一、知识点梳理： 1、i的周期性：
i 4=1,所以，i4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i
4n=1 n
Z
i
4n
・ 4n 1 4n 2 4n 3
i i i
a bi a,b R , a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。
2、复数的代数形式:
C a bi |a,b R叫做复数集。隼瑁车有C. 3、复数相等：a bi c
di a c且b=d
实数(b=0)
； a bi 0 a 0且b=0
4、复数的分类：复数Z a bi
虚数(b 0)
一般虚数(b 0,a 0)
纯虚数(b 0,a 0)
虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 i,6 2i也没有大小。
uir . 一… …ur
5、复数的模：若向量OZ表不复数Z,则称OZ的模r为复数z的模，z |a bi | Va2 b2 ；
-----------
积或商的模可利用模的性质(1)
z, L zn z1 z2 L zn , (2) 3
Z2
z2
. z2 0
6、复数的几何意义：
复数z a bi a,b R 一对应 复平面内的点Z(a,b)
一一对应
复数Z a bi a,b R
uu
平面向量OZ,
其中x轴叫做实轴,
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，
y轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数；
8、复数代数形式的加减运算 复数 zi 与 z2的和：zi+z2=(a+bi)+( 复数 zi 与 z2 的差：zi- z2=( a+bi)-( 复数的加法运算满足交换律和结合律
c+di )=( a+c)+( b+d) i . a,b, c,d c+di )=( a- c)+( b- d) i . a, b, c, d
R R
数加法的几何意义： 复数 z产a+bi, z2=c+di a, b,c, d R ； OZ = OZ, +OZ2 =(a, b)+( c, d)=( a+c, b+d) = (a+c)+( b+d) i
ur ir
复数减法的几何意义：复数
zi-z2的差(a—c)+( b—d)i对应•由于Z2Zi
^
复数的差z — zi与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，zuuB
ZB-ZA,
uuuu uuur O乙 OZ2,两个
zAg AB zB zA为两点间的距离。
|z zi | |z z2|z对应的点的轨迹是线段 ZiZ2的垂直平分线；|z z0| r, z对应的点的
轨迹是一个圆；| z z11 | z z212a 乙Z2 2a , z对应的点的轨迹是一个椭圆;
|z zi | |z z2| 2a Z1Z2
2a , z对应的点的轨迹是双曲线。
zi z2
z1 z2
z z2
10、显然有公式：
2 z2
2
2
1 z2
zi z2 2 zi z2
11、复数的乘除法运算: 复数的乘法：ziz2= ( a+bi)( c+di)=( ac—bd)+( bc+ad) i. a,b,c,d R 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对z12223c C及m,nCN有: m n m+n m n mn
n n n
z z =z ，亿 ) =z，(z 1z2) =z1 z2 .
z1 a bi ac bd
bc ad
复数的除法： 一 (a+bi) (c+di)= --------------------- =———2- ———2i
a,b,c,d R ,分母头z2 c di c d cd
数化是常规方法
12、共轲复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轲复 数；特别地，虚部不为 0的两个共轲复数也叫做共轲虚数；
z a bi, z a bi a,b R ,两共轲复数所对应的点或向量关于实轴对称。
2 . 2
2 -1 2 ------------- -
一
z z a b R, z z
z z , z1 z2 z1 z2,
z1 z2 z1 z1 2 ,
z
z2
13、熟记常用算式： ................................... - i , (1 i) 1 2 2i , (1 i)2 i
c
c
14、复数的代数式运算技巧：
1 i
. 1 i 2
2
i
(1)① (1 i) 2i ② (1 i) 2i ③ 1 i ④1
i
1 3 — — i
(2) “1”的立方根 2 2的性质:
3
.
2 一 ,
2
—
一 1
— ① 1② ③1 0④
⑤
15、实系数一元二次方程的根问题：
(1)当 b2 4ac 0时，方程有两个实根 x1，x2。 (2)当 b2 4ac 0时，方程有两个共腕虚根，其中
X1 X2
*
此时有
Xi X2 Xi X2
_ 且 Xi,2 a
2a X2
注意两种题型：(1) X1 X2 虚系数一元二次方程有实根问题： 韦达定理。
已知X2 X1是实系数一元二次方程
,2
(2) X1
不能用判别式法,
般用两个复数相等求解。但仍然适用
ax2 bx c 0的两个根，求 X2 X1的方法:
(1)当 b 4ac 0时,
1 ------------------- 2 -------------------
vb 4ac
X2 Xi v'(Xi X2)
4XIX2 ------------------ i -------------
a
,2
(2)当 b 4ac 0 时, Xi
X2)2
4X1X2
..4ac b2
a
X2
已知X1,X2是实系数一元二次方程
ax2 bx c 0的两个根，求X2 xi的方法:
(i)当
…
b2 4ac 0时，
Xi X2 a
b
:
① X1 X2 0,即 £ 0,贝^ X2 xi a
一 c 一
② Xi X2 0,即一0,则 X2 xi a
2
xi X2 \\ (xi X2)
(2)当 b 4ac 0时，
X2 xi
v'b2 4ac
4X1X2 ---------------------
a
2
2 xi 2 二、典例分析： … …(i+i) 2 - 例i . (i)复数:苔一等于() A.i -i B.i+i C. (i+i) 2 2i 解析：复数^—一=—— i(i i) i J i i 一 i+ i D. — i 一 i i ,选 C. (2)若复数z同时满足z — z =2i , z = iz (i为虚数单位)，则z = 解：已知 Z iZ 2i Z \"i i; i i (3)设a、b、c、de R,则复数(a+bi)( c+di)为实数的充要条件是 A. ad—bc=0 B. ac—bd=0 C. ac+bd=0 D. ad+bc=0 解析：(i) a,b, c R,复数(a bi)(c di) = (ac bd) (ad bc)i 为实数，，ad bc 0 , 选D; (4)已知—— 1 ni,其中m, n是实数，i是虚数单位，则 m ni ( (B) 1 — 2i (C)2+i (D)2 ) — i 1 i (A)1+2i 解析：mL i 1 i 1 n ni m 1 n 1 n i ,由m、n是实数，得 0 , 1 n m m ni 2 i ,故选择C (5)设x, y为实数，且—x- —y- 1 i 1 2i 1 3i 则x y 解析: x y 1 i 1 2i 5(1 3i) 10 x(1 i) y(1 2i) ^ 1 3i 5 1所以个 y 2y且) 2 5 2 2 2 5 2 所以x+ y= 4。 点评：本题考查复数的运算及性质，基础 例2: (1)计算： 2“3 —1996 」 2 1 i 1 2 . 3i 答案：1 i (2)设复数z满足关系z | z| 2 i ,求z； 解：设z=a+bi (a,b为实数)，由已知可得a bi Ja2 b2 由复数相等可得：a va b 2,解得 2 i 1 ,所以z 3 4 4 i a - ,b b 1 设z=a+bi-x+yi (a,b为实数)复数问题实数化。 (3)若 x C ,解方程 |x| 1 3i x 解：设x=a+bi (a,b e R)代入条件得：为；a2 2,2. b2 1 a (3 b)i ,由复数相等的定义可得: aa b 1 a 3 b 0 , a=- 4, b=3, . . x= —4+3i。 2 2 例3: (1)复数z满足| z i | | z i | 1 ,则z对应的点在复平面内表木的图形为( A) A.直线 B .圆 C .椭圆 D .抛物线 解：令 z=x+yi ( x, y C R),贝U x2+(y+1) 2— [x 2+(y — 1) 2]=1 , . . y=1/4。故选 A。 (2)设复数z满足：|z 3 百i | <3 ,求|z|的最大值与最小值； 解：团的最大值为3 73 ,最小值为 翼; (3)已知zCC, |z—2|=1且复数z—2对应的点落在直线 y=x上，求z。 解：设 z — 2=a+ai , = |z —2|=1 , a —, 2 , , z 2 — — i 或 z 2 — — i ° 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 z=a+bi再利用条件，但运算 【思维点拨】 从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设 复杂。 (4)设z C,1 |z|也,则复数u 解: z(1 i),在复平面内对应的图形面积为 «12)2] 2 |u|二| z|?|1+i|= j2|z| ,V2w|u| W2,故面积 S= [22 【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法O 例4：已知z=1+i , a, b为实数, (1)若co =z2+3z — 4,求| 3 |; (2)若 z ° az b 1 i ,求 a, b 的值。 z z 1 2 解：(1) co =(1+i) 2+3(1 - i) -4=-1-i , (2)由条件(a b) (a 2)i | | V2 o 1 i ,(a b) (a 2)i 1 【思维点拨】利用复数的充要条件解题。 例5:设z C,且一^是纯虚数, z 1 求| z i |的最大值。 解：令 z=x+yi (x, y € Ri)，贝U — z— z 1 —是纯虚数, (x 1) y (x 1)2 y2 z 1 0,即(x 14(y 0),由数形结 合可知本题是求圆 / 1 \\2 y 2 1 5 1 2 (x 3) 4y ( 0)上的点到A(0, -1) 的取大距离。，| z i|max=|PA|= ----------------- 。 练习: 1.已知复数z与(z 2)2 8i均是纯虚数，则z Z 2i 1.1. (a 2i)i bi,其中a、bCR, i是虚数单位，则a2 A. 0 B. 2 C. 5 D . 5 2 3 .设复数①=—! +、3 i,则 1+co=( ) C 1 ①)1 b2= ( D ) 2 (A) —3 2 © (B)①2 4 .复数z 工 的共轲复数是(B ) A . 13 2 2 .......................................... … 、一 B. 1 1i 2 2 2 3 C. 1 i ()D D. 2, 2i (C ) (C) bc ad 0 ()B D. 1 i 5 .若复数z满足方程z 2 0,则z A. 2 2 B. 2.2 C. 2,2i 6 .设a、b、c、d R,若—~bi为实数，则 c d i (A) bc ad 0 (B) bc ad 0 7 .如果复数(m2 i)(1 mi)是实数，则实数m (D) bc ad A. 1 B . 1 1 C . 72 D - 72 i \\ 2005 ( ) A 2005 2005 8 .(——) 1 i A . i B. - i C. 2 D.一2 9 .满足条件 忆i| |3 4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆 10 .若z1 a 2i, z2 3 4i ,且亘为纯虚数，则实数a的值为 ()C z2 11 .已知 m 1~\\ 1 ni,其中m, n是实数, (B) 1-2i (B) — 3 3 i是虚数单位，则m ni (C)2+i (C) 2 C (D)2- i (D) -2 (A)1+2i (A) 3 12、复数(1 i)3的虚部为 解析：复数1 i =1 3i 3 i 2 2i,所以它的虚部为一 2,选 D. ，£ 13、在复平面内，复数 ——对应的点位于 i (A)第一象限 (B)第二象限 解：型上=1_ i故选D; _______ _1 i (C)第三象限 (D)第四象限 i -1 点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点， 察复数的的分类和几何性质。 属于比较基本的题目， 主要考 3 i .................................................. 14、求满足条件：z (z z)i ------------------- (i为虚数单位)的复数z 2 i ................................................. 2 - 一 ［解］原方程化简为z (z z)i 1 i, 2 设 z=x+yi(x、yC R),代入上述方程得 x，y2+2xi=1-i, 1 L x2+y2 = 1 且 2x=-1，解得 X=——且 +、..3 y=±— 2 2 •••原方程的解是z=-1±—i. 15、已知 Z1 x2 vx2 Z2 2 (x a)i对于任意的xC R均有忆1| >|z 2|成立，试求 实数a的取值范 解：围。|z i | >|z 2| , [时, 不等式成立; 当1 2a 0时 1 2a 0 4(1 2a)(1 a2) 0 a 【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。 1 2 2 _ 2 1 1、 —。综上信 a ( 1, — ] o 2 2 1 一 2 (x a)，.二(1 2a)x (1 a ) 0 ,对 x R成 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容