《二次根式》期末复习知识清单及典型例题

知识点1：

二次根式的定义：形如有意义．

aa0的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a才

112【例1】下列各式1，25，3x2，44，5，61a，

5327a22a1其中是，二次根式的是_________（填序号）．

a B、10 C、a1 D、变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、2、在a21

a、a2b、x1、1x2、3中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子1有意义，则x的取值范围是 ． x3x3有意义的x的取值范围是（ ） x4变式：1、使代数式

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2、如果代数式

m1mn有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、使代数式【例3】若y=

x2x1有意义的x的取值范围是 x5+5x+2009，则x+y=

22变式：1、若x11x(xy)，则x－y的值为（ ）A．－1 B．1 C．2 D．3 2、当a取什么值时，代数式

2a11取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求a1的值。 b2变式：1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab 。 2、若17的整数部分为x，小数部分为y，求x知识点2：

2、双重非负性：a(a0)是一个非负数．即①a21的值. y0；②a0

3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）(a|a|)2aa(0)；（2）a2a(a0) ．

a(a0)2|a|公式aa(a0)与(a)2aa(0)的区别与联系：

a(a0) （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 【例5】若变式:若

2a2b3c40则abc= ．

22017ab1与a2b4互为相反数，则ab= 。

【例6】 化简：

a1(a3)2的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 变式：1、在实数范围内分解因式:

x23= ；m44m24= 2【例7】已知x2,则化简x4x4的结果是（ ）

A、x2 B、x2

2 C、x2 D、2x

变式：1、根式(3)的值是( )A．-3 B．3或-3 C．3 D．9 2、已知a<0，那么│3、若2a3，则a2－2a│可化简为（ ）A．－a B．a C．－3a D．3a

2a2a32等于（ ）A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a1

a2a14、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．

a2a【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+（ ） A．－2b B．2b C．－2a D．2a 【例9】化简1x(ab)2 的结果等于

baox28x16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1 变式：若代数式Ａ．a≥4

(2a)2(a4)2的值是常数2，则a的取值范围是（ ）

Ｂ．a≤2

Ｃ．2≤a≤4

Ｄ．a2或a4

2【例10】如果aa2a11，那么a的取值范围是（ ）A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

变式：如果aa26a93成立，那么实数a的取值范围是（ ）

【例11】化简二次根式aa2的结果是( )A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 2a变式：1、把二次根式a1化简，正确的结果是（ ）A. a B. a C. a D. a a2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，知识点3：

b1x＝ ；(a1)＝ 。 x1a4、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

5、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【例12】在根式1) ab;2)22x;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

1变式：1、45a,30,2,40b2,,17(a2b2)中的最简二次根式是 。

2．．

2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A．7 B．3

C．1 D．22 3、下列根式不是最简二次根式的是( )A.a21 B.2x1 C.2b D.0.1y 4【例13】下列根式中能与3是合并的是( )A.8 B. 27 C.25 D. 变式：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）

A、3和18 B、1 23和122 C、ab和ab D、a1和a1 323；③

2、在二次根式：①12；②

2；④327中，能与3合并的二次根式

是 。 知识点4： 6、分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用aaa来确定，如：a与a，ab与ab，ab与ab等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与

ab，ab与ab，axby与axby分别互为有理化因式。

分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【例14】 把下列各式分母有理化 （1）143253 （2） （3） （4） 48372153变式：1、把下列各式分母有理化 （1）2x8x3y （2）233 （3） ab3223变式：2、已知x知识点5：

xy232322，y，求下列各式的值：（1）（2）x3xyy

xy23237、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 8、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 9、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

aa=（a≥0，b>0） bb10、二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa=（a≥0，b>0） bb注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【例15】化简

(1)916 (2) 5215 (3) 1×623 2变式：计算（1）?? （2）?? （3）?? （4）

xxx2成立的的x的取值范围是（ ） 【例16】能使等式x2A、x2 B、x0 C、0x2 D、无解

知识点6：

二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

【例17】计算（1）3211233b7520.53ab5(ab)3； （2）； 227b2a1（3）

3xy·（-421y2）÷6xx2y （4）(72223)376

知识点八：根式比较大小

1、根式变形法 当a0,b0时，①如果ab，则a22b；②如果ab，则ab。

222、平方法 当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①ab0ab；②ab0ab

aa8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b【例18】 比较35与53的大小. 变式：比较1ab； ②b1ab

21与的大小. 3121