天津一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

天津一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i是虚数单位，复数 A． 2

A． （，）

B． ﹣2

的实部为（）

C． 1

D．﹣1

2．（5分）函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）

B． （，）

C． （，1）

D．（1，2）

3．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（） ①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

2

②“x＞5”是“x﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件

22

③命题p：∃x∈R，使得x+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x+x﹣1≥0

22

④命题“若x﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x﹣3x+2≠0” A． 1 B． 2 C． 3 D．4 4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（） A． 若m⊥n，n∥α，则m⊥α B． 若m∥β，β⊥α，则m⊥α C． 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D． 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

5．（5分）定义行列式运算

=a1a4﹣a2a3．将函数

的图象向左平移

个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（） A．

6．（5分）设a= A． c＞b＞a

，b=

B． c＞a＞b

，c=3，则a，b，c的大小关系是（） C． a＞b＞c

D．a＞c＞b

ln2

B． C． D．

7．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则

（n∈N）的最小值为（）

+

A． 4

B． 3 C． 2﹣2 D．

8．（5分）定义一种运算a⊗b=，令f（x）=（4+2x﹣x）⊗|x﹣t|（t为常数），且x∈[﹣

2

3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值是（） A． ﹣2或6 B． 4或6 C． ﹣2或4 D．﹣4或4

二、填空题

3

9．（3分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm．

10．（3分）设函数f（x）=x﹣4x+3，g（x）=3﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N=． 11．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是

2

x

12．（3分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是． 13．（3分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若

14．（3分）若对任意x∈R，不等式3x﹣2ax≥|x|﹣恒成立，则实数a的范围．

2

•=1，则λ的值为．

三、解答题（共6小题，满分0分）

15．家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；

（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况；

②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率．

16．已知函数f（x）=2

．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

，求a的值．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=∠ABC=120°，G为线段PC上的点． （Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值； （Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求

的值．

，PA=，

18．已知数列{an}中a1=2，

（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列； （Ⅱ）设Sn是数列{

}的前n项和，求

；

，数列{bn}中

，其中 n∈N．

*

（Ⅲ）设Tn是数列

的前n项和，求证：．

19．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x﹣x﹣3． （1）讨论函数h（x）=

的单调性；

32

（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（Ⅲ）如果对任意的s，t

20．已知数集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若对∀i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．

（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；

（Ⅱ）已知数集A={a1，a2…a8}具有性质P，判断数列a1，a2…a8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

天津一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i是虚数单位，复数

的实部为（）

A． 2 B． ﹣2 C． 1 D．﹣1

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题．

分析： 把给出的复数分子分母同时乘以1﹣i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则实部可求．

解答： 解：由所以复数

=．

的实部为1．

故选C．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．

2．（5分）函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（） A． （，）

B． （，） C． （，1） D．（1，2）

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．

解答： 解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增． ∴f（1）=1，f（）=﹣1，

∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（

），

故选：C．

点评： 本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题． 3．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（） ①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

2

②“x＞5”是“x﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件

22

③命题p：∃x∈R，使得x+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x+x﹣1≥0

22

④命题“若x﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x﹣3x+2≠0” A． 1 B． 2 C． 3 D．4

考点： 特称命题；全称命题． 专题： 常规题型；计算题．

分析： 直接利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；特称命题的否定判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误．

解答： 解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．

2

②“x＞5”是“x﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．

22

③命题p：∃x∈R，使得x+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．

④命题“若x﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x﹣3x+2≠0”不满足

2

逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x﹣3x+2≠0”． 所以只有②③正确． 故选B．

点评： 本题考查命题真假的判断，充要条件关系的判断，命题的否定等知识，考查基本知识的应用． 4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（） A． 若m⊥n，n∥α，则m⊥α B． 若m∥β，β⊥α，则m⊥α C． 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D． 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．

22

解答： 解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误． B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误． C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误． 故选：C

点评： 本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．

5．（5分）定义行列式运算

=a1a4﹣a2a3．将函数

的图象向左平移

个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（） A．

B．

C．

D．

考点： 二阶矩阵；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题．

分析： 利用行列式定义将函数f（x）化成

y=2sin2x．从而写出函数y=2sin2x图象的对称中心即可． 解答： 解析：

y=2sin2x．

所以函数y=2sin2x图象的对称中心为

，

令k=1时，得到

．

，向左平移

后得到

，向左平移后得到

故选B

点评： 本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识；解答的关键是利用行列式定义将函数f（x）化成一个角的三角函数的形式，以便于利用三角函数的性质．

6．（5分）设a=

，b=

，c=3，则a，b，c的大小关系是（）

ln2

A． c＞b＞a B． c＞a＞b C． a＞b＞c D．a＞c＞b

考点： 不等关系与不等式；有理数指数幂的化简求值；指数函数单调性的应用． 专题： 函数的性质及应用．

x

分析： 利用对数函数y=log0.5x，y=log0.5x的单调性，指数函数y=3的单调性即可得出． 解答： 解：∵log0.50.4＞log0.50.5=1，0＜log0.40.5＜log0.40.4=1，

∴a=

又c=3＞3=1，

ln2

0

=，1＞b=，

∴c＞b＞a． 故选A．

点评： 本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．

7．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则

（n∈N）的最小值为（）

+

A． 4 B． 3 C． 2﹣2 D．

考点： 等差数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

2

分析： 由题意得（1+2d）=1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，

从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

解答： 解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，

2

∴（1+2d）=1+12d． 得d=2或d=0（舍去）， ∴an =2n﹣1， ∴Sn=∴

=

=n，

2

．

令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4

当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．

故选：A．

点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．

8．（5分）定义一种运算a⊗b=

，令f（x）=（4+2x﹣x）⊗|x﹣t|（t为常数），且x∈[﹣

2

3，3]，则使函数f（x）最大值为4的t值是（） A． ﹣2或6 B． 4或6 C． ﹣2或4

考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．

D．﹣4或4

分析： 根据定义，先计算y=4+2x﹣x在x∈[﹣3，3]上的最大值，然后利用条件函数f（x）最大值为4，确定t的取值即可．

22

解答： 解：y=4+2x﹣x在x∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x﹣x=4，解得x=2或x=0． 所以要使函数f（x）最大值为4，则根据定义可知， 当t＜1时，即x=2时，|2﹣t|=4，此时解得t=﹣2． 当t＞1时，即x=0时，|0﹣t|=4，此时解得t=4． 故t=﹣2或4． 故选C．

2

点评： 本题主要考查新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的分析能力．

二、填空题

3

9．（3分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是48cm．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 利用三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积即可． 解答： 解：三视图复原的几何体是上部为长方体三度为：4，2，2；

下部为放倒的四棱柱，底面是等腰梯形其下底为6，上底为2，高为2，棱柱的高为4，

几何体的体积为两部分的体积和，即：4×2×2+=48 （cm）．

3

故答案为：48．

点评： 本题考查简单几何体的三视图，三视图与几何体的对应关系，正确判断几何体的形状是解题的关键．

10．（3分）设函数f（x）=x﹣4x+3，g（x）=3﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N={x|x＜1}．

考点： 交集及其运算． 专题： 计算题．

分析： 利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可．

2

解答： 解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））﹣4g（x）+3＞0， 解得g（x）＞3，或g（x）＜1．

因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．

2x

即3﹣2＜1，解得x＜1． 所以M∩N={x|x＜1}． 故答案为：{x|x＜1}

点评： 本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力． 11．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是4 x

考点： 循环结构．

专题： 算法和程序框图．

分析： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解答： 解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=﹣1，i=2，

当i=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=3， 当i=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=4， 当i=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=5， 当i=5时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=﹣1，i=2， 当i=6时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=2， 当i=7时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=，i=2，

当i=8，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=2， 当i=9时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为：4 故答案为：4

点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

12．（3分）若log4（3a+4b）=log2

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

，则a+b的最小值是7+4．

分析： log4（3a+4b）=log2a+b=a+

=

，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是

+7，再利用基本不等式的性质即可得出．

，

解答： 解：∵log4（3a+4b）=log2∴

=

，

∴，

∴3a+4b=ab，a，b＞0． ∴a+b=a+

＞0，解得a＞4． =

+7≥7+

=

，当且仅当a=4+2

时取等号．

∴a+b的最小值是7+4．

故答案为：7+4．

点评： 本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题． 13．（3分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若

考点： 专题： 分析： 解答： ∴==+

•

=1，则λ的值为2．

平面向量数量积的运算． 平面向量及应用．

根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 解：∵BC=3BE，DC=λDF，

，=

=+

=

， +

，

=

+

=

+

=

+

，

∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°， ∴|∵

|=|•

|=2，=1，

•=2×2×cos120°=﹣2，

∴（即×4+整理得

+）•（×4﹣2（1+

，

+）=）=1，

++（1+）•=1，

解得λ=2， 故答案为：2．

点评： 本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．

14．（3分）若对任意x∈R，不等式3x﹣2ax≥|x|﹣恒成立，则实数a的范围﹣1≤a≤1．

考点： 专题： 分析： 解答：

2

函数恒成立问题．

综合题；不等式的解法及应用．

分类讨论，分离参数，利用基本不等式，即可求出实数a的范围． 解：x=0时，恒成立；

x＞0时，3x﹣2ax≥x﹣可化为2a≤3x+∵3x+

≥2

2

2

﹣1，

=3，∴2a≤3﹣1，∴a≤1；

﹣1，

x＜0时，3x﹣2ax≥﹣x﹣可化为﹣2a≤（﹣3x）﹣∵﹣3x﹣

≥3，∴﹣2a≤3﹣1，∴a≥﹣1

∴﹣1≤a≤1．

故答案为：﹣1≤a≤1．

点评： 本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查分类讨论，正确分离参数是关键．

三、解答题（共6小题，满分0分）

15．家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；

（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况；

②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．

分析： （1）根据分层抽样即可求的x的值，

（2）列举出所有的可能，找到满足最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况，根据古典概率公式计算即可． 解答： 解：（1）20﹣16=4，由

，可得x=48

（2）①设3名A类家政服务员的编号为a，b，c，2名B类家政服务员的编号为1，2， 则所有可能情况有： （a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）共10种选择．

②该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有： （a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2）共6种选择， ∴该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率为P=

．

点评： 本题主要考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是一一列举所有的基本事件，属于基础题．

16．已知函数f（x）=2

．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为

，求a的值．

考点： 两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法． 专题： 解三角形．

分析： （1）根据诱导公式和二倍角公式、两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求f（x）的最小正周期；

（2）把条件代入f（x）的解析式化简，再由A的范围和正弦值求A，结合三角形面积公式条件和余弦定理求出边a．

解答： 解：（1）f（x）=2===

sin2x+（1+cos2x）+2 sin2x+cos2x）+3

）+3

=2sin（2x+∴T=

=π．

）+3=4，∴sin（2A+

＜=

，∴2A+，c=2．

）=， =

，A=

．

（2）由f（A）=4得2sin（2A+又∵A为△ABC的内角，∴由S△ABC=

＜2A+

，得bcsinA=×1×c×

由余弦定理得a=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×

2

=3，∴a=．

点评： 本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质的应用，以及余弦定理的综合应用，关键是正确对解析式进行化简，属于中档题．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点． （Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值； （Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求

的值．

考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何．

分析： （Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．

（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．

（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC=的值，可得PG

=PC﹣GC 的值，从而求得

的值．

=．由△COG∽△CAP，可得，解得GC

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．

∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．

而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，

∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．

由题意可得，GO=PA=．

2

2

2

△ABC中，由余弦定理可得AC=AB+BC﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12， ∴AC=2，OC=． ∵直角三角形COD中，OD=∴直角三角形GOD中，tan∠DGO=

==2， ．

=

．

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC=由△COG∽△CAP，可得

，即

，解得GC=

，

∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．

点评： 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．

18．已知数列{an}中a1=2，

（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列； （Ⅱ）设Sn是数列{（Ⅲ）设Tn是数列

}的前n项和，求

；

．

，数列{bn}中

，其中 n∈N．

*

的前n项和，求证：

考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和． 专题： 计算题．

分析： （Ⅰ）由条件可得，再由，从而得到

，由此证得结论

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=n，于是的值．

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知

错位相减法求出Tn的解析式， 从而可得要证的不等式成立．

=

=，用裂项法求出

，求出Tn的解析式，可得Tn 的解析式，用

解答： 解：（Ⅰ），而，

∴．n∈N

*

∴{bn}是首项为

，公差为1的等差数列．（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=n，于是故有=6

==

．（9分）

=

，

，

，

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知则

．∴

．

则

+…+

，

∴Tn=

． （14分）

=

点评： 本题主要考查等差关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和，数列与不等式的综合应用，属于中档题．

19．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x﹣x﹣3． （1）讨论函数h（x）=

的单调性；

3

2

（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（Ⅲ）如果对任意的s，t

，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间； （Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；

（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣xlnx恒成立，求右边

2

的最值，即可得到结论． 解答： 解：（Ⅰ）

，

，…（1分）

①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…（2分） ②a＞0，

，函数h（x）的单调递增区间为，

，函数h（x）的单调递减区间为…（4分）

（Ⅱ）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，…（5分）

考察g（x）=x﹣x﹣3，x

0

﹣ 递减

0

极（最）小值

+ 递增

3

2

，…（6分）

2 1

g′（x） 0 g（x） ﹣3 …（8分） 由上表可知：

，

，…（9分）

∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=所以满足条件的最大整数M=4；…（10分） （Ⅲ）当x

时，

恒成立，等价于a≥x﹣xlnx恒成立，…（11

2

分）

2

记h（x）=x﹣xlnx，所以a≥hmax（x） 又h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则h′（1）=0． 记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，即函数h（x）=x﹣xlnx在区间

2

，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0 上递增，

记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，x∈（1，2]，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0

2

即函数h（x）=x﹣xlnx在区间（1，2]上递减，

∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…（13分） ∴a≥1…（14分）

点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．已知数集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若对∀i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．

（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；

（Ⅱ）已知数集A={a1，a2…a8}具有性质P，判断数列a1，a2…a8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

考点： 等差关系的确定．

专题： 新定义；等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）根据数集A具有性质P的定义，判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P．

（Ⅱ）根据数集A={a1，a2…a8}具有性质P，可得ai+a9﹣i=a8 …①，ai+a8﹣i=a7 …②，由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1），即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7，从而得到a1，a2，…a8构成等查数列． 解答： 解：（Ⅰ）由于3﹣1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P； 由于2+0、4+0、6+0、4+2、6﹣2、6﹣4、0﹣0、2﹣2、4﹣4、6﹣6都属于集合{0，2，4，6}， 所以该数集具有性质P． …（4分）

（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a8}具有性质P，所以a8+a8与a8﹣a8中至少有一个属于A， 由0≤a1＜a2＜…＜a8，有a8+a8＞a8，故a8+a8∉A，∴0=a8﹣a8∈A，故a1=0． ∵0=a1＜a2＜…＜a8，∴a8+ak＞a8，故a8+ak∉A（k=2，3，…，8）． 由A具有性质P知，a8﹣ak∈A（k=2，3，…，8）． 又∵a8﹣a8＜a8﹣a7＜…＜a8﹣a2＜a8﹣a1，

∴a8﹣a8=a1，a8﹣a7=a2，…，a8﹣a2=a7，a8﹣a1=a8，即ai+a9﹣i=a8（i=1，2，…，8）．…① 由a2+a7=a8知，a3+a7，a4+a7，…，a7+a7均不属于A， 由A具有性质P，a7﹣a3，a7﹣a4，…，a7﹣a7均属于A， ∴a7﹣a7＜a7﹣a6＜…＜a7﹣a4＜a7﹣a3＜a8﹣a3 ，

∴a7﹣a7=0，a7﹣a6=a2，a7﹣a5=a3，…，a7﹣a3=a5，即 ai+a8﹣i=a7（i=1，2…7）．…② 由①②可知ai=a8﹣a9﹣i=a8﹣（a7﹣ai﹣1） （i=1，2…7，8）， 即ai﹣ai﹣1=a8﹣a7（i=2，3，…，8）．

故a1，a2，…a8构成等查数列． …（10分）

点评： 本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义，新定义，属于中档题．