浙江大学城市学院线性代数期末试卷汇集

浙江大学城市学院

线性代数期末试卷及解答

浙江大学 姜豪 汇编

2012年2月

目 录

第一部分 试卷真题

城院线代11—12学年第一学期期末试卷…………………………………………2 城院线代10—11学年第二学期期末试卷…………………………………………4 城院线代10—11学年第一学期期末试卷…………………………………………6 城院线代09—10学年第二学期期末试卷…………………………………………7 城院线代09—10学年第一学期期末试卷…………………………………………9

第二部分 答案与评估

城院线代11—12学年第一学期期末试卷答案……………………………………11 城院线代11—12学年第一学期期末试卷难度与题量评估………………………12 城院线代10—11学年第二学期期末试卷答案……………………………………12 城院线代10—11学年第二学期期末试卷难度与题量评估………………………13 城院线代10—11学年第一学期期末试卷答案……………………………………13 城院线代10—11学年第一学期期末试卷难度与题量评估………………………14 城院线代09—10学年第二学期期末试卷答案……………………………………14 城院线代09—10学年第二学期期末试卷难度与题量评估………………………16 城院线代09—10学年第一学期期末试卷答案……………………………………16 城院线代09—10学年第一学期期末试卷难度与题量评估………………………17

第三部分 试题详解

城院线代11—12学年第一学期期末试卷详解……………………………………18 城院线代10—11学年第二学期期末试卷详解……………………………………24 城院线代10—11学年第一学期期末试卷详解……………………………………31 城院线代09—10学年第二学期期末试卷详解……………………………………37 城院线代09—10学年第一学期期末试卷详解…………………………………....43

1

第一部分 试卷真题

 城院线代11—12学年第一学期期末考试卷

一、填空题（每空2分，共20分）

1711．3阶行列式102中a12的余子式为______，a23的代数余子式为_______.

231_,2．设A且|A|2, |B|3，则|2ABT|_ , B均为3阶方阵，

|(A2)1|__。

13．已知向量1，且AT，则A12012A ，。 4．已知向量组1,2,3线性无关，1,2,3,4线性相关，则4_____（填能或不能）由1,2,3线性表示。

5．已知3阶可逆方阵A有一特征值为2，则A1必有一特征值为______，

A32A2A2E必有一特征值为______，|A32A2A2E|_____ 。

二、问答题（每题4分，共20分）

1．已知方阵A满足关系式A22A2EO，则A2E可逆吗？说明理由。 2．已知3元非齐次线性方程组AXb有两个不同的解向量1, 2，且秩R(A)2，则此非齐次线性方程组的通解为c11c22（c1, c2为任意常数）吗？说明理由。

340A1103．已知，则A能否对角化？说明理由。

1021124．判断矩阵A014是否是正交矩阵，并说明理由。

1125．1123,2211,3132是否是R3的一组基？说明理由。

TTT

三、简单计算题（每题6分，共30分。只写答案无过程不得分。）

2

12202310011311．计算行列式D326

1302．已知矩阵方程X6BBX，且B210，求X 。

00211313．设矩阵A122a的秩为2，求a, b的值。

23b3x1x2x3x40x3xx2x02344．求齐次线性方程组 1 的基础解系和通解。

2x13x2x35x403x15x2x36x40315．求矩阵A51的特征值与特征向量。

6．已知向量112，而向量在R3的基1111,2110，

TTTT3100T下的坐标为211，求向量, 的内积。

四，计算题（第1题10分，第2题14分，共24分。只写答案无过程不得分。） 1．已知向量组1111,2101,3a12。问a为何值时此向量

TTT组线性无关？a为何值时此向量组线性相关？在线性相关时求出一组极大无关 组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。

222x32x1x22x1x32x2x3，求一正交变换XUY，将 2．设二次型f2x122x2此二次型化为标准形，并写出标准形。

五，证明题（本题6分）

已知方阵A能对角化，即存在可逆矩阵P使得P1AP，其中为对角矩阵， 又(A)amAma1Aa0E，证明(A)也能对角化。

3

 城院线代10—11学年第二学期期末试卷

一，填空题（每空2分，共20分）

0a01111．3阶行列式b0c______, 123_________

0d01493522．设A是3阶方阵，且A的秩R(A)1,而B010，则B_______（请填“是”

124或者“不是”）可逆矩阵，R(AB)_______

23．已知向量202，且AT，则A20112T 1004．设矩阵A010，那么齐次线性方程组AXO的通解为___________

0005．已知3阶方阵A的特征值为2, 3, a，且|A|36，则a______, 而 |A25A5E|_____。

2006．A040所对应的二次型为

001，此二次型的秩为______。

二，问答题（每题5分，共20分）

5211．一位同学计算一个3阶行列式时做了如下的计算：1240819，请判

252252断该同学的做法是否正确，并说明理由。

a112．如果矩阵1a1的秩为1，那么a取何值，并说明理由。

11a5r2r15213．在非齐次线性方程组AnnXb中，若|A|0，则此方程组必有无穷多解吗？请说明理由。

2A4．设3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵141有一个特征值等于多少？说明

4

理由。

三，简单计算题（每题5分，共20分,只写答案无过程不得分）

21022111124024141. 计算行列式

010112. 已知矩阵方程BAXX，且A111, B20，求X 。

10153x1x22x3x412xxx2x32343. 求非齐次线性方程组1的通解，并用向量形式表示：

x3x42x1 3x453x1x2 4．求向量组11342,23120,32131,

TTT44311T的秩和一个极大线性无关组。

5．已知1111，求一组非零向量2,3，使1,2,3两两正交。

T6．求向量255在R3的基：1101，2221，

TTT3211T下的坐标。

四，计算题（每题12分，共24分，只写答案无过程不得分）

12301．已知矩阵A与（1）求x, y； B4x0y相似，（2）若(A)A109A8A2E，求(A)的特征值及(A) 。

2．设二次型f2x1x22x1x32x2x3，求一正交变换：XUY，将二次型化为标准形，并写出标准形。

五，证明题（本题6分）

设1,2,3是齐次线性方程组AXO的基础解系，是非齐次线性方程组AXb的解。证明：（1）1,2,3, 线性无关；（2）1, 2, 3, 线性无关。

5

 城院线代10—11学年第一学期期末试卷

一，填空题（每空2分，共20分）

1011．已知3阶行列式|aij|235，则a12的代数余子式_______, |A|_______

1112．设3阶方阵A的行列式|A|2，则|2A|_______, |A2|________

1123．已知向量12,20,33，则21323034T

4．设非齐次线性方程组A43Xb, R(A)2，且1210,2132是该方程组的解，则此非齐次线性方程组的通解为______________________ 5．已知3阶方阵A与B相似，且A的秩R(A)2，则R(B)____, |B|____

T1326．矩阵A345所对应的二次型为____________________________，且此

251二次型的秩为_______。 二，问答题（每题5分，共20分）

1．5阶行列式的项a12a25a31a44a53的符号为_________，请说明理由。

1002．F012是初等矩阵吗？请说明理由。

0013．n阶实对称矩阵A一定有n个不同的特征值吗？（正确说明理由，错误请举反例） 4．向量组1121,2202,3323是不是3维向量空间R3的

TTT一组基？请说明理由。

三，简单计算题（每题5分，共30分，只写答案无过程不得分） 1．已知A12229A, A，求 。 4x12x2x302．用初等行变换法求方程组 2x13x2x30的通解，并用基础解系表示。

4xxx0231

6

3．已知向量组1202,2311,321t，则t取何值时该向量

TTT组线性相关，并在线性相关时求此向量组的一个极大线性无关组。

2002004．已知矩阵A202与B0y0相似，求x, y

00131x5．已知1, 1, 1是3阶实对称矩阵A的三个特征值，向量1011是属于特

T征值1的特征向量，求A的属于特征值1的全部特征向量。 6．求向量124在R3的基1100，2110,

TTT3111T，下的坐标。

四，计算题（每题12分，共24分，只写答案无过程不得分）

1．已知3阶矩阵A的三个特征值为1, 1, 2，它们所对应的特征向量分别为

20511, 20, 31，若(A)A52A34A2E，求：

013（1）(A)的特征值；（2）A。

222x32x1x22x1x32x2x3，求一正交变换：XUY，2．设二次型f2x122x2将此二次型化为标准形，并写出标准形。

五，证明题（本题6分）

102 设A是43型矩阵，R(A)2，而B020，证明：（1）B是可逆的；

103（2）矩阵AB的列向量组线性相关。

 城院线代09—10学年第二学期期末试卷

一．填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)

1231．已知3阶行列式aij456，则：

7a23的余子式， a12的代数余子式。

7

212．设fAA5A3E,且A， 则fA332。 .

3．设方阵A满足A22A3E0,则A可逆，且A14．已知方程组1T11X1无解，则T.

T4. 设1031,2240,3271，则此向量组线性相关或者无关），此向量组的秩为 ，.

（填

x36. 已知与 y51002相似，则x,y.

7. 1,2是实对称矩阵A的分别属于特征值1,2的特征向量，且12，则内积

1,2

.

二．问答题（本大题共4题，每题5分，共20分）

1．若方阵A,B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵吗？（正确请证明，错误请举 例说明。）

TT2．二维向量a1,a2,b1,b2线性相关的充分必要条件是a1b2a2b10吗？

（正确请证明，错误请举例说明。）

3．若方阵A可逆，且满足A2A, 则A的特征值只能为 ，请说明理由。

4.二次型fx1,x22x13x22x1x2的矩阵为2222吗？请说明理由. 03

三．简单计算题(本大题共6题，每题均5分，共30分。只写答案无过程不得分。)

11111.已知A，B24,且AXB,求X. 21x1x2x312.用初等行变换法求方程组x22x30的通解.

2xx8x22313.求向量组1111,2101,3012,4123的极大 线性无关组.

TTTT 8

120，问a取何值时，能对角化. 4. 已知矩阵A210A2a35. 已知3阶方阵A的行列式A2，且A的三个特征值为1,2,3.求：(1)3； （2）AA32A22E的特征值.

6. 求向量130在R3的基1101,2010,3122 下的坐标.

四．计算题(本大题共 2题，每题12分，共24分。只写答案无过程不得分。)

TTTT11,2是属于 01.已知6，3，3是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量1211特征值3的两个特征向量.求（1）A的属于特征值6的特征向量；（2）矩阵A. 2.设二次型fx12x22x322x1x2，求一正交变换：XUY，将二次型化为标准 形，并写出标准形.

五．证明题(本题6分。)

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX0有解向量，且

Ak10，证明向量组, A, , Ak1线性无关。

 城院线代09—10学年第一学期期末试卷

一，填空题（每空2分，共20分）

2461．已知2572，则

012012002．已知A1101123125257_____, 2512_____013。

2035，则A1100200。

123．设非齐次线性方程组A43Xb, R(A)2，且12, 22是该方程组的

10___________。 解，则此非齐次线性方程组的通解为__________

9

4．n阶方阵A2E的秩小于n，则A有一个特征值为______。

15．已知3阶方阵A与对角矩阵0004310相似，且(A)A3A5A2E，020则(A)的特征值为____, _____, _____, |(A)|____，(A)____（填能或者不能）对角化。

二， 问答题（每题4分，共20分）

1．已知方阵A是可逆矩阵，则AT可逆吗？请说明理由。

1111A23242．已知，则A的秩等于多少？请说明理由。

21243．含零向量的向量组一定线性相关吗？请说明理由。

4．不同矩阵的特征值一定不同吗？请说明理由。

5．已知向量组：1112,2210,3312，则此向量组是否

TTT是向量空间R3的基？请说明理由。

三， 计算题（本大题共5题，第1，3，4题均10分，第2题8分，第5题16分，

共分。只写答案无过程不得分。）

00111．已知A110, B000020200100，且AXBA，求X 。 1x1x2x34x4x3xx2x12342．求非齐次线性方程组 2x13x2x35x43x15x2x36x431 的通解。 5712342343．已知向量组为：,,,5，（1）求此向量组的一个极123434564567大线性无关组；（2）将其余向量用此极大线性无关组线性表示。

5134．已知A153，求A的特征值和特征向量。

3335．已知3阶实对称矩阵A的特征值为4，1，1 ，且特征值4所对应的特征向量为

10

1111T，特征值1所对应的特征向量为2110T,3101T （1）求 A；（2）写出A所对应的二次型；（3）求一个正交变换XUY化该二次 型为标准形，并写出标准形。

四，证明题（本大题6分）

设n阶方阵A的n个特征值互异，n阶方阵B与A有相同的特征值。试证明A与B是相似的。

第二部分 答案与评估

 城院线代11—12学年第一学期期末考试卷答案 一，填空题

111111201111．3 , 17 2. 48 , 4 3. 111 ,3111 4. 能 5. 1， 0 ， 0 2 111111二，问答题（下面给出结论，理由见后面的“详解”）：

1．可逆； 2. 不对。应该是c(12)1； 3. 不能对角化；4. 不是；5. 不是。 三，简单计算题

2763013、21. 120； 2. 260； 3. a2, b5； 4. 基础解系为1，

10001201（注：基础解系并不唯一）通解为Xk11k22，k1,k2为任意常数。5.特征值为4

11与2。属于4的特征向量为k1,k10，属于2的特征向量为k2, k20。

156. (, )T5 。 四，计算题

1．a2时此向量组线性无关；a2时此向量组线性相关，1,2为一极大无关组，

11x112162．正交变换：x226x2360五，证明题：证明见“详解”。

131313y1224y3y2，标准形：fy12y2 。

y3 11

 城院线代11—12学年第一学期期末考试卷难度与题量评估 一，1. a 2. a 3. b 4. a 5. b 二，1. b 2. b 3. b 4. a 5. a

三，1. b 2. b 3. b 4. b 5. b 6. b 四，1.b 2. bb 五，c

简易题(a)分值：18；基本题(b)分值：76；稍难题(c)分值：6；

全卷题量相当于24个小题。考试时间120分钟。须平均每5分钟解答1个小题，不计检查时间。

 城院线代10—11学年第二学期期末试卷答案 一，1. 0, 2； 2. 是，1； 3. A2011011022A000； 4. Xk0； 5. 6, 11；

10112222x36. 2x124x2, 3 。

二，1. 错。5r2r1的做法将原行列式的值改变了，变成原来值的5倍。 2． 三行成比例a1

11xx213． 不一定，也可能无解。例如：1，系数矩阵|A|0，而原方

11x1x22程组的两个方程是互相矛盾的，显然无解。 4． 根据定理4.3（书P117）,

14A212有一个特征值14314 。 921131130三，1. 2； 2. 20；3. Xk1k2, k1,k2R。 4. 秩为2, 1,2

0101100111为一个极大无关组(不唯一)；5.21,31, (答案不唯一)；6.

0246。 712四, 1. (1) x1, y3；(2) (A)的特征值是: 1, 5, (A)43。

x12. 正交变换: x2x3(正交矩阵不唯一)

12

13131312121616260y122y3y2；标准形: f2y12y2。.

y3

五, 证明题

(一) 因为1,2,3是AXO的基础解系, 故1,2,3线性无关。 (1) 因为是AXb(bO)的解, 所以推出不能被1,2,3线性表示。 (2) 由(1), (2) 推出 1,2,3,线性无关 (3) (二) 设 k1(1)k2(2)k3(3)k4O k11k(kk)4O (4) 22k331k2k301k10k20由(3), (4)  , 再由

0k031k1k2k3k40所以1, 2, 3, 线性无关。

k10k010010 唯有2，

k00103111k40000

 城院线代10—11学年第二学期期末试卷难度与题量评估 一, 1 a 2 a 3 b 4 b 5 b 6 a 二, 1 a 2 a 3 b 4 b

三, 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 四, 1 bb 2 bb 五, c

简易题(a)分值: 22 ; 基本题(b)分值: 72 ; 稍难题(c)分值: 6

(注: bb表示计算量较大的基本题)全卷题量相当于24个小题, 考试时间120分钟,须平均每5分钟解答1个小题,不计检查时间.

 城院线代10—11学年第一学期期末试卷答案

3一，1. 3, 3；2.16, 4；3. 1；4.

512k41, kR；5. R(B)2, |B|0； 2022x36x1x24x1x310x2x3, f的秩为3. 6. fx124x2二，1. (25143)5, 负号； 2. FE(23(2)), 是初等矩阵；

103. 错误。例如E201是2阶实对称矩阵，E2的特征值是1，1；

4. 1,2,3线性相关，不是R3的基；

13

12T98Xk137,kR； 三，1. A25A5； 2. , A5A24 3. t0, 1,2为一个极大无关组（不唯一）； 4. x1, y2；

5. k1100k2011, k1,k2不全为零； 6. 3。

TTT4 四，1. (1) (A)的特征值是3, 3, 6； (2) A1310030； 6112 2. U120161626131313（不唯一），正交变换：XUY， 224y3 标准形：fy12y2。

五，（1） （2）AB是43矩阵， |B|100B可逆；B可逆R(AB)R(A)23，

所以矩阵AB的列向量组线性相关。

 城院线代10—11学年第一学期期末试卷难度与题量评估 难度等级：

一，1 a 2 a 3 a 4 b 5 b 6 a 二，1 a 2 a 3 a 4 a

三，1 c 2 b 3 b 4 b 5 b 6 a 四，1 bb 2 bb 五，b

简易题(a)分值：33；基本题(b)分值：62；稍难题(c)分值：5；

(注: bb表示计算量较大的基本题)全卷题量相当于24个小题, 考试时间120分钟,须平均每5分钟解答1个小题,不计检查时间.

 城院09—10学年第二学期线代期末试卷答案

一，填空题

1．M236, A126； 2. f(A)4.

0011A(A2E)； ； 3. 3001； 5. 秩为2，线性相关； 6. x4, y6； 7. [1, 2]0。

101000均可逆，但不可逆。 , B, A, BAB010100

14

二，问答题

1. 错误。例：A

2. 正确。令A(, )a1a2b1, 则, 线性相关秩{, }2R(A)2 b2|A|0a1b2a2b10。

3. A的特征值只能为1 。设f(x)xx。因为A2A，所以f(A)AAO。 由教科书117页定理4.3(1)f()是f(A)O的特征值。所以(1)0，

220, 1。但因A可逆，特征值不能为0，故只能为1。

4. f(x1,x2)的矩阵不是2221f(x,x)，按规定，的矩阵应该是对称矩阵（参 1213，03见教科书114页定义5.1）

三，简单计算题 1. X015TTX100k321； 2. , k为任意常数； 63. 秩{1,2,3,4}2，极大无关组可取{1,2}（注：极大无关组不唯一）； 4. a2时A能对角化； 5. (1) 31, (2) (A)的特征值为1, -2, -1； 6. 坐标为2四，计算题

1.

51。

T41(1) A的属于特征值6的特征向量为k1, k0为任意常数；(2) A1111212121214111。 4x102. x20x13五，证明题：

已知AO, Ak0y122y2, 标准形fy12y2。 0y3k1O。

k1设 t0t1Atk1AO (1)

两边左乘Ak1t0Ak1O，由于Ak1O，t00 (2)

2k1把（2）代入（1） t1At2Atk1AO (3)

两边左乘Ak2 t1Ak1O，由于Ak1Ot10 (4)

15

2k1再将(4)代入(3) t2Atk1AO

……………………

以此类推，可知唯有t0t1tk10，所以, A, , A

k1线性无关。

a10符号：表示简易题，b基本题，c稍难题  城院09 —学年第二学期线代期末试卷难度分析

一，填空题 1. a 2. a 3. b 4. a 5. a 6. b 7. a 二，问答题 1. a 2. b 3. b 4. a 三，简单计算题 1. b 2. b 3. b 4. c 5. b 6. a 四，计算题 1. b 2. b 五，证明题 c 简易题分值：29 基本题分值：60 稍难题分值：11 题量：全卷折合成22个小题，以考试时间120分钟计算，平均5分半钟应完成 一个小题（不考虑做完题后的检查时间）。

 城院线代09—10学年第一学期期末试卷答案

0一，1. 1, 1； 2.0531011； 3. 2001000211c02, c为任意常数； 114. 2； 5. 能，(A)的特征值：1, 3, 0, |(A)|0。 二，1. 可逆，|AT||A|0；

11111111 2. R(A)2, 23240102；

21240000 3. 是的，零向量可被其余向量线性表示；

4．不一定，相似矩阵有相同的特征值，但相似矩阵不一定相等； 5．不是，因为1,2,3线性相关。

001102310240 001三，1. X10 16

427x12c17c24xc3c1 113212c,cRXkk2. ,；或1201120，k1,k2R。  x3c1 100xc 243． 1,2为极大无关组，3122, 42132，（答案不唯一）；

1114．10, k11,k10; 24, k21,k20;39, k31,k30；

201211222x32x1x22x1x32x2x3； 5．（1）A121；（2）f2x122x2112 （3） XUY, U1313131212016162622y3，标准形：f4y12y2。

四，因为A有n个互异的特征值，所以A能对角化，即存在可逆的P，使P1A P；

同理存在可逆的Q，使Q1BQ，故有：

BQQ1Q(P1AP)Q1(PQ1)1A(PQ1)。

 城院线代09—10学年第一学期期末试卷难度与题量评估 难度等级

一，1. a 2. b 3. a 4. a 5. a 二，1. a 2. a 3. a 4. a 5. a 三，1. b 2. b 3. b 4. b 5. b 五，b

简易题(a)分值：38； 基本题(b)分值：62； 稍难题(c)分值：0；

全卷题量相当于24个小题, 考试时间120分钟,须平均每5分钟解答1个小题,不计检查时间.

17

第三部分 试题详解

 城院线代11—12学年第一学期期末考试卷详解 一．填空题（每空2分，共20分）

1711．写出3阶行列式102中a12的余子式 3 ，a23的代数余子式 17 。

231解：M121221143, A23(1)23M23172317 。

2．设A, B均为3阶方阵，且|A|2, |B|3，则|2ABT| 48 ，|(A2)1| 14 。 解：|2ABT|23|A||BT|82|B|16348, |(A2)1|111 。 224|A|21111113．已知向量111，且A，则A 111 ，A2012 32011111 。

111111TT11111T11113 ，因此： 解：AT1111111 , 11111A2012(T)20121112011T2011T2011T2011T2011()333A3111。

1114．已知向量组1,2,3线性无关，1,2,3,4线性相关，则4 能 （填能或不能）由1,2,3线性表示。

解：因为1,2,3线性无关，1,2,3,4线性相关，故由教材P96定理3.5

4能由1,2,3线性表示。

5．已知3阶可逆方阵A有一特征值为2，则A1必有一特征值为 12 ，

A32A2A2E必有一特征值为 0 ，|A32A2A2E| 0 。 解：因为A有一特征值为2，故由教材P117定理4.3A1必有一特征值为1 。 2设f(x)x32x2x2，则A32A2A2Ef(A)，由教材P117定理4.3

18

知f(A)必有一特征值为f(2)23222220，再由教材P116定理4.2推出：|A32A2A2E||f(A)|0 。 二，问答题（每题4分，共20分）

1．已知方阵A满足关系式A22A2EO，则A2E可逆吗？说明理由。 答：可逆。A22A2EOA22A8E6E(A2E)(A4E)6E，

(A2E)(A4E)E，所以A2E可逆。 62．已知3元非齐次线性方程组AXb有两个不同的解向量1, 2，且秩R(A)2，则此非齐次线性方程组的通解为c11c22（c1, c2为任意常数）吗？说明理由。 答：不对。由教材P103定理3.10AXO的基础解系有3R(A)321个解向

量。所以，由121212是AXO的基础解系，于是根据

教材P100定理3.11知通解为X1c(12)，c为任意常数。

3403．已知A110，则A能否对角化？说明理由。

102答：不能。先求特征值：

3|EA|11400(2)103124(2)(2234) 1(2)(221)(1)2(2)，所以A有2重特征值1。

240101101EA120120021考察它的特征向量：，所以

101120000R(EA)2，于是由教材P103定理3.10A的属于特征值1的线性无关的

特征向量只有321个，故由教材P123定理4.9A不能相似对角化。

112A0144．判断矩阵是否是正交矩阵，并说明理由。

112答：不是。因为列向量不是单位向量。（或第1行与第2行不正交。）

19

1215．12,21,33是否是R3的一组基？说明理由。

312答：不是。因为1,2,3线性相关。

121211211213213055055，

312005500所以R{1,2,3}23 1,2,3线性相关。

三，简单计算题（每题6分，共30分。只写答案无过程不得分。）

122027903100000113131001131790031(1)(6)073913261．计算行列式D

解：D c16c4,c22c4166

1666(727)620120 。

1302．已知矩阵方程X6BBX，且B210，求X 。

002解：X6BBXBXX6B(BE)X6BX(BE)16BX6(BE)1B。

031010300300306 BE200(BE)1200202000001001001110003003012006(BE)1200 6006006030130630X200210260所以：  。

00600200121 20

13．设矩阵A121解：A1212332b12332b1a的秩为2，求a, b的值。 311a100111031b51a1D， 2a1311a01101b63由R(D)R(A)2b52a0b5、a2，

x1x2x3x40x3xx2x012344．求齐次线性方程组  的基础解系和通解。 2x13x2x35x403x15x2x36x401解：A1231411312020131502516112124160030611004113000000010100713 00002x12x37x427x13x33x4x12x37x402,， ， 1210x3x2x33x40x30xx1441,2是基础解系，通解为Xk11k22，其中k1,k2为任意常数。 315．求矩阵A51的特征值与特征向量。

解：|EA|3511r1r22(2)11(2)

5151(2)(4)14, 22；

x1x211111xx0(i) 4EA, 得， 1215500x2x21A的属于特征值4的所有特征向量为k11，k10 。

x1x1515115xx0(ii) 2EA, 得， 1225100x25x15A的属于特征值2的所有特征向量为k22, k20 。

21

6．已知向量112，向量在R3的基1111,2110，

TTTT3100T下的坐标为211，求向量, 的内积。

解：2123222110100432，

TTTT4(,)T112314(1)3224345 。

2四，计算题（第1题10分，第2题14分，共24分。只写答案无过程不得分。） 1．已知向量组1111,2101,3a12。问a为何值时此向量

TTT组线性无关？a为何值时此向量组线性相关？在线性相关时求出一组极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。 解：121131011a1011111211200a01011D， a2所以，当2时|D|0, 1,2,3线性无关；当2时|D|0, 1,2,3线性相关。这时，1,2为极大无关组，312 。

222x32x1x22x1x32x2x3，求一正交变换XUY，将2．设二次型f2x122x2此二次型化为标准形，并写出标准形。

解：本题即“习题册”P41Ex 4。

2A1112111121, |EA|12111141121c1c2c3421 1241211110000(1)2(4)，

(4)121c2c1,c3c1(4)1121121, 34 。

111111x1x2x3(i)EA111000x1x2x30, x2x2111000x3x311 得11,20，再将它们正交化：

01

22

1(2,1)1'111, (,)1, (,)21, ，记 22122111(1,1)202111''再记 2221011，可取 21， 202211111,1 最终再将1,2分别单位化，得到：122602211112112112r1r3121033011 (ii) 4EA121112211033000101x1x3111xx001113x2x3, 得31，单位化得：31 。 xx03xx000231331令U12123120161626131313，则得正交变换：XUY，满足 1001T224y3UAUUAU010，标准形为：fy12y2 。

004五，证明题（本题6分）

已知方阵A能对角化，即存在可逆矩阵P使得P1AP，其中为对角矩阵， 又(A)amAma1Aa0E，证明(A)也能对角化。

1证明：由条件知P1AP

2，则： nP1(A)PP1(amAma1Aa0E)PamP1AmPa1P1APa0P1EP am(P1AP)ma1P1APa0P1Pamma1a0E()

23

1ammam121a1nm211

a0n1amm2a11mamna12a0a1na0 a0(1)(2) 。所以(A)也能对角化为()。

(n)

 城院线代10—11学年第二学期期末试卷详解 一，填空题（每空2分，共20分）

0000ad0ad001111．3阶行列式b0c0, 1232 。

14911c0，注意到1201413是范德蒙行列式  9解：b0bc按第1行展开(1)a001911212221111214313(32)(31)(21)2 。 322 0，则B是可逆矩阵，R(AB)1。

4352．A是3阶方阵，且R(A)1,而B0112351204按第2行展开解：|B|01232140，所以，由教材P47定理2.2推出： 14B可逆。再由教材P72推论4 R(AB)R(A)1。

23．已知向量202TA，且，则A20112T120120000 1212 24

解：T22022222011T2011T2010T2010TA(a)()(1) 01222222 TA02202201122000 。 10122100T4．设矩阵A010，那么齐次线性方程组 AXO的通解为k001

000x10

解：方程组为，变元个数n3, R(A)2，故由教材P103定理3.10

x02

x100基础解系中含321个解向量。取x3为自由变量：x20得基础解系0，

xx133通解为：Xk001，k为任意常数。

T5．已知3阶方阵A的特征值为2, 3, a，且|A|36，则a6, |A25A5E|11。

解：由教材P116定理4.2 36|A|23aa6。令f(x)x25x5

f(2)1, f(3)1, f(6)11，故A25A5Ef(A)的特征值是：1, 1, 11

（由命题4.2.11），再由教材P116定理4.2|A25A5E||f(A)|(1)(1)1111。

200225．矩阵A040所对应的二次型为2x124x2，且此二次型的秩为3 。 x300122x3解：f2x124x2, 而A的秩R(A)3，故f的秩R(A)3 。

二，问答题（每题5分，共20分）

5211. 一位同学计算一个3阶行列式时做了如下的计算：1240819，

252252请判断该同学的做法是否正确，并说明理由。

答：不正确。5r2r1的做法将行列式的值变成原来的5倍。见教材P11-P12的性质3

和性质6 。

25

5r2r1521

a112. 如果矩阵1a1的秩为1，那么a取何值，并说明理由。

11a答：秩为1，则三行成比例 a11a1。 1a13. 在非齐次线性方程组AnnXb中，若|A|0，则此方程组必有无穷多解吗？请说明理由。

11xx21答：不一定。也可能无解。例如：1 , |A|0，但方程组无解。

xx211212A4. 设3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵141有一个特征值等于多少？并说

明理由。

答：根据教材P117定理4.3知：

21022111126322402112103100220按第3列展开14A21有一个特征值

132419414。 9三，简单计算题（每题5分，共20分,只写答案无过程不得分）

4141．计算行列式

632123106211311 0解：原式r2r1,r3r1,r4r12236r2r1292114100按第3列展开2942(98)2 。 2101011A111, B202．已知矩阵方程BAXX，且，求X 。

10153110解：BAXXXAXB(EA)XB ，易得EA101，再用增

10211011r3r2,r2r1 广矩阵作初等行变换来解矩阵方程：(EA|B)1012010253

26

100110111r3311100333010001321011101110r1r211101001113X2110 。 1012111101 11r1r3, r2r300101x1x22x3x413．求非齐次线性方程组2x1x2x32x43的通解，并用向量形式表示：

x3x42x1 3x453x1x2 1解：213100011012300210100012311113r2r1,r3r1,r4r102005111r1r20000001001300100011122336100011r3r2,r4r2 12110021x1x3x42移项并补齐： 0x23x310211x12x3x4x13x23， 便得通解X1k3k0，其中k1,k2为任意常数。

20110x3x300xx1444．求向量组11342,23120,32131,

TTT44311T的秩和一个极大线性无关组。

1344241113r23r1,r34r1,r42r1023100011323101062553415 159解：12310003200210043，所以秩为2，,为一个极大无关组（不唯一）。 1200T5. 已知1111，求一组非零向量2,3，使1,2,3两两正交。

27

x11x1x2x3解：设x2与11正交，则有1T0x1x2x30x2x2

xx1x333111得基础解系21,30，把2, 3正交化，我们有：221,

0103'3(3,2)1232(2,2)22113232011，

20211则21,31 即为所求（答案并不唯一，亦可用观察法直接得到）。

0221226. 求向量5在R3的基：10，22，31下的坐标。

51111222122211222r3r13r32r302150215r 解：0215111503330111412221001004r12r2,r32r2r2r3,(1)r301110106 0111021500170017所以，坐标为467。

T四，计算题（每题12分，共24分，只写答案无过程不得分）

12301．已知矩阵A与（1）求x, y B4x0y相似，（2）若(A)A109A8A2E，求(A)的特征值及(A) 。

1230trAtrB解：（1）A（根据教材P120定理4.6） ~B4x0y|A||B|，1x3yxy2x83yx3y8x1 y31230(2) 由（1）的结果 A, B  。

3410

28

由 A~BA的特征值与B一样，就是3,3，由教材P117定理4.3 

(A)的特征值是(3), (3)，而(x)x109x8x2，因此 (3)310938321, (3)(3)109(3)8325， 所以(A)的特征值是1, 5，这也是(B)的特征值。由于B是对角矩阵，故：

(B)0(3)010 。 030(3)053下面求A的特征向量，将A对角化。

x1x2221113EA4400，x1x20xx，得11，

22x1x142211 得， 3EA, 2xx0 ,1224200x22x12令P111212，则：

APBP1 (A)(PBP1)P(B)P1，

1P1APB先求出P11112121121 。于是： 3113111111011111102113612(A)。

31205113129431205122．设二次型f2x1x22x1x32x2x3，求一正交变换：XUY，将二次型化为标准形，并写出标准形。

11211011解：A101, |EA|11c1c2c321

1101121111(2)1110000(1)2(2)，

1c2c1,c3c1(2)11111所以，12, 231，

29

211112112r1r3r2r1,r32r12EA121121033

112211033xx3112101r1r2x1x301011011，x2x3，

xx000000023xx33得1111，单位化 1T131313T，

111111x1x2x3EA111000, x1x2x30x2x2，

111000x3x3111得基础解系21,30，把2, 3正交化，我们有：221,

0103'3(3,2)1232(2,2)22113232011，

2021111111,1， 则21,31 ，再把它们单位化： 23260202令U12313131312120161626020，则有UTAUU1AU010， 00122y3正交变换为：XUY，标准形为：f2y12y2 。

五，证明题（本题6分）

设1,2,3是齐次线性方程组AXO的基础解系，是非齐次线性方程组AXb的解。证明：（1）1,2,3, 线性无关；（2）1, 2, 3, 线性无关。 证：（1） 因为1,2,3是齐次线性方程组AXO的基础解系，故由定义 

1,2,3线性无关 ①

因为是非齐次线性方程组AXb的解，所以不能被1,2,3线性表示 ② 由①， ②和命题3.3.3  1,2,3, 线性无关。

30

11rr22i4。初等变换是保秩的，而前者线性无关，秩为4，注意到i1,2,333可见后者的秩也是4，因此1, 2, 3, 线性无关。

 城院线代10—11学年第一学期期末试卷详解 一,填空题（每空2分，共20分）

1011. 已知3阶行列式|aij|235，则a12的代数余子式3 , |A|3。

111解: A12(1)12M121012511(25)3,

33|A|235c3c12333。

101111101002. 设3阶方阵A的行列式|A|2，则|2A|16, |A2|4 。 解: |2A|23|A|8(2)16,

T |A2||A|2(2)24。

TT3. 已知向量1120,2103,3234，则 2132331T5T。

TTT解: 21323240309234315。 4. 设非齐次线性方程组A43Xb, R(A)2，且1210,2132是

TT该方程组的解，则此非齐次线性方程组的通解为210k142,kR。 解：由教材P103定理3.10A43X的基础解系中向量个数为nR(A)321.

而12210132142，无关，所以142TTTTTT是AX的基础解系。于是，由教材P106定理3.11AXb的通解为：

X1k(12)210k142, kR。

TT5. 已知3阶方阵A与B相似，且A的秩R(A)2，则R(B)2, |B|0 。

31

解：R(A)23|A|0，而A与B相似，由教材P120定理4.6

R(B)R(A)2, |B||A|0 。

132226. 矩阵A345所对应的二次型为x124x2x36x1x24x1x310x2x3，

251且此二次型的秩为3 。

22x36x1x24x1x310x2x3， 解：f(x1,x2,x3)x124x2132132r23r1,r32r11311A34501311, 0|A|0R(A)3，

2510115115所以此二次型的秩R(f)3。 二,问答题（每题5分，共20分）

1．5阶行列式的项a12a25a31a44a53的符号为负，请说明理由。 答：(25143)5, (1)51，所以符号为负。

1002．F012是初等矩阵吗？（正确说明理由，错误请举反例）

00110010022r3012F，所以FE(2,3(2))，是初等矩阵。 答：E3010r0010013．n阶实对称矩阵A一定有n个不同的特征值吗？（正确说明理由，错误请举反例）

10答：错误。例如：当n2, E2 01是2阶实对称矩阵，但E2的特征值是1，1。

E2没有2个不同的特征值。

1234. 向量组12,20,32是不是R3的一组基？请说明理由。

123 32

123答：(123)2020，所以1,2,3线性相关，故不是R3的一组基。

123三，简单计算题（每题5分，共30分，只写答案无过程不得分）

12291. 已知A24，求A, A 。

121251012解：A2242410205245A，

A9(A2)4A(5A)4AA4A(A2)2A(5A)2A

52A2A565AA57A2575A58A 。

1211解法2：A 而12,125，故 2422111111 A212212251252125A 。21221221111818A212212212251252125A 。

98121251012kk1A5A，则 解法3：由A2，假设55A2424102024Ak1AkA(5k1A)A5k1A25k15A5kA

可见有A958A，证毕。

x12x2x302. 用初等行变换法求方程组2x13x2x30的通解，并用基础解系表示。

4xxx02311211211217147r22r1,r44r1073073073 解：231411073000000x117017x37xx007313x23x3，令x37，得基础解系：

70007x23x30x3x3 33

137T，通解为：Xk137T, kR 。

3. 已知向量组1202,2311,321t，则t取何值时该向量

TTT组线性相关？并在线性相关时求此向量组的一个极大线性无关组。 解： 12223223232r3r1r32r23011011011，

21t02t200t所以，当t0时该向量组线性相关，极大无关组可取为1,2（不唯一）。

2002004. 已知矩阵A202与B0y0相似，求x, y

00131xtr Atr B20x2y1解：因为A~B, 所以由教材P120定理4.6 A2y|A||B|xy3x1 。 42yy25. 已知1, 1, 1是3阶实对称矩阵A的三个特征值，向量1011是属于特征

T值1的特征向量，求A的属于特征值1的全部特征向量。 解：设A的属于1的特征向量为x1x2x3，则由教材P135定理4.16 

Tx1x1101T0x2x30x2x3，得基础解系10,21，

xx013310 A的属于1的全部特征向量为：k10k21，k1,k2是不全为零的任意常数。

0111116. 求向量2在R3的基：10、21、31下的坐标。

4001111110033r1r2,r2r30106，所以坐标为6。 解：0112001400144四，计算题（每题12分，共24分，只写答案无过程不得分）

1. 已知3阶矩阵A的三个特征值为1, 1, 2，且1, 1, 2所对应的特征向量分别为

34

20511, 20, 31，且(A)A52A34A2E，求：

013（1）(A)的特征值；（2）A。

(x)x52x34x2，解：（1）由命题4.2.11(A)的特征值为： (1),(1),(2)。

(1)12423, (2)(2)52(2)34(2)23216826。 所以，(A)的特征值是：3, 3, 6 。

2051003101，则P1AP010

0130021001AP010P，

002205100101010r1r2r22r1101010205100 A|P013001013001101010101010r2r33r1r3, r2r3013001 00312001300100312050503001503001111010121030363P363，知，

3003120003120120505020510012010111A101010363102363所以

330161200130021201230041001390130 。 31836193222x32x1x22x1x32x2x3，求一正交变换XUY， 2. 设二次型f2x122x2（2） 令P12将二次型化为标准形，并写出标准形。

35

211411211解：A121, |EA|121c1c2c3421

11211241211111110000(1)2(4)，

(4)121c2c1,c3c1(4)1121121, 34 。

111111EA111000x1x2x30

111000x1x2x3， x2x2xx33111得基础解系11,20，把1, 2正交化，得：111,

010'22(2,1)1121(1,1)22112221011，

2021111111,1。 则得11,21 ，再把它们单位化：12260202211211121r3r1r2r1r24EA121121211

112000000121121101x1x3r22r1033011011x2x3，

000000000xx331111 。 得31， 单位化：3311令 U121231201616261313131001T， 则UAUUAU010， 004224y3正交变换为XUY，标准形：fy12y2 。

36

五，证明题（本题6分）

102 设A是43型矩阵，且R(A)2，而B020证明：（1）B是可逆的；（2）

103矩阵AB的列向量组线性相关。

102按第2行展开证：（1）因为 |B|0201032122(32)100，由教材P47定 13理2.2知B是可逆的。

（2）由（1）知B可逆，而R(A)2，由教材P72定理2.6的推论4 R(AB)R(A)23 ①

又由教材P99定理3.8AB的列向量组的秩R(AB)2 ②

A是43型矩阵，B是33型矩阵AB是43型矩阵，所以AB的列向量 组有3个向量。由①，②AB的列向量组的秩2，小于AB的列向量组 中向量个数，所以矩阵AB的列向量组线性相关。

 城院线代09—10学年第二学期期末试卷详解 一，填空题（每空2分，共20分）

1231．已知3阶行列式|aij|456，则a23的余子式6，a12的代数余子式6 。

7解：M2312788146， A12(1)124679(3642)6 。

0021f(A)2．f(A)A25A3E，且A，则00 。 33212175解：A233331512，

751053000f(A)151215150300 。

3．设方阵A满足A22A3EO，则A可逆，且A11(A2E)3 。

1解：A22A3EOA22A3E(A2E)A3E(A2E)AE

3

37

1所以A可逆，且A1(A2E) 。（用教材P48定理2.2的推论）

3114．已知方程组X11无解，则1 。 111解：方程组1X1无解10（根据教材P28定理1.5(2)）

2101或1 。

111但当1时方程组X111有无穷多解，与已知矛盾。故1 。 5．设1031,2240,3271，则此向量组的秩为2，

TTT线性 相关 （填相关或者无关）。 解：A12022101101101r1r3r23r13347347044022

101022022000所以此向量组的秩为2，由于23，故此向量组线性相关。

x3106．已知y5与02相似，则x4, y6 。

x310解：因为y5与02相似，所以由教材P120定理4.6

x4x512trAtrBx4。 |A||B|5x3y2y6A27．1,2是实对称矩阵A的分别属于特征值1,2的特征向量，且12，则内积

[1, 2]0 。

解：根据教材P135定理4.16，知[1, 2]0 。 二，问答题（每题5分，共20分）

1．若方阵A, B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵吗？请说明理由。

101000答：不一定。例如A01, B01都是可逆矩阵，但AB00不可

1020逆。若C，则都是可逆矩阵，这时 A,CAC0203也是可逆矩阵。

38

2．二维向量(a1, a2)T, (b1, b2)T线性相关的充分必要条件是a1b2a2b10 吗？请说明理由。

答：是的。设A12，则由教材P94定理3.3  1, 2线性相关

R(A)2|A|0a1a2b10 a1b2a2b10 。 b23．已知方阵A可逆，且满足A2A，则A的特征值只能为1，请说明理由。

答：设是A的特征值，A2AA2AO 。令f(x)x2x，则f(A)O 。

0000由教材P117定理4.3f()是f(A)而00的特征值，00的特

2征值只有0，所以20(1)01或0 。又注意到A可逆，其特征值不能为0，故只能为1。

224．二次型f(x1,x2)2x3x2x1x2的矩阵为03吗？请说明理由。

2122答： 由教材P144定义5.1知二次型的矩阵必须是对称矩阵，所以

20221f(x,x)f(x,x)不是的矩阵。的矩阵应是121213 。 3三，简单计算题（每题5分，共30分） 1．已知A1111，且AXB，求X 。 , B2124解：AXB 1112121XA1B

11(1)4211121151(1)40605。 6解法2：利用增广矩阵的初等变换：A|B11111 21240106111101515，因此得：X。

010606x1x2x312．用初等行变换法求方程组 x22x30 的通解。

2xx8x2231 39

111111111031r32r1r1r2,r33r201200120 解：0120218203600000x113x313x3x113x22x3 ，便得通解：X0k0k2，kR。 x22x30x01x333．求向量组1111,2101,3012,4123的极大线

TTTT性无关组。 解：令A1234，则

110111011101r2r1,r3r1A101201110111

112302220000所以，秩{1,2,3,4}R(A)2，极大无关组可取1,3（不唯一）。

1204．已知矩阵A210，问a取何值时，A能对角化？

2a31解：|EA|22200(3)1a1231233(3) 121(3)2121(3)2(1)，

所以A的特征值为3, 3, 1 。3是A的2重特征值。由教材P123定理4.9知：

A能对角化特征值3的度数（几何重数）等于重数（代数重数）2 

3R(3EA)2 R(3EA)321。而

2202203EA22002a0，

2a0000R(3EA)12a0a2，故仅当a2时A能对角化。

5．已知3阶方阵A的行列式|A|2，且A的三个特征值为1, 2, 3，求（1）3； （2）(A)A32A22E的特征值。

40

解：(1) 由教材P116定理 4.1(2) 2|A|1(2)331，所以A的特征

值是：1, 2, 1 。

（2） (x)x32x22，由教材P117定理4.3知(A)的特征值是：

(1),(2),(1)。容易算出：(1)1221,

(2)(2)32(2)228822,

(1)(1)32(1)221221,

所以(A)的特征值是1, 2, 1。

TTT6. 求向量130在R3的基:1101,2010,3122

T下的坐标

101110111002r3r1r1r3,r22r301230105 解: 0123102000110011所求的坐标为251。

T四, 计算题(每题12分,共24分)

111. 已知6, 3, 3是三阶实对称矩阵A的三个特征值. 向量10,22是属于

11特征值3的两个特征向量. 求：(1)A的属于特征值6的特征向量；(2) 矩阵A。 解: (1) 设x1x2x3是A的属于特征值6的特征向量, 由教材P135定理4.16 

TTx1x2x3与1,2都正交, 因此有

x1x31x30x1 x1x30 x2x3 , 得31, x12x2x30x2x30xx133所以A的属于特征值6的特征向量为k3, k0。 (2) 令P121113003021, 则P1AP030APP1,

100611先求P1：

41

111100111100222200r3r12r1021010021010021010 100110012210122101203210203210r1r3,r2r3r1r2,r3r23r2021010063030

000311103111200101200101600303063030060121060121 003111220031110062所以 P130311130030311121，于是：A021030121 662221110062223363034111066121141 . 633622211422x32x1x2, 求一正交变换XUY, 将二次型化为标准形, 2. 设二次型fx12x2并写出标准形.

1101101122(1)解:A110, |EA|110(1)

1111001001(1)(2)1111(1)(2)2、、 1 0。

x1x21101101xx012x2x2, 得11； (i)2EA110001001000 x30x003010100x100 (ii)EA100010x20, 得20，已是单位向量。

000000xx133110110x1x11(iii) 0EAA110001x2x1，得31,。

001000x003(iv) 将特征向量分别单位化：112120、22、3T1212 0，

T 42

便得到正交阵 U12123120010001, 正交变换为：XUY, 012122由于UTAUU1AU000, 知标准形为： f2y2y2 .

1200五, 证明题(本题6分)

设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组AkXO有解向量, 且

Ak1O，证明：向量组, A, , Ak1线性无关.

证： 设 t0t1Atk1Ak1O ① 因为是AkXO的解向量, 所以AkO mk，AmO ② ①式两边左乘Ak1, 由② t0Ak1O ③ 但已知Ak1O ④ t00 代入①式t1Atk1Ak1O ⑤ ⑤式两边左乘Ak2t1Ak1O⑥ ，由⑥, ④ t10, ………… 以此类推, 可得t0t1tk10, 所以向量组, A, , Ak1线性无关。  城院线代09—10学年第一学期期末试卷详解

一、填空题（每空2分，共20分）

202414626性质3101 2 2010212513237253120120102512213531.已知2572，则257 1 , 2512 1

解：225701120125171； 25232217c3c225125121 13002.已知A1100121300251A，则00

002100115200310043

00解：A11300251110010210101120 0520003100123. 设非齐次线性方程组A43Xb, R(A)2，且12, 22是该方程组的解，

1011则此非齐次线性方程组的通解为Xc02

11解：由教材P103定理3.10知：导出组AX的基础解系中向量个数321 。

1所以120是AXO的基础解系，再由教材P106定理3.11 

111通解为Xc02，c为任意常数。

114. n阶方阵A2E的秩小于n，则A有一个特征值为 2 。

解：因为n阶方阵A2E的秩小于n，所以|A2E|0|2EA|0，故2是A的

一个特征值。

1004. 已知3阶方阵A与对角矩阵010相似，且(A)A43A35A2E，

002则(A) 能 （填能或者不能）对角化，(A)的特征值为1, 3, 0，|(A)|0。 解：由 (A)A43A35A2E (x)x43x35x2 。因为A与对角矩阵

100010相似，所以A与有相同的特征值，而的特征值是1, 1, 2，

002所以A的特征值也是1, 1, 2（由教材P120定理4.6）。再由教材P117定理4.3知(A)有特征值(1),(1),(2)。经计算，(1)13521,

44

(1)13523, (2)16 2410，2所以(A)有3个不同的特征值1, 3, 0，故由教材P122推论4.2知(A)能对角 化。又由教材P117定理4.2(2) |(A)。 |1(3)0二,问答题（每题4分，共20分）

1. 已知方阵A是可逆矩阵，则AT可逆吗？请说明理由。 答：AT可逆。因为|AT||A|0。

11112. 已知A2324，则A的秩等于多少？请说明理由。

2124111111111111r22r1,r32r101020102D。 答：A2324212403060000故R(A)R(D)2 。

3. 含零向量的向量组一定线性相关吗？请说明理由。

答：一定。因为零向量本身是线性相关的，而部分向量组线性相关，则整个向量组

必线性相关。

4. 不同矩阵的特征值一定不同吗？请说明理由。

1013答：否。令A 02, B02，则AB，但A与B的特征值相同，都是1，2。

5. 已知向量组：1112,2210,3312，则此向量组是否

TTT是向量空间R3的基，请说明理由。

1231011答：不是。令A123，则|A|111r12r21202210，所以

021,2,3线性相关，故不是向量空间R3的基。

三, 计算题（本大题共5题，第1，3，4题均10分，第2题8分，第5题16分，共

分。只写答案无过程不得分。）

0011001. 已知A110, B020，且AXBA，求X10 。

002001

45

解：由A1(1)220，知A可逆，由AXBAXA1BA，X10A1B10A，

1002100001001A，0110002111101100而B100010110， 0012120利用分块运算 X1010010110021000100201001000110102310240。 1010020x1x2x34x43x3xx2x112342.求非齐次线性方程组  的通解。 2x13x2x35x453x15x2x36x4711解：231313121r2r1,r32r1,r43r1003155516700271413122620113102262014131131

000000001410004x142x37x4x1x3x1131x12x37x4434， 2x2x33x41x30000x3x40000x442711于是得到通解：X0k11k22k1k23，k1,k2R。

0100013.已知向量组为：11234,22345,33456,

TTT44567T，(1)求此向量组的一个极大线性无关组；(2)将其余向量用此极 大线性无关组线性表示。

解：本题宜用“一箭三雕法”。令A12123423414r3345r1r3r2456r2r115671234111111110111034，则A

2341234101211101230123 0000000000000000000000知向量组的秩是2，可取极大无关组1,2，且有3122, 42132。

46

5134、已知A153，求A的特征值和特征向量。

33351344011053r1r2153(4)153 解：|EA|1333333333c2c1 (4)1631163(4)(4)(4)

636363363100(4)(9)19, 24, 30 。

41314131123r3r1r3r2r1,r34r1143143(i)9EA143

336112413112112101x1x3xx005501101113x2x3

x2x30055000000x3x3得 1111，属于特征值9的特征向量为k11, k10 。

T113113113110r23r10010001 (ii)4EA113331330000001000x1x2xx0T12x30, 得2110，属于4的特征向量为k22, k20。 x30xx33513513111r31r1r330EAA153153153(iii) 

333111513x111112222012x32x1x30r2r1042021021x21x3， r55r120420000002x2x30x3x3T令x32，得3112，属于特征值0的特征向量为k33, k30 。

5、已知3阶实对称矩阵A的特征值为4，1，1 ，且特征值4所对应的特征向量为

1111T，特征值1所对应的特征向量为2110T,3101T，

47

(1)求A；(2)写出A所对应的二次型；(3)求一个正交变换XUY，化该二次型为 标准形，并写出标准形。 解：（1）令P124003，则P1AP010001400AP010P1，

001111100111100r2r1,r3r1021110 先求P1：(P|E)110010101001012101111100101001r1r2,r32r2r2r3012101012101

0211100031120033001113031111036303030121P1121，

30031120031121121114001111所以 APP1110010121

101001311241111163321111410121363121。 33401112336112222x32x1x22x1x32x2x3。 （2）A所对应的二次型为 f(x1,x2,x3)2x122x2（3）为求正交阵U，必须把特征向量正交化、单位花：

1111T属于单根4，单位化为113131T3；

2110T,3101T属于二重根1，先要将2,3正交化：

记22110, T3'3T(3,2)1232(2,2)2TT

3232202110112， 取3112，再将2,3单位化：2T12120, 3T16162T6

便得正交阵 U123

13131312120161626，所求正交变换为：XUY， 48

40022y3由UTAUU1AU010，知标准形为f4y12y2 。

001四、证明题（本大题6分）

设n阶方阵A的n个特征值互异，n阶方阵B与A有相同的特征值。试证明A与B是相似的。

证：设A、B共同的n个特征值为1,2,12,n,记。由条件知 n ij,ij，分别取A属于i的特征向量i和B的属于i的特征向量i,

i1,2,,n，由教材P118定理4.4知1,2,,n线性无关，1,2,,n也线

性无关。令P12n、Q1有P1APQ1BQ，从而有

2n，则P、Q均可逆，且

BQQ1Q(P1AP)Q1(PQ1)1A(PQ1)R1AR，

由P、Q均可逆知RPQ1亦可逆，所以A与B相似。

49