S6＝45. [答案] (1)1 024 (2)45 —————

——————————————

等比数列常见性质的应用

等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

3．已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和． 解：∵Sn＝2，其后2n项为S3n－Sn＝S3n－2＝12， ∴S3n＝14.

由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列， 即(S2n－2)＝2·(14－S2n)解得S2n＝－4，或S2n＝6.

当S2n＝－4时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，„是首项为2，公比为－3的等比数列， 则S6n＝Sn＋(S2n－Sn)＋„＋(S6n－S5n)＝－3， ∴再后3n项的和为S6n－S3n＝－3－14＝－378.

当S2n＝6时，同理可得再后3n项的和为S6n－S3n＝126－14＝112. 故所求的和为－378或112.

3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意q＝1时，Sn＝na，这一特殊情况．

(2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(3)在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1和q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况而导致错误．

4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法

(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，

2

an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在

解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．

a11－qna1a1n(2)整体思想：当公比q≠1时，Sn＝＝·(1－q)，令＝t，则Sn＝

1－q1－q1－qt(1－qn)．把

a1

1－q与q当成一个整体求解，也可简化运算．

n(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，Sna11－qn＝na1；当q≠1时，Sn＝；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．

1－q

8

(4)函数思想：在等比数列{an}中，an＝·q，它的各项是函数y＝·q图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.

创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题

1．在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题．

2．对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决．

[典例] (2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：

①f(x)＝x；②f(x)＝2；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( ) A．①② C．①③

[解析] 法一：设{an}的公比为q. ①f(an)＝an，

22

a1

qna1qxxB．③④ D．②④

a2n＋1an＋12＝q2， ∵2＝anan

∴{f(an)}是等比数列．排除B、D. ③f(an)＝|an|， ∵

|an＋1|

＝|an|

an＋1＝|q|， an

∴{f(an)}是等比数列． 法二：不妨令an＝2.

①因为f(x)＝x，所以f(an)＝4.显然{f(2)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f(x)＝2，

所以f(a1)＝f(2)＝2，f(a2)＝f(4)＝2，

9

2

4

2

nnnx

f(a3)＝f(8)＝28，

48

fa22fa32所以＝2＝4≠＝4＝16，

fa12fa22

所以{f(an)}不是等比数列．

③因为f(x)＝|x|，所以f(an)＝2＝(2). 显然{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln 2＝nln 2. 显然{f(an)}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C [名师点评]

1．本题具有以下创新点

(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质．

(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．

2．解决本题的关键有以下两点

(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{an}为正项等比数列，判断数列{an}，{2an}，{|an|}及{ln|an|}是否为等比数列问题．

(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键． [变式训练]

1m22

1．已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝

2n( )

3

A. 22C. 3

2

2

nnn32B.或 23D．以上都不对

2

解析：选B 设a，b，c，d是方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b299m3m2＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝. 22n2n3

2．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)1*

＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是( )

2

10

1A.，2 21C.，1 2

1B.，2 21D.，1 2

1

解析：选D 由已知可得a1＝f(1)＝，

2

a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，

2

a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3，„，

2an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，

2

112131n∴Sn＝＋＋＋„＋

222211n1－221n＝＝1－.

121－21*

∵n∈N，∴≤Sn<1.

2

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )

1

1

1

3nA．4×

23n－1

C．4×

2

2

2nB．4×

32n－1

D．4×

3

解析：选C (a＋1)＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，

a1＝4，q＝，故an＝4·n－1.

2

2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10

＝( )

A．4 C．6

2

3

2

3

B．5 D．7

解析：选B 由题意可知a3a11＝a7＝16，因为{an}为正项等比数列，所以a7＝4.所以log2a10

11

＝log2(a7×2)＝log22＝5.

3．各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( ) A．33 C．84

解析：选C ∵a1＋a2＋a3＝21，

∴a1＋a1·q＋a1·q＝21,3＋3×q＋3×q＝21， 1＋q＋q＝7，解得q＝2或q＝－3.

∵an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝21×q＝21×4＝84.

4．(2013·西安模拟)已知a，b，m，n，x，y均为正数，且a≠b，若a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有( )

A．m>n，x>y C．mB．m>n，xy

2

2

2

2

35

B．72 D．1

a＋b2

，n＝ab(a≠b)，∴m>n.

又2b＝m＋x，由b＝ny，得b＝ny， 即2ny＝m＋x≥2mx，∴ny≥mx， 即ny≥mx，≥>1.∴y>x.

5．已知等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于( ) A．36 C．±36

2

2

ymxnB．216 D．±216

解析：选B 由等比数列的性质得a3＝a1·a5＝2×18＝36， 又a3＝a1q＝2q>0，故a3＝6. 所以a2a3a4＝a3＝216.

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( ) A．2

n－1

3

2

2

3n－1B. 2

D.

12

n－12n－1

C. 3

解析：选B 利用等比数列知识求解． ∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an.

∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an.∴3an＝2an＋1. ∴

an＋13

＝. an2

12

1a21

又∵S1＝2a2，∴a2＝.∴＝.

2a12

3

∴{an}从第二项起是以为公比的等比数列．

213n－11－223n－

∴Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an＝1＋＝

321－2

1

也可以先求出n≥2时，an＝3n－1，2

n－2

再利用Sn＝2an＋1，

3n－1求得Sn＝.

2

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________. 解析：∵S3＋3S2＝0，即a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 答案：－2

8．若数列{an}(an∈R)对任意的正整数m，n满足am＋n＝aman，且a3＝22，那么a12＝________.

解析：令m＝1，则an＋1＝ana1⇒a1＝q，a3＝a1q＝22⇒q＝22，a12＝q＝. 答案：

9．(2013·聊城模拟)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b2

3

12

2

f2nf2n**

∈R，满足f(a·b)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2，an＝(n∈N)，bn＝(n∈N)，nn2

考察下列结论．

①f(0)＝f(1)；②f(x)为偶函数；③数列{an}为等比数列；④{bn}为等差数列．其中正确的是________．

解析：令a＝0，b＝0，则f(0)＝0，令a＝b＝1， 则f(1)＝2f(1)，故f(0)＝f(1)＝0； 设a＝－1，b＝x，

因为f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝－2f(－1)， 则f(－1)＝0，

所以f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，

f(x)为奇函数；

f(2)＝2f(2)＋2f(2)＝2f(2)＋2⇒

nn－1

n－1

n－1

nf2n2

n＝

f2n－12

n－1

＋1，则{bn}为等差数列；

13

∵b1＝∴

f22

＝1，∴bn＝1＋(n－1)×1＝n.

f2n2

nf2nn＝n，an＝＝2，则数列{an}为等比数列．

n答案：①③④

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)． (1)证明：数列{an}为等比数列； (2)求通项an；

(3)当k＝－1时，求和a1＋a2＋„＋an. 解：(1)∵Sn＝1＋kan，①

2

2

2

Sn－1＝1＋kan－1，②

①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)， ∴(k－1)an＝kan－1，∴{an}是公比为

ank＝为常数，n≥2. an－1k－1

kk－1

的等比数列．

1. 1－kn－1

n(2)∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝

1kn－1＝－k∴an＝·1－kk－1k－11k(3)∵{an}中a1＝，q＝，

1－kk－1∴{an}是首项为

2

. 12，公比为k2的等比数列．

k－1k－1

112

当k＝－1时，等比数列{an}的首项为，公比为，

4411n1－4411n222

∴a1＋a2＋„＋an＝＝1－.

1341－4

2

11．设数列{an}是一等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2.

3(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn.

2

解：(1)∵S1＝(b1－1)＝b1，∴b1＝－2.

3

14

2

又S2＝(b2－1)＝b1＋b2＝－2＋b2，

3∴b2＝4.∴a2＝－2，a5＝4. ∵{an}为等差数列， ∴公差d＝

a5－a26

3

＝＝2， 3

即an＝－2＋(n－2)·2＝2n－6. 2

(2)∵Sn＋1＝(bn＋1－1)，①

3

Sn＝(bn－1)，②

2

①－②得Sn＋1－Sn＝(bn＋1－bn)＝bn＋1，

3∴bn＋1＝－2bn.

∴数列{bn}是等比数列，公比q＝－2，首项b1＝－2， ∴bn＝(－2). 2n∴Sn＝[(－2)－1]．

3

12．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}对n∈N均有＋＋„＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋„＋c2 013. 解：(1)∵由已知得a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)＝(1＋d)(1＋13d)， 解得d＝2或d＝0(舍去)．

∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1(n∈N)． 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9， ∴数列{bn}的公比为3. ∴bn＝3·3

n－2

*

2

*

23

nc1c2b1b2cnbn＝3

n－1

(n∈N)．

*

(2)由＋＋„＋＝an＋1得 当n≥2时，＋＋„＋

c1c2b1b2cnbnc1c2b1b2cn－1

＝an. bn－1

两式相减得，n≥2时，＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝2·3

n－1

cnbn(n≥2)．

15

又当n＝1时，＝a2， ∴c1＝3.

3n＝1∴cn＝n－1

2·3

c1

b1

，

n≥2.

2 013

6－2×3

∴c1＋c2＋c3＋„＋c2 013＝3＋

1－3＝3＋(－3＋3

2 013

)＝3

2 013

.

1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( ) A．52 C．6

B．7 D．42

3

解析：选A 法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a2＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8

113333

＝a8＝10，所以a2a8＝50，所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a5＝(a2a8)＝(50)＝52.

36

法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)(a7a8a9)＝(a4a5a6)，

即a4a5a6＝±5×10＝±52，

又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝52.

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于( ) A．1∶2 C．3∶4

B．2∶3 D．1∶3

2

2

解析：选C 由等比数列的性质：S3、S6－S3、S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)＝S3·(S9

－S6)，

1S93

将S6＝S3代入得＝.

2S34

3．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝2. (1)求首项a1和公比q的值； (2)若Sn＝2－1，求n的值． 解：(1)∵a4a5a6＝a5＝2⇒a5＝16，

3

12

10

12

∴＝q＝4⇒q＝2，a1q＝a3，解得a1＝1.

a5

a3

22

a1qn－1n(2)由Sn＝2－1，得Sn＝＝2－1，

q－1

10

∴2－1＝2－1⇒2＝2，即n＝10.

16

n10n10

4．已知数列{aan＋an＋1

n}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝

2

，n∈N*

.

(1)令bn＝an＋1－an，证明{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)b1＝a2－a1＝1， 当n≥2时，bn＝a－1＋ann＋1－an＝

an－a＝－11

2n2(an－an－1)＝－2

bn－1，

所以{b1

n}是以1为首项，以－2

为公比的等比数列．

(2)由(1)知b＝an＋1－an＝1n－2n－1



，

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)

＝1＋1＋1－2＋„＋1－2n－2



1－－1

n－1＝1＋2

＝1＋21n－11－1－231－－2



＝5212n3－3－－1



， 又a1＝1也符合上式，所以{an}的通项公式为

a5

2n＝－－1332n－1

(n∈N*)．

17