解析几何之(抛物线)

平面内与定点F及定直线l的距离相等的点的轨迹，其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。

在求动点的轨迹时会涉及动点到定点F的距离与到一定直线l的距离满足恒等或差为一定值的问题：当定点F在定直线l上轨迹为过点F且与定直线l垂直的的一条直线，当定点F在定直线l外轨迹为抛物线。 典例分析：

例题1：已知点P在抛物线y4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PQPFPQPR当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQPR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【变式练习】

,P2(x2,y2),P(x,3y)1.已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，点P1(x1,y1)3322在抛物线上，

且|P1F|,|P2F|,|P3F|成等差数列， 则有 （ ） A．x1x2x3

B．y1y2y3

C．x1x32x2 D. y1y32y2 ［解析］C 由抛物线定义，2(x22p2)(x1p2)(x3p2)即：x1x32x2．

2. 已知点A(3,4)F是抛物线y8x的焦点,M是抛物线上的动点,当|MA||MF|最小时, M点坐标是 ( ) A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,26)

[解析] 设M到准线的距离为|MK|,则|MA||MF||MA||MK|，当|MA||MK|最小时，M点坐标是(2,4)，选C

问题2：抛物线的标准方程是如何建立的

知识诊断：抛物线的标准方程是在以焦点到准线的垂线段的中心为坐标原点，焦点所在的直线为坐标轴的条件下得出来的，焦点在x正半轴上，标准方程式：y2px。焦点在x负

2 1

半轴上，标准方程为：y2px；焦点在y正半轴上，标准方程为：x2py，焦点在

y负半轴上，标准方程为：x2py。

222典例分析：

例题1：已知d为抛物线y2px(p0)的焦点到准线的距离，则pd=（ ）

A.12P B.P C.22212 D.114 14p14解析：抛物线的方程可化为x22py，则d。pd故选D

【名师指引】考查抛物线时对于非标准形式给出的抛物线需将其化为标准形式，正确确定相关的参数才能正确求解。

问题3：求抛物线的标准方程的方法有哪些 知识诊断：

求抛物线的标准方程首先确定焦点在那条坐标轴上，然后求方程的有关参数，方法有三：一是直接根据定义求p，最后写标准方程。二是利用待定系数法设标准方程。找有关的方程组求系数。 典例分析：

例题1：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x2y40上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为y2px或x2py(p0), ∵过点(-3,2) ∴42p(3)或92p2 ∴p23或p9422

2 ∴抛物线方程为y前者的准线方程是x1343x或x292y,

98后者的准线方程为y

(2)令令x0,则y2;令y0,则x4 ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时

2p24,

p22

∴p8，此时抛物线方程y16x;焦点为(0,-2)时 ∴p4，此时抛物线方程x8y.

2∴所求抛物线方程为y16x或x8y,对应的准线方程分别是x4,y2.

22 2

【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 【变式练习】

1. (2010届天河区普通高中毕业班综合测试（一）)若抛物线y2px的焦点与双曲线x223y1的右焦点重合,则

p22p的值

[解析] 31p4

2. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） [解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

3. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|17|AF|3，求此抛物线的方程

[解析] 设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|3，由勾股定理知|MA'|22，点A的横坐标为(22,3x8y

2p2)，代入方程x2py得p2或p4，抛物线的方程x4y或

22问题4：抛物线具哪些性质，如何利用抛物线的几何性质解题 知识诊断：1。顶点（0,0） 2、焦点：焦点在x正半轴上时为(焦点为(p2,0)；焦点在y正半轴上为：(0,p2p2p2,0)，焦点在x负半轴上，

p2)。

)，焦点在y负半轴上，焦点为：(0,p23、准线：焦点在x正半轴上时准线为x正半轴上，准线为：yp2，焦点在x负半轴上准线为xp2；焦点在y，焦点在y负半轴上，准线为：y

4、范围：焦点在x正半轴上时x0，焦点在x负半轴上x0；焦点在y正半轴上y0，焦点在y负半轴上y0。

5、在应用抛物线时注意方程式否为标准式 典例分析：

0例题1：设A、B为抛物线y2px上的点,且AOB90 (O为原点),则直线AB必过的

2定点坐标为__________.

3

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

ykx2p2p) ［解析］设直线OA方程为ykx,由2解出A点坐标为(2,kky2px12yxk(x2pk)2,令k解出B点坐标为(2pk,2pk)，直线AB方程为y2pk21ky22px令y0,则x2p，直线AB必过的定点(2p,0)

【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用1k换k而得。

【变式练习】

6. 若直线axy10经过抛物线y4x的焦点，则实数a [解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为A1,B1,则A1FB1 ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 120

[解析]C

问题5：抛物线中的最值问题

知识诊断：这是一个高考中的热点，涉及知识点很广，注意方法的应用。 典例分析

例题1已知M是抛物线y2px（p0）上的动点，两定点A(p,p)和B(|MA||MC|的最小值为（ ）

220000p2,0)，则

【解题思路】注意定义的应用。 解析：由题知，B为抛物线的焦点，，点A在抛物线的内部，过M作MC垂直抛物线的准线xp2，垂足为C，则|MB||MC|,|MA||MB||MA||MC|p23p2，当M,A,C三点共

线时|MA||MC|的最小值为p，故填

3p2。

【名师指引】与抛物线最值有关的题一般是利用抛物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过数形结合来处理可以简化计算。

例题2：抛物线xy上的点到直线4x3y80的距离的最小值为（ ）

A.432 B.175 C.85 D.3

4

4x3yc0解析：设直线4x3yc0与抛物线相切，由2得3x24xc0，由

xy|84|1612c0得c43，所以两平行线的距离为34，故选A

3169【名师指引】求点P到直线的最小值也可以转化为过点P作与已知直线平行的直线此直线

与抛物线相切，求两平行直线的距离即为所求。

例题3;若点P在抛物线yx上，点Q在圆(x3)y1上，则|PQ|的最小值为多少？ 解析：由题意得，抛物线与圆不相交，已知圆的圆心为A(3,0)，则|PQ||PA||AQ|222，当且仅当|PAP,Q,A三点共线时取等号，所以当|PA|取最小

2值时，|PQ|也就取最小值，设点P(x,y),因为点P在抛物线上，则yx，

114|PA|(x3)y22x6x9x2(x)2当且仅当x时|PA|取最小

值

112，此时|PQ|的最小值为

1121。

【名师指引】本题先用数形结合，转化为求|PA|的最小值，将|PA|转化为与点P的坐标有关的函数式，利用二次函数的知识点求解，有时也用函数的单调性求解。 【演练广场】 基础巩固训练

1.过抛物线y4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于

a2a4(aR)，则这样的直线（ ）

22A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在

[解析]C |AB|xAxBpa2a5(a1)44，而通径的长为4，所以有1条或2条．

2. （2010²揭阳）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线y1的距离为5，故点P的纵坐标为4． 3. (2010揭阳)两个正数a、b的等差中项是

92222，一个等比中项是25，且ab则抛物线

5

y(ab)x的焦点坐标为( )

2A．(0,1111) B．(0,) C．(,0) D．(,0) 4244[解析] D. a5,b4,ab1

4. 如果P1,P2......P8是抛物线y4x上的点，它们的横坐标依次为x1,x2,......x8，F是抛物线的焦点，若x1,x2,......xn(nN*)成等差数列且x1x2......x945，则|P5F| =（ ）． A．5 B．6 C． 7 D．9 [解析]B 根据抛物线的定义，可知PiF|xip2xi1（i1，2，„„，n），

2x1,x2,......xn(nN*)成等差数列且x1x2......x945,x55,|PiF|6

5、抛物线y4x的焦点为F准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于

（ ）

A．33 B．43 C．63 D．83 2[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A(m,n)，则AFABm1,FHOHOFm1，m12(m1)m3,n23

四边形ABEF的面积=

122(31)22363 6、设O是坐标原点，F是抛物线y4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向

的夹角为60，则|OA|为 ． [解析]

21.

0过A作ADx轴于D，令FDm，则FDm即2m2m，解得m2．

A(3,23)OA3(23)2221

综合提高训练

7.在抛物线y4x上求一点，使该点到直线y4x5的距离为最短，求该点的坐标 [解析]解法1：设抛物线上的点P(x,4x)，

22 6

点P到直线的距离d12|4x4x5|172|4(x11217)4|241717，

当且仅当x时取等号，故所求的点为(,1)

2解法2：当平行于直线y4x5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y4xb，代入抛物线方程得4x4xb0，

11由1616b0得b1,x，故所求的点为(,1)

2228.已知抛物线C:yax（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过

2点P且与抛物线C相切的直线记为l． （1）求F的坐标；

（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为x故焦点F的坐标为(0,14a21ay

)

2（2）设P(x0,y0)则y04x0

y'2ax, 在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率 k2ax0

直线l的方程是yax02ax0(xx0)

2即 2ax0x －yax00 2

0 d14a2ax02(2ax0)(1)214a4ax012214a .

当且仅当 x00 时上式取“＝” 此时P的坐标是(0,0) 当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小. 2

9. 设抛物线y2px(p0)的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O． 证明:因为抛物线y2px(p0)的焦点为F(设为

2P2,0)，所以经过点F的直线AB的方程可

7

xmy2P2，代人抛物线方程得

2

y2pmyp0．

若记A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1,y2是该方程的两个根，所以

y1y2P．

2因为BC∥X轴，且点C在准线x故直线CO的斜率为ky2p22py1P2上，所以点C的坐标为(y1x1P2,y2)，



即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

xa2210.椭圆yb22921上有一点M(4,)在抛物线y2px(p0)的准线l上，抛物线的

5焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值. 解：（1）∵

xa22yb221上的点M在抛物线

y2px(p0)的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆

2焦点.

∴c=-4，p=8

∵M(4,)在椭圆上 ∴

16a2958125b221

2∵abc ∴由解得：a=5、b=3 ∴椭圆为

x2225y291

由p=8得抛物线为y16x 设椭圆焦点为F（4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF|

∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

2 8

(44)(2950)2415，即为所求的最小值.

111、(2010湖南师大附中) 已知抛物线C的一个焦点为F(,0)，对应于这个焦点的准线方

2程为x12

（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆(x3)y2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

解：（1）抛物线方程为：y2x. （2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为yk(x得：kx(k2)x22222212)，代入y2x，

2k40

k2k设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x20xG(x,y)则y0x1x23y1y2329，y1y2k(x1x21)2k设△AOB的重心为

k23k23k2，

消去k得y223x为所求，

11②当直线垂直于x轴时，A(,1),B(,1)

22△AOB的重心G(,0)也满足上述方程.

31综合①②得，所求的轨迹方程为y223x29 2，

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r|MP||MQ||PQ|根据圆的性质有：|MN|2时，|MN|取最小值，

2r|PQ|r|PQ|2212|PQ|当|PQ|2最小

设P点坐标为(x0,y0)，则y02x0

|PQ|(x03)y0x04x09(x02)5

222222 9

∴当x02，x02时，|PQ|取最小值5，

23052故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.

高考真题再现

222

1．（2010陕西文数）已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为

（A）

12 （B）1 （C）2 （D）4

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系

法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x线与圆（x－3）＋y＝16相切，所以32

2

2

2

p2，因为抛物线y＝2px（p>0）的准

2

p24,p2

2

2

法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0） 所以p21,p2

2２．（2010辽宁文数）设抛物线y8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，

A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF

（A）43 （B） 8 （C） 83 （D） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则|PF|３．（2010四川文数）抛物线y8x的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8

解析：由y2＝2px＝8x知p＝4， 又交点到准线的距离就是p。答案：C

４．（2010福建理数）．以抛物线y4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A．x+y+2x=0 B．x+y+x=0 C．x+y-x=0

222222224sin308

D．x+y-2x=0

22【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以

（x-1)+y=1，即x-2x+y=0，选D。 圆的半径为r=1，故所求圆的方程为

2222【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

５．（2010上海文数）.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程为 y28x 。

解析：考查抛物线定义及标准方程

定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x

10

６．（2010浙江理数）.设抛物线y2px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________。 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B点坐标为（

34224，1）所以

点B到抛物线准线的距离为2，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题

2７．（2010全国卷2理数）.已知抛物线C:y2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若AMMB，则p ． 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

1l【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵AMMB，∴M为中点，∴BMAB，又

21斜率为3，BAE300，∴BEAB，∴BMBE，∴M为抛物线的焦点，∴

2p2.

８．（2010全国卷2文数）(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线 l，过M（1,0）且斜率为

的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若

，则p=_________

，又∵ AMMB，

【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质 设直线AB：

x12y3x3，代入

y2px2得

3x(62p)x302p2∴ ，解得

p4P12022，解得p2,p6（舍去）

９．（2010安徽文数）.抛物线y8x的焦点坐标是 【解析】抛物线y8x，所以p4，所以焦点(2,0).

【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点(p,0)，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.

１０。（2010重庆文数）.已知过抛物线y4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则BF____________ .

22解析：由抛物线的定义可知AFAA1KF2 ABx轴 故AFBF2

11

11．（2010重庆理数）.已知以F为焦点的抛物线y4x上的两点A、B满足AF3FB,

2则弦AB的中点到准线的距离为___________. 解析：设BF=m,由抛物线的定义知 AA13m,BB1m

ABC中，AC=2m,AB=4m,kAB3(x1)

3

直线AB方程为y 与抛物线方程联立消y得3x210x30

x1x225383所以AB中点到准线距离为11

13. （2010全国卷1理数） 已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设

8FAFB，求BDK的内切圆M的方程 .

9214.2010福建文数）已知抛物线C：y2px(p0)过点A （1 , -2）。（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L

12

2与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于在，说明理由。

55？若存在，求直线L的方程；若不存

13