分块矩阵的应用论文

引言

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.

矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵，其中A0，并且ACCA，则可求得方程组应用.

本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.

ABCDADBC；分块矩阵也可以在求解线性

1 分块矩阵的定义及相关运算性质

1.1分块矩阵的定义

矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.

定义1设A是一个mn矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将它

A11...A1s分成s块，于是有rs块的分块矩阵，即A.........，其中Aij表示的是一个矩阵.

Ar1...Ars1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法

设AaijmnBbijmn，用同样的方法对A,B进行分块

AAij其中Aij，Bij的级数相同，

rs，BBijrs，

则 ABAijBij.

rs1.2.2数乘

设是任AaijmnAijrs,k为任意数，定义分块矩阵AAijkAkAijrsrs与k的数乘为

1.2.3乘法

设Aaijsn,Bbijnm分块为AAij,BBij，其中Aij是sinj矩阵，Bij是

rllrnimj矩阵，定义分块矩阵AAijrl和BBij的乘积为

lrCijAi1B1jAi2B2j...AilBlj,i1,2,...t;j1,2,3,...,l1.2.4转置

设Aaijsn.、

分块为AAijrs，定义分块矩阵AAijrs的转置为

AAji1.2.5分块矩阵的初等变换

sr

分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换：

2

(1) 对调A的两行(用rirj表示对调i、j两行)；

(2) 用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵(用Kri表示用K左乘第i行)； (3) 将A的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去(riKrj表示将第j行左乘K再加到第i行).

将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.

2 分块矩阵的应用

2.1用分块矩阵解决行列式的问题

利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.

引理2.1([3])若A为k阶方阵，B为r阶方阵，C为rk矩阵, 则有

A0CBAB

在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论.

A 定理2.2([3])若n阶方阵P可分为PCB其中A为r阶方阵, B为D

rnr矩阵, C为nrr矩阵, D为nr阶方阵, 则有

（1）当A为可逆矩时PADCA1B； （2）当D为可逆矩阵时PDABD1C.

在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：

c0bac10...a0b0c3...0...b.........cn0...0例2.3 计算行列式 Pa其中c10,i123...n.

T解 设 A(c0)，Bbb...b，Caa...a

3

c10...00c...03,c0,i1,2,,n Di.........00...cn则D为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知

PACBDDABD1C ，

00...1cn

c110...10c2...1将 D......00...11及A,B,C,D代入得 Pc1c2...cn(aab(c11c2...cn)).

a例2.4 矩阵Paijb当ij时当ij时，求行列式P的值.

解：行列式P的主对角线元素为a，其余元素为b，因此： （1）当ab时，由行列式的性质知P=0；

（2）当ab时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得

ab0P0bba0...abba.........00...bb...0000...， abbaba...abba00abba...令

A......00...000...000...00,B...,abbao0abba 00Cbbb...b,Da,

由定理2.2可知 PADCA1B，

4

1ab,ij, ，A,i>j01而 Aab计算结果得 Pabn1n1a1nbaba+n1b.

n1若定理中的矩阵A和D均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式

DABD1CADCA1B进行转换求行列式的值，举例说明如下.

推论2.5 若A,B,C,D均为n阶方阵，且A可逆，ACCA， 则 TACBDADCB.

1111例2.6 计算行列式 T1223.

10250121

AB解 对T进行分块T， CD11111025其中 A,B,C,D, 12230121显然A可逆，且ACCA，所以TADCB，

4611而 AD， CB6723所以， T31010.

定理2.7 若A,B均为n阶方阵，则

ABBABAB.

A.

41. 23123234例2.8 计算行列式 T341412 5

AB解 对矩阵T进行分块T， CD1234其中 A,B41, 234622由于 AB ，AB, 22所以 TABAB(20)(8)160. 2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用

例2.9设n个未知数m个方程的线性方程组为

a11x1a12x2...a1nxnb1axax...axb2112222nn2 （1） ......am1x1am2x2...amnxnbm记Aaijmn,X=x1,x2,...,xn（其中T表示矩阵的转置）, Bb1,b2,...,bm ,

TT则方程（1）的矩阵形式为 AXB.

A把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式11A21A12X1B1，其中 A22X2B2a11......a1ra1r1......a1n，A............，AAA11............11121ar1......arrarr1......arnA12，

ar11......ar1rar1r1......ar1n，A...，AAA21.....................21222am1......amramr1......amnA22，

X1x1x2...xr，X2xr1TTxr2...xn，

TTB1b1b2...br，B2br1br2...bm，

方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解.

定理2.10. 设方程组（1）有解且rArn,rA11r，则方程组A11与AXB同解.

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A12XB

例2.11．已知方程组

x112x12x131x22x23x242 （2） x31x322x33x341 2x413x423x43x440求此方程组的解并证明此方程组和方程组

x112x12x131 x 22x23x242同解.

1210解：令A0111121，(AA)12101112，其中

101112331A12101211，01A12，11B，B11，120121012101011121210110111201112112110000，23310011120011120000032c11所以此方程组的齐次线性方程组的解为11c20，

0132又是方程组的一个特解， 00323所以此方程组的解为 c1121c2，1000

10 7

（3）

由上可知r(A)2并且r(A11)2，所以由定理3可证方程组（2）和（3）同解. 2.3分块矩阵在相似问题中的应用

A0B0定理2.12.如果方阵A~B，方阵C~D，则~0D. 0C证明 因为方阵A~B，方阵C~D，

E0X1所以 10Y00A0XE0C00E0 E0Y0B0， 1YCY0D

1X10A0X010C0Y

1E0X而 10Y010X1AXY01X10E010YE00XE00E00Y， EA0B0所以 ~0D. 0C2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题

A0定理2.13.设M,A为mn矩阵，B为kl矩阵， CBA0则有rMrArB，且C0时，rMrrArB CB 证明 设A在初等变换下的标准形为

ErD100，rrA， 00，srB， 0E又设B在初等变换下的标准形为 D2s0那么，对M前m行前n列作初等变换，对它的后k行后l列也作初等变换可把M化为

D1M10C1， D2现在利用D1左上角的1经列初等变换消去C1位置中的非零元；再用D2左上角的1经行初等变换消去它上面C1处的非零元素，于是把M1再化作

8

Er0M2000000000Es0C2， 00则有 rMrM1rM2rsrC2rsrArB.

利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.

例2.14. 设A为mn矩阵，B为nl矩阵，若AB0，则rArBn. 证明 因为

AA0rArBrrE0Bn00rBEnAB0rBEn00rBEn0n， 0所以 rArBn.

例2.15. 设A、B都是n阶矩阵，求证：r(ABAB)r(A)r(B).

AABABE(2)(1)证明：因为 B0AABAA0， 0(1)(BE)(2)B0BEEEBEA0所以 00B， 0EEEEEBE又，都可逆， E0E0AABABA0所以 rr0B， 0BAABAB而 rrABAB B0A0又 rrArB， 0B所以 r(ABAB)r(A)r(B). 2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题

分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.

定理2.16. 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAI

9

那么矩阵称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.

A1A0若A,B都可逆，则 0B0AC0B110 1B1A101A1CB1A0,1CBBA1BA1Enk0A111BCA0, 1BEkABCD00Ek1D11CA0Enk

其中D1DCA1B.

以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.

12002100，求A1. 例2.17. 已知矩阵A00120025A101212AA解：可以将矩阵A分成四块A，其中，212125，根0A2A11据分块矩阵的性质，A0111

0，而A1，A2为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别1A22525，A21， 121515为 A2521005521001所以 A55

005200212.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用

在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.

定理2.18. 设A 为n阶矩阵，是一个数，如方程AXX,存在非零解向量，则称为A的一个特征值，相应的非零解向量X称为与特征值对应的特征向量.

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定理2.19.设A为n阶矩阵，含有未知量的矩阵IA称为A 的特征矩阵，其行列式IA为的n次多项式，称为A 的特征多项式IA0称为A的特征方程，是矩阵A的一个特征值，则一定是IA0的根，因此又称为特征根.若是

IA0的ni重根，则称为A的ni重特征值.

引理2.20.设A为n阶矩阵，则A为幂等矩阵的充要条件rAErAn，这里E为n阶单位矩阵，rA表示A的秩.

E引理2.21.幂等矩阵A11A12XB 与r0000 或0E相似，其中rrA. 0r例2.22. 设A,A1,A2均为n阶方阵，且AA1A2，rAr,rAirii1,2，

求证：若A2A,rr1r2，则A,A1,A2的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.

证明：（1）当A可逆时，即rAn，因为A2A，所以AE， 又 rr1r2，EA1A2， 由已知得rArA1rA2n，由引理2.20得到A12A1.

2A2，所以A1，A2是幂等矩阵，由引理2.21得 同理A2EA1~r0EA,A1,A2和E，r0000，A2~， 0E0r000，有相同的特征根，所以A,A1,A2的特征值为1或0，且0E0r特征值1的个数和它们的秩相等.

（2）当rA0时，即A0，结论显然成立.

（3）设0rn，即A为非零由布可逆矩阵，又因为A2A，故存在可逆矩阵P使

P1APP1A1PP1A2P，rrA，

E令 r00A11A12B11BAA0212221B12 B22这里 P1APAij P1A2PBijErA11B11， 所以 r=rA11B11rA11rB11rA1rB1r， 从而 r=rA11B11rA11rB11rA1rA2r，

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又因为 rA1rA110， rA2B110， 从而 rA1rA11，rA2B11，

这样ErA11B11，且rA11B11r，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q，使

Er1QA11Q=01001 ，QB11Q=000， Er20En-rB12Q10B220En-r

Er00Q101QPAP100E0n-r0Q101QPAP2En-r0E0n-rQ10A11A12Q10Q10B11AAB0E0E0E22n-r21n-rn-r21Q1A11QQ1A12Q1B11QQ1B12，

B22A21QA22B21QEr0C11QA11QQA120C21设 ， 0A21QA22GGA11122211Er0C11r，所以G0,G0， 00C又因为r2112211G11G12A22QB11Q设 B21Q100W11QB120EWr221， B22ZZB1112221同上可得Z110，W110 ，故C110,G110,W210,Z120，又

Er1QA11QQA120AQA212201100000， A22Q1B11Q从而A220，同理 B21Q0QB120B220100Q10Er20 ，TP，

0Enr00Er1故有 T1AT000Er200Er10,T1AT1000000000,T1A2T00000Er20， 00 12

综上所述,结论成立.

小结

本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方

面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.

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参考文献

[1] 蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007：141-149. [2] 杜之韩,刘丽,吴曦.线性代数[M].成都：西南财经大学出版社，2003：61-68. [3] 郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].唐山师专学报，1999(5):37-38. [4] 王萼芳.线性代数学习指导[M].北京：清华大学出版社，2008：104-108. [5] 祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009：1-4. [6] 孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006（5）：24-25.

[7] 王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报，2008（3）：98-99. [8] 严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报，2006（59）：71-73. [9] 张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报，2003（1）：118-120. [10] 周兴建.分块矩阵及其应用[J].科技资讯，2007（35）：126-126.

[11] 陈晓兰，杨子胥.分块矩阵的一些应用[J].德州师专学报，1995（4）：1-14. [12] 钱钶.用分块矩阵证明矩阵秩的若干定理[J].景德镇高专学报，1995（4）：11-14. [13] 徐常青，杜先能.高等代数方法与应用[M].合肥：安徽大学出版社，2002：66-67.

[14] 林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用[J].广东广播电视大学学报,2006,15(2):109-112. [15] 张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2003，1(1):120.

[16] 刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].沧州师范专科学校学报,2006,22(4):40-41. [17] 李玉梅.分块矩阵的几个重要应用[J].怀化师专学报，2000，19(4)：77-78.

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